книги из ГПНТБ / Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений

Решение задач по высшей математике у учащихся техникумов часто сопряжено со многими трудностями. Помочь учащемуся преодолевать эти трудности, научить применять теоретические знания к решению задач по всем разделам курса «Элементы высшей математики» — основное назначение этого пособия.

Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения, так как найти путь к реше­ нию задачи без помощи преподавателя или соответствую­ щего пособия учащемуся не под силу. Такие консультации по решению задач''учащийся и может получить в этой книге. '

Кроме задач с решениями, в пособии помещено доста­ точное количество тренировочных задач, которые можно использовать для классных и домашних заданий.

Второе издание пособия переработано и дополнено. Значительной переработке подвергалась глава «Производ­ ная», в которой изменено расположение материала и добав­ лены новые задачи. В пособие включены новые темы; наибольшее и наименьшее значения функции, интегриро­ вание рациональных дробей, длина дуги плоской кривой, площадь поверхности вращения, центр тяжести дуги плос­ кой кривой и центр тяжести плоской фигуры. Ко всем темам добавлены параграфы, содержащие «смешанные за­ дачи». В этих параграфах помещены примерные задания для контрольных работ в двух вариантах. В связи с этими

изменениями и дополнениями не представилось возможным сохранить прежнюю нумерацию задач,

Автор выражает свою глубокую признательность за мно­ гие полезные советы по улучшению содержания книги рецен. зенту заведующему кафедрой высшей математики Ленин­ градского университета доктору физико-математических наук, проф. H. М. Матвееву, преподавателю математики Ленинградского топографического техникума В. В. Дроздецкому, любителю математики машинисту экскаватора Токтогульской ГЭС (Киргизская ССР) А. А. Ткаличеву, а также всем лицам, приславшим свои замечания и реко­ мендации по улучшению пособия.

Автор.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

Г Л А В А I

МЕТОД КООРДИНАТ

Приступая к решению задач этой главы, учащийся должен уметь строить точку по ее координатам и нахо­ дить координаты данной точки. В задачах под выра­ жением «найти точку» понимается найти координаты этой точки.

§ 1. Расстояние между двумя точками на плоскости

Вычисление расстояния между двумя точками А {хА\ г/д) и В (Хв; ув), взятыми на плоскости, выполняется по фор­ муле

где d —длина отрезка, соединяющего эти точки.'

Если один из концов отрезка совпадает с началом ко­

I. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек

1.Найти длину отрезка, соединяющего точки А (2; —5)

иВ ( —4; 3) ' (рис. 1).

Р е ш е н и е . В условии задачи дано: хл = 2; хв = —4; г/д = — 5 и ув = 3. Найти d.

Применив формулу (1.1), получим:

d = AB = V \ 2 - (—4)]2 + (—5 - З)2 = 10.

2)М (—5; —12).

4.Вычислить периметр тре­ угольника, вершинами которого служат точки:

1) А (4; 0), В (7; 4) и С ( - 4 ; 6):

2)А (6; 7), В (3; 3) и С (1;—5).

И.Вычисление координат точки, равноудаленной от трех данных точек

5.Найти точку Оь равно­

ОхЛ = Y(a —7)2jr(b-\- l)2;

01B = V(a + 2)*+ (b-2)*;

ОхС = Ѵ ( а + l)a + (ft + 5)*.

Составим систему уравнений:

К (а- 7 ) 2 + (0+1)2 = у (а+ 2)2+(& - 2 ) 2,

Ѵ > - 7)2+ (0 + 1 )2 = у (а+1)2 + (0 + 5)2.

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

(а - 7)2+ (Ь+ I)2 = (а + 2)2+ ф - 2)2,

(а - 7)2+ (Ь+ I)2 = (а + I)2 + (Ь+

Упростив, залипнем

(—За + 0 + 7 = 0,

\ —2 a - b + 3 = 0.

Решив систему, получим: а = 2; Ь — —1.

С(12; - 7 ) .

7.Найти центр ок­ ружности, проходящей

AB = Y (а + 5)2 + (0 - б)2 = V(а + 5)2 + 36.

Получаем уравнение ]/(а + 5)2 + 36= 10. Упростив его, имеем

а2 + 10а —39 = 0.

Корни этого уравнения аг — — 13; а2 = 3. Получаем две точки Ау(—13; 0) и Л2(3; 0).

Проверка:

АуВ = У (—13 + 5)2 + (0 - 6)2 = 10.

А2В = У (3 + 5)2 + (0 — 6)2 = 10.

Обе точки удовлетворяют условию задачи (рис. 3.)

IV. Вычисление абсциссы (ординаты) точки,; лежащей на оси абсцисс (ординат), равноудаленной от двух данных точек

11.Найти точку на оси Оу, равноудаленную от точе

После упрощений получим: Ь —4 = 0, Ь — 4. Искомая точка 0і(0; 4) (рис. 4).

12. Вычислить координаты точки на оси Оу, равно­ удаленной от точек: 1) А (—4; 0) и В (—3; —7); 2) Л(—3;

—1) и 5(6; 2).

13. Найти точку на оси Ох, равноудаленную от точек: 1) Л (5; 13) и 5 (—12; —4); 2) Л (0; 6) и 5(2; —4).

V. Вычисление координат точки, равноудаленной от осей координат и от данной точки

14.Найти точку М, равноудаленную от осей коорди

нат и от точки Л (—2; 1).

Р е ш е н и е . Искомая точка М, как и точка Л (—2; 1), находится во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек Л, Рі и Р2 (рис. 5). Расстояния