книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

ганическую

и органическую,

физическую

коллоидную,

биоло­

гическую и

фармацевтическую

химии,

технологию

лекарствен­

ных веществ, рентгенологию и другие

медико-биологические

дисциплины.

Опираясь на многолетний опыт преподавания курса «Основы

высшей математики» на

фармацевтическом

и лечебном

факуль­

тетах

Витебского

медицинского

института,

автор

сделал

первую попытку создать учебное пособие по этому курсу.

Книга состоит из 6 разделов, включающих 21 главу

и 138

рисунков. В

конце книги даны

список

литературы

и

приложе­

ния,

содержащие

некоторые

справочные

формулы

и

таблицы.

Материал

в книге

изложен

в

соответствии

с

программой

Глаиа «Элементы векторной алгебры» и

параграфы

«Поляр­

ная система

координат», «Логарифмический

масштаб» включены

в пособие

сверх программы в связи с тем, что они

широко

матики

и в других

науках.

Прямая

линия,

на которой указаны начало отсчета, мас­

штаб и направление отсчета, называется числовой осью.

Прямоугольная

система • координат

образуется

двумя

взаим­

но перпендикулярными числовыми осями (рис. 1).

Горизонтальная

ось Ох называется осью абсцисс.

Вертикаль­

ная ось Оу называется осью ординат.

Точка О пересечения осей

координат

называется началом

координат.

Масштабные отрезки

OA и ОВ на осях

координат

в

математике

обычно

выбираются

равными.

делят плоскость на четыре четверти

(квад­

Оси

координат

ранта),

которые на рис. 1

обозначены римскими

цифрами: /,

//,

///,

IV.

С помощью прямоугольной системы координат

можно

опре­

делять на плоскости положение различных

геометрических

образов.

Наиболее простым геометрическим образом является точка.

Для

определения

положения

точки

М

(рис.

2) в

прямоуголь­

ной

системе

координат

на

плоскости

опустим

из

точки М пер­

пендикуляры

ММі

на

ось

Ох

и ММ2

на

ось

Оу.

З а м е ч а н и е .

У

точек, лежащих на

оси

Ох,

ординаты равны

нулю;

у

точек,

лежащих

на

оси

,0</,

абсциссы

равны

нулю. Например,

точки

С

(4; 0);

D (0; — 2),

0 ( 0 ; 0)

(рис.

2) лежат

на

координатных осях.

В системе координат на плоскости можно определять не

только

положение

точек, но

и любых

фигур, являющихся

гео­

положение треугольника

ABC, указав координаты

каждой из

его вершин Л(4; 4), В(—4;

1), С(1;—.2) (рис. 4).

Системой координат

мы

часто пользуемся в

повседневной

билет в кино, мы читаем на нем

номера

ряда

и места в

ряду.

Эти числа являются координатами нашего места.

Приведем простейшие задачи на применение

прямоугольных

координат

на

плоскости.

Задача 1. Найти расстояние d между двумя

данными

точ­

ками,

координаты

которых

известны.

Р е ш е н и е .

Пусть

даны

точки

А{хх;

у^ и В (х2 ;

г/2) (рис.

5).

Опустим перпендикуляры АЕ и BD из точек Л

и В на

ось

Ох

и

через

точку

А

проведем

прямую АС параллельно оси

Ох.

В

прямоугольном

треугольнике

ABC

Из

рис. 5

AB = d=

VAC'

+ СВг.

(1)

АС = ED = OD — OE = хг — хи

СВ = BD — CD = у2 — уъ

Подставляя

значения

АС и

СВ

в

формулу (1),

получим

d =

У (х2-х1Г

+ (у2-у1?.

.

(2)

Перед корнем всегда берется знак плюс, так как длина от­

резка

число положительное.

Итак, расстояние между двумя точками на

плоскости

равно

корню

квадратному из суммы квадратов

разностей

одноименных

координат

этих

точек.

П р и м е ч а н и е

1.

Безразлично,

какую

точку

считать концом

отрезка

и какую

началом, так как

(х2—

xt)2

=

(д., — х2)2

и

((/ 2 — Уі) 2

=

(Уі—Уъ)2-

П р и м е ч а н и е

2.

При

выводе

формулы

(2)

мы

предполагали,

что

точки А и В лежат

в

первой

четверти, т. е. что

их

координаты

положи­

тельны. Можно доказать, что формула

(2)

будет

справедлива

при

любом

расположении

точек

на

плоскости.

Пример

1.

Найти

расстояние

между

точками

А(—1;

4)

и

В (2; 0).

Р е ш е н и е .

Расстояние

между

двумя

точками,

согласно

формуле (2),

равно

ЛВ = У

[2 — ( -

I)] 2 - f (0 — 4)2

=

5.

Задача

2.

Даны

дее точки

А (хх;

г/х),

В (лг2;

£/г)

и

число

X.

Найти

координаты

точки

М(х;

у),

которая

делит

отрезок АВ

в отношении,

равном

X.

Согласно условию

щ

=

X. Спроектируем

точки

А,

М,

В

на

AM

X.

MB

_

X t +

Х2

_

У! + Уъ

л —

2

. У

—

2

Пример 2. Даны точки Л(1; 2) и

В(—1;

4). Найти

коорди­

наты точки М (х; у), делящей отрезок

АВ в

отношении

=

х —

1 + 4 - < - п

{

У

2 + 4 - - 4

8

і

о

'

>

1 + _ L

3 '

i + _ L

3

*

1 ^

2

^ 2

§ 2. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Для

определения

положения точки на плоскости наряду с

прямоугольной системой координат

довольно

часто пользуются

полярной

системой

координат.

Для построения полярной системы координат возьмем на

плоскости некоторую

точку

О, называемую

полюсом. Из этой

штаба. Эту прямую называют полярной

осью.

Положение любой точки М на плоскости в полярной систе­

ме координат определяется двумя величинами: полярным

ради­

усом г и полярным углом ф. Расстояние от точки

М

до полю­

са О

называется

полярным

радиусом.

Угол

между

полярной

осью

и направлением

полярного

радиуса

называется

полярным

углом

(рис. 7).

Если брать угол ф в

границах

— я

ф <

я,

тогда

каждой

точке М на плоскости соответствует

единственная

пара

чисел г,

Ф (исключением

является

полюс,

для

которого

г = О, а ф

про­

извольно). Наоборот,

каждой

паре чисел г, ф ( г ^ О ,

— я < ф <

я)

соответствует единственная

точка

плоскости,

для которой

г является полярным

радиусом,

а

ф — полярным

углом.

Полярный радиус и полярный угол точки носят название

полярных координат.

Полярные

координаты точки

записывают­

ся в скобках рядом с обозначением этой точки

М (г; ф) (рис. 7).

Пример 3. Построить

точку

Л (2;

Зя/4).

Р е ш е н и е .

Проведем

через

полюс прямую под

углом

Зя/4

к полярной оси

и отложим

от полюса отрезок OA,

равный двум