Главы 7-8

8.2.3. СЕЧЕНИЯ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Виды сечений конической поверхности плоскостями показаны на рис. 8.11. В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола, а в частных случаях: окружность, прямая, две пересекающиеся прямые и точка.

а)

Рис.8.11. Сечения конической поверхности (начало): а – схема расположения плоскостей; б – модель; в – натуральная величина

150

Рис.8.11. Сечения конической поверхности (продолжение): г, е, з – модели; д, ж, и – натуральная величина

151

Рис.8.11. Сечения конической поверхности (окончание): к – модель; л – натуральная величина

Можно выделить следующие положения секущей плоскости:

–плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса, т.

е. если φ>α, то линией сечения является эллипс (рис. 8.11, б, в). В частном случае (φ=900) такая плоскость пересекает поверхность конуса по окружности (рис. 8. 11, г, д) и сечение вырождается в точку, если плоскость проходит через вершину конуса;

–плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ=α, то линией пересечения является парабола (рис. 8.11, е, ж). В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую;

–плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ<α, то линией сечения является гипербола (рис. 8.11, з, и). В случае прохождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые

(рис. 8.11, к, л).

8.2.4. СЕЧЕНИЯ ТОРА

В общем случае плоскость пересекает тор по плоской кривой четвертого порядка.

При сечении тора плоскостью, параллельной оси тора получаются линии, которые в общем случае называются кривыми Персея (рис. 8.12).

152

а)

б)

в)

Рис.8.12. Сечения тора при расположении секущей плоскости параллельно оси тора (начало): а – модель; б – натуральная величина сечения в 1 зоне (от экватора до окружности радиусом R); в – натуральная величина сечения во 2 зоне (от окружности радиусом R до горла)

153

г)

Рис.8.12. Сечения тора при расположении секущей плоскости параллельно оси тора (окончание): г – натуральная величина сечения в 3 зоне (отверстие)

При данном расположении плоскости можно выделить 3 зоны:

–1 зона (от экватора до окружности радиусом R);

–2 зона (от окружности радиусом R до горла);

–3 зона (отверстие).

При расположении секущей плоскости в 1 зоне в сечении получа-

ются овалы, похожие на эллипсы (рис. 8. 12, а), во 2 зоне – овалы с суже-

нием по середине (рис. 8. 12, б), в 3 зоне – сечение распадается на 2 линии (рис. 8. 12, в). При частном расположении секущей плоскости (сечение Е-Е) получаются два симметрично расположенных круга.

Сечения тора плоскостью, непараллельной оси тора показаны на рис. 8.13.

Если секущая плоскость перпендикулярна оси тора, то сечением является круг с отверстием (рис. 8. 13, а).

При сечении тора плоскостью, касательной в двух точках (сечение З-З) получается кривая четвѐртого порядка – объединение двух окружно-

стей –окружности Вилларсо (рис. 8. 13, б).

В общем случае, при секущей плоскости наклоненной к оси тора могут быть получены спиритические кривые (от греческого слова спирит

– витой), которые имеют одну ось симметрии.

154

в) г)

Рис.8.13. Сечения тора при расположении секущей плоскости не параллельно оси тора (начало): а, в – модель; б, г – натуральная величина сечения

155

д) е)

Рис.8.13. Сечения тора при расположении секущей плоскости не параллельно оси тора: д – модель; е – натуральная величина сечения при секущей плоскости, расположенной под углом к оси тора

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

Задача.

Построить натуральную величину плоского сечения.

Решение

156

157