книги из ГПНТБ / Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Широкое развитие атомной энергетики в нашей стране выдви­ гает новые задачи перед создателями ядерных реакторов, в первую очередь, перед конструкторами, а также перед всеми специалиста­ ми, связанными с проектированием, изготовлением и эксплуата­ цией ядерных энергетических установок. Среди этих задач можно выделить в качестве главных следующие: 1) повышение научнотехнического уровня разработок; 2) сокращение сроков проектных работ; 3) создание экономичных, надежных и безопасных в эксплу­ атации ядерных реакторов. Решение их немыслимо без совершен­ ствования инженерных расчетов ядерных реакторов, без широкого внедрения в практику проектных и исследовательских работ новых математических методов, в частности, вероятностно-статистических методов современной теории надежности, теории планирования эксперимента, теории ошибок, статистических решений, теории игр и др.

В последние годы вероятностно-статистические расчеты, базиру­ ющиеся на упомянутых методах, стали внедряться в практику реакторостроения. Их объем и значение из года в год возрастают. Однако этот процесс тормозится из-за отсутствия необходимой ли­ тературы. Среди достаточно обширной монографической литера­ туры по инженерным расчетам ядерных реакторов до сих пор нет книги с систематическим изложением тех задач реакторостроения, которые уже решаются и которые должны решаться методами теории вероятностей и математической статистики. Настоящая книга написана с целью восполнить в какой-то мере этот пробел.

Основное содержание книги составляет изложение методов рас­ четов, связанных с решением конкретных задач, возникающих в процессе разработки ядерного реактора. Собранные задачи охва­ тывают следующие проблемы: количественную оценку (прогнози­ рование) надежности реактора и оборудования АЭС; оценку радиа­ ционной безопасности реакторных установок; планирование и об­ работку результатов испытаний и экспериментов; оценку точности расчетных и экспериментальных характеристик; статистический

анализ случайных отклонений конструкционных и эксплуатацион­ ных параметров реактора от номинальных значений; вероятност­ ный анализ точности изготовления и сборки; выбор оптимальных решений на основе данных, содержащих элемент неопределенности.

Опыт работы по применению вероятностно-статистических ме­ тодов расчета в практике реакторостроения показывает, что их широкому внедрению может способствовать книга, написанная как руководство для инженеров по решению конкретных задач, возни­ кающих в процессе создания ядерного реактора. Автор стремился сделать предлагаемую книгу именно таким руководством.

Первый раздел книги, посвященный обзору вероятностно-ста­ тистических методов, используемых в реакторостроении, а также введению основных понятий, тесно связан с остальными разделами. Он введен для того, чтобы не перегружать последующие разделы, посвященные решению частных задач. Чтение книги можно начи­ нать с любого раздела. Каждому из них придана некоторая само­ стоятельность. Первый и пятый разделы носят общий характер; второй, третий и четвертый адресованы инженерам, выполняющим различные функции в общей системе работ по созданию реактора.

Книга содержит много конкретных примеров, доводимых до численных результатов, которые иллюстрируют применение изла­ гаемых методов в реакторостроении. Некоторые примеры имеют

В книге § 5.4 и 11.2 написаны В. Н. Орловым и А. И. Клеминым, глава 8 и таблицы приложения П. 10, П. 11 — Е. Ф. Поляковым и А. И. Клеминым, гл. 9, 13, 14, табл. П. 1—П. 9, П. 12 и предмет­ ный указатель—Л. Г. Клеминой и А. И. Клеминым. На стр. 72, 77 — 80 книги использованы материалы, любезно предостав­ ленные Г. Е. Романцовым, за что автор выражает ему благодар­ ность.

Автор глубоко признателен академику Н. А. Доллежалю, одоб­ рившему идею написания настоящей книги и принявшему участие в обсуждении ее плана. Автор особо признателен проф. И. Я- Емель­ янову, просмотревшему рукопись и сделавшему ряд ценных заме­ чаний, проф. С. М. Фейнбергу, взявшему на себя труд рецензиро­ вания рукописи, а также докт. техн. наук И. С. Коченову и канд. техн. наук М. М. Стригулину за постоянный интерес к работе. Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность канд. техн. наук Л. Г. Клеминой и ст. технику Т. Г. Коробовой, оказав­ шим большую техническую помощь в подготовке рукописи, а так­ же Л. И. Скоромной, Л. М. Бортниковой, Е. А. Шиверскому,

В.С. Бутнику и Н. А. Ковальчук за участие в оформлении работы.

А.И. КЛЕМИН.

Раздел I . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ПРИЛОЖЕНИЙ В РЕАКТОРОСТРОЕНИИ

Г л а в а 1.

М Е Т О Д Ы В Ы Ч И С Л Е Н И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й

СО Б Ы Т И Й

§1.1. Прямые методы

В теории вероятностей под событием понимается любой факт, который либо может произойти, либо нет. Чтобы сравнивать собы­ тия по степени их возможности (повторяемости в серии опытов*), ввели специальную числовую характеристику, которая получила

тия, вероятности которых вычисляются точно; 2) события, вероят­ ности которых могут быть вычислены только приближенно.

К первому классу относятся события, обладающие следующими

события, которые не могут появиться вместе в результате одного опыта. Наступление одного из них исключает возможность наступ­ ления другого. Р а в н о в о з м о ж н ы м и (или равновероят­ ными) называются события, обладающие объективно одинаковыми возможностями для осуществления в результате конкретного опыта. П о л н у ю г р у п п у образуют события, связанные с конкрет­ ным опытом, из которых хотя бы одно обязательно происходит в ре­ зультате этого опыта. Классическими примерами событий, обла­ дающих тремя приведенными свойствами, являются: выпадение герба и выпадение цифры при подбрасывании правильной монеты; появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости (симметричного кубика).

События, обладающие тремя упомянутыми свойствами, называ­ ются в теории вероятностей с л у ч а я м и или шансами, а про

* П о д о п ы т о м б у д е м п о н и м а т ь р е а л и з а ц и ю о п р е д е л е н н о г о к о м п л е к с а у с л о в и й , н а п р и м е р , в ы в о д р е а к т о р а н а н о м и н а л ь н ы й у р о в е н ь м о щ н о с т и в у с л о в и я х э к с п л у а т а ц и и , п р о в е д е н и е о п е р а ц и и т е х н и ч е с к о г о к о н т р о л я , т р а н с п о р т и р о в к а и л и х р а н е н и е и з д е л и й в о п р е д е л е н н ы х у с л о в и я х и т. д .

событию, если появление случая означает осуществление этого со­

чаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинен­ ных тем или иным условиям, можно составить из заданных объек­

в результате случайного бросания ее в область площадью 5 на часть

Аналогичные формулы можно записать для одномерной и трех­ мерной областей.

Дальнейшие рассуждения базируются на законе больших чи­ сел, который в форме Бернулли гласит: если Р{Л) —вероятность

т. е. при неограниченном увеличении числа независимых опытов частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероят­ ности: Р[А] ^ Р С т И ) -

Для вычисления вероятностей событий наряду с прямыми ме­ тодами [см. формулы (1.1) — (1.3)] используются и косвенные, позво­ ляющие выразить вероятности сложных событий через известные вероятности более простых событий. Таким методам посвящен сле­ дующий параграф.

§ 1.2. Вычисление вероятностей событий

с помощью теорем сложения и умножения

С у м м о й событий Аи А2, Ап называют событие А, состоя­ щее в появлении хотя бы одного из этих п событий. П р о и з в е д е- н и е м событий А1г А2, Ап называют событие А, состоящее в со­ вместном появлении этих событий. Совместность вовсе не обя­ зательно понимать как одновременность. Когда говорят о совмест­ ном появлении п событий в некотором опыте, имеют в виду, что все эти события произошли в результате данного опыта, а как — одно­ временно или последовательно — неважно.

Часто на практике вероятностьпоявления события А зависит от того, произошло или нет некоторое другое событие В. Такие со­

Для п независимых событий

Формула полной вероятности. Пусть в результате некоторого опыта обязательно наступает только одно (заранее неизвестно какое) из событий Н1У НО, НП (иными словами, имеем /г несовместных событий, образующих полную группу). В свою очередь, совместно с каждым из этих событий Н( может произойти интересующее нас событие А с вероятностью Р{ А/Я; \. Тогда вероятность, что событие А произойдет, может быть вычислена по формуле полной вероятности:

Теорема гипотез (формула Бейеса). Вероятность гипотезы* Ht

при условии, что событие А произошло (или вероятность, что собы­ тие А произошло именно совместно с реализацией гипотезы Я г ) , записывают в виде

где #!, Я 2 , Я п — как и в формуле (1.9), взаимоисключающие события, одно из которых обязательно реализуется.

Г л а в а 2.

Ф У Н К Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е И Ч И С Л О В Ы Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С Л У Ч А Й Н Ы Х В Е Л И Ч И Н

§2.1. Законы распределения случайной величины

ивычисление вероятности попадания ее

взаданный интервал

Винженерной практике встречаются дискретные и непрерыв­ ные случайные величины. Если случайная величина может при­ нимать только конечное или счетное множество значений (т. е. зна­ чения, которые можно перенумеровать), то ее называют д и с к р е т-

няют один (в том числе бесконечный) или несколько промежутков

Интегральный закон несложно найти опытным путем. Для этого необходимо провести п независимых наблюдений над случайной ве­ личиной^ и получитьп ее возможных значений х1г х2, Если обозначить т{х) число тех наблюдений из п, в которых величина X оказалась меньше некоторого фиксированного х, то в силу опре­ деления вероятности (1.3) и функции (2.1) эмпирический интеграль­ ный закон можно записать в виде