книги из ГПНТБ / Тозони О.В. Расчет трехмерных электромагнитных полей
.pdf
О. В. ТОЗОНИ, И. Д. МАЕРГОЙЗ
РАСЧЕТ
ТРЕХМЕРНЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ПОЛЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ТЕХН1КА» КИЕВ — 1974
6Ф0.1 Т50
УДК 621.319.7.001.2
Расчет трехмерных электромагнитных полей.
Т о з о н и О. В., М а е р г о й з И . Д. «Техшка», 1974, 352 стр.
В книге изложен метод расчета на ЭЦВМ статиче ских и квазистационарных трехмерных полей в электромагнитных системах устройств электротех ники и радиотехники. Этот метод позволяет авто матизировать проектирование новых конструкций электромагнитных сйетем и улучшить существую щие. Сущность его заключается в замене поля в не однородной среде эквивалентным в вакууме с по мощью введения дополнительных вторичных источ ников в местах неоднородности среды. При этом расчет сводится к решению интегральных уравне ний.
Книга рассчитана на инженерно-технических ра ботников, которые занимаются автоматизацией про ектирования электро- и радиотехнических устройств и расчетами статических и квазистационарных элек тромагнитных полей.
Табл. 15, илл. 49, библ. 111.
Рецензент В. Б. Тимофеев, докт. техн. наук
Редакция литературы по энергетике, электронике, кибернетике и связи Заведующий редакцией инж. 3. В. Божко
Олег Валентинович Тозони, докт. техн. наук, Исаак Давидович Маергойз, канд. техн. наук
Расчет трехмерных электромагнитных полей
Редактор издательства инж. Э. А. Вавилова Переплет художника О. С. Сидавского Художественный редактор В. С. Шапошников Технический редактор Е. И. Березанская
Корректор Т .Е . Царийская
0338 — 139 Т М202(04)-74
Издательство «Техшка», 1974 г.
П Р Е Д И С Л О В И Е
Разнообразие и сложность геометрических форм деталей современного электротехнического оборудования, увели чение электромагнитных нагрузок и связанная с этим необ ходимость учета нелинейных свойств сред, а также все бо лее жесткие требования, предъявляемые практикой к точ ности электромагнитных расчетов, с одной стороны, ука зывают на ограниченную область применения аналитических методов для расчета сложных электромагнитных полей, а, с другой стороны, подчеркивают актуальность разработки универсальных численных алгоритмов расчета полей, ориен тированных на применение современных ЭЦВМ. Распо лагая такими алгоритмами, позволяющими варьировать геометрией, свойствами материалов и другими характеристи ками, можно заменить длительный и дорогостоящий экспе римент быстрым расчетом на ЭЦВМ различных вариантов конструкции и выбором оптимального из них. При этом создаются предпосылки для автоматизации проектирования электротехнических устройств.
Одним из наиболее эффективных и универсальных чис ленных методов расчета электромагнитных полей является метод интегральных уравнений (метод вторичных источни ков). К сожалению, метод интегральных уравнений не на шел еще достаточно широкого распространения в электро технических расчетах и инженеры чаще обращаются к ме тоду сеток или к какому-либо другому численному методу, нежели к методу вторичных источников. Это прежде всего объясняется сложностью того математического аппарата, на котором базируется метод интегральных уравнений. Поэтому при написании книги авторы преследовали цель доступно и одновременно строго изложить метод интеграль ных уравнений (метод вторичных источников), дать физи ческую интерпретацию основных, исходных его положе ний, убедительно доказать его универсальность, т. е. при менимость к решению широкого круга задач, и сопоставить его с другими численными методами и, в первую очередь,
сметодом сеток.
Вкниге единым методом интегральных уравнений охва чен расчет электростатических полей в кусочно-однородных,
3
неоднородных и анизотропных средах, расчет магнитоста тических полей в кусочно-однородных, неоднородных, ани зотропных и нелинейных средах и расчет переменных ква зистационарных электромагнитных полей в пространстве, частично заполненном проводящей и ферромагнитной средой.
Метод вторичных источников применен к расчету трех мерных электромагнитных полей. В электростатике при пе реходе от плоского поля к трехмерному вместо интегрально го уравнения по контуру приходится решать интегральное уравнение по поверхности раздела сред, т. е. возрастает пространственная размерность задачи. Эти трудности есте ственны и обойти их не удается.
Поэтому при расчете электростатических полей основ ное внимание уделено видоизменению исходных инте гральных уравнений с учетом априорно известных инте гральных свойств вторичных источников, т. е. преобра зованию этих уравнений к виду, более удобному для численного расчета.
Для магнитных и квазистационар ных электромагнит ных полей переход от плоского поля к трехмерному сопряжен еще с резким увеличением размерности системы интегральных уравнений, что, в свою очередь, связано с вихревым характером этих полей. Поэтому авторы стре мились получить системы интегральных уравнений как можно меньшей размерности, а также, где это возможно, избежать введения объемных вторичных источников, т. е.
стремились |
получить |
интегральные уравнения |
только |
по поверхности раздела |
сред. Последнее удалось достичь |
||
при расчете |
статических полей в кусочно-однородных и |
||
анизотропных средах и квазистационарных полей |
в про |
||
странстве, частично заполненном однородной или |
анизо |
||
тропной однородной проводящей средой. |
|
||
При написании книги были использованы некоторые опубликованные работы советских и зарубежных исследова телей. В книге в равной степени нашли отражение резуль таты обоих авторов, полученные ими совместно или в от дельности. Авторы также опирались на опыт расчета элект ромагнитных полей на ЭЦВМ, накопленный сотрудниками института кибернетики АН УССР.
Отзывы и пожелания просим направлять по адресу:
252601, Киев, 1, ГСП, Пушкинская, 28, издательство «'Техшка».
Глава I
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
ВЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
1.ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Красчету электростатических полей приводят разно образные задачи как из области радиоэлектроники, особен но в связи с развивающейся тенденцией к микроминиатю ризации аппаратуры, так и из области техники высоких напряжений в связи с разработкой и построением электро технических устройств предельно высоких напряжений. Несмотря на то, что электростатика является наиболее полно исследованной частью теории электромагнитного поля, поток работ, посвященных этой тематике, не уменьшается [49, 52, 59]. Непреходящий интерес к электростатике объ ясняется, с одной стороны, все возрастающими запросами,
предъявляемыми практикой к решению электростатических задач, а с другой стороны, тем, что до сих пор не созданы эффективные методы, позволяющие рассчитывать поля для сложной формы проводящих тел и границ раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями.
Разработке эффективных методов расчета электроста тических полей на ЭЦВМ, пригодных для сложных форм проводников и границ раздела сред, посвящена настоящая глава.
Электростатическое поле создают неподвижные в про странстве и неизменяющиеся во времени электрические за ряды. Полагая в полной системе уравнений электромаг нитного поля все производные по времени равными нулю, считая, что все заряды неподвижны, и, следовательно, магнитного поля нет, получаем систему уравнений электро статического поля:
rot£ = 0; divD = p; D=*eE, |
(1.1) |
где Е — вектор электрической напряженности; £) — век тор электрического смещения; р—объемная плотность
5
свободного заряда; е—диэлектрическая проницаемость, ко торая в зависимости от свойств среды может быть тензором или скаляром.
Вначале будем считать е скаляром, который сохраняет постоянные значения внутри некоторых областей однород ности, а на границе этих областей изменяется скачком, т. е. рассматриваем случай кусочно-однородной среды.
На границе S раздела сред с различными |
диэлектриче |
||
скими |
проницаемостями (е,- — внутри и ге — снаружи S) |
||
векторы поля удовлетворяют граничным условиям: |
|||
|
Ее( = Ей1 |
Den — Dln, |
(1.2) |
где Е\ |
и Е\ — касательные |
к 5 компоненты |
вектора Е\ |
Dn и Dln — нормальные к S компоненты вектора D соответ ственно с внешней и внутренней сторон поверхности 5.
Безвихревой характер электростатического поля дает возможность ввести скалярный электрический потенциал ср
Е = — grad(p |
(1.3) |
и свести систему уравнений (1.1) к уравнению Пуассона для
скалярного потенциала |
|
|
|
|
|
|
div grad 9 = |
- g - |
+ |
- g L |
+ - |f - |
= - - f . |
(1.4) |
Вне объема, занятого источниками, т. е. там, |
где р = О, |
|||||
уравнение (1.4) переходит в уравнение Лапласа: |
|
|||||
Дф |
<Э2ф |
' |
д3ф |
д2Ф |
= 0. |
(1.5) |
|
дх2 |
ду2 |
дг2 |
|
|
|
Сведем расчет электростатического поля к решению со ответствующей краевой задачи для ф. Формулировку этой задачи проведем на следующем примере: требуется рас считать электростатическое поле, созданное объемными зарядами, распределенными в пространстве, состоящем из двух однородных сред с диэлектрическими проницаемос тями е„ и г{ (рис. 1). Скалярный потенциал в области Vt обозначим через ф;, в области Vе — через ц>е. Из выраже
ний (1.4) и (1.5) выводим: |
|
|
Дф( ==---- — |
в области Vi (k = 1, 2, 3, . . . , т)\ |
(1.6) |
&{ |
т |
|
Дф/ .= 0 |
в области Vt — |
(1.7) |
|
k=i |
|
б
Лфс = |
— — |
в области Ve (k = 1, 2, . . . , п); |
(1.8) |
Лфе = |
0 |
в области Vе |
(1.9) |
|
|
s=.i |
|
Из выражения (1.3) следует, что условия (1.2) будут выполнены, если на границе5 раздела двух однородных сред
будут удовлетворяться краевые ус |
|
||||
ловия: |
|
|
|
|
|
ф; = фе.- |
|
(1-10) |
|
||
d(Pi |
_ |
„ |
дф,. |
( 1. 11) |
|
дп |
= |
е„ |
дп |
|
|
Аналитически |
решить |
сформу |
|
||
лированную выражениями |
(1.6)— |
|
|||
(1.11) краевую задачу при слож |
|
||||
ной форме границы S раздела сред |
|
||||
очень трудно. |
Существующие ме |
|
|||
тоды (метод конформных отображе |
|
||||
ний, метод разделения переменных, |
|
||||
метод изображений и др.) |
позво |
|
|||
ляют рассчитывать поле лишь для |
Рис. 1. |
||||
достаточно простой формы границы |
электростати |
||||
раздела сред. |
В связи с этим для решения |
||||
ческих задач в настоящее время все шире используют при ближенные и численные методы, ориентированные на при менение цифровых вычислительных машин. На рассмотрен ном простом примере электростатической задачи проанали зируем и сравним возможности наиболее общих прибли женных методов для численного расчета поля.
Одним из универсальных численных методов решения краевых задач является метод сеток, который нашел широ кое распространение при решении технических задач на ЭЦВМ и при моделировании их на электрических сетках [7]. Однако при применении метода сеток к рассматривае мой электростатической задаче возникают некоторые прин ципиальные трудности.
Во-первых, область, в которой исследуется поле, явля ется неограниченной, поэтому при использовании метода сеток необходимо искусственно ограничивать область. Час то неясно, как выбрать внешнюю (искусственную) границу области, что порождает трудноучитываемые погрешности и, следовательно, неуверенность в точности получаемых
7
результатов. Даже при искусственно ограниченной области метод сеток приводит к очень большой системе линейных алгебраических уравнений, решение которой требует тру доемкой вычислительной работы. Несмотря на то, что в последнее время появились работы [6, 35], в которых ме тод сеток развивается для неограниченных областей, все же этот вопрос до сих пор составляет проблему.
Во-втррых, при сложной форме границы раздела сред возникают трудности, связанные с разностной аппрокси мацией краевого условия (1.8). Это приводит к тому, что точность метода сеток вблизи границы раздела сред ниже, чем в другой части пространства. В практических же зада чах наибольший интерес представляет распределение поля именно вблизи границы раздела сред.
В-третьих, в результате решения системы разностных уравнений определяют приближенные значения потенциа ла в точках сетки. Однако практический интерес представ ляет не само значение потенциала, а напряженность элект рического поля, выражающаяся через градиент потенциала. Поэтому нахождение напряженности требует численного дифференцирования скалярного потенциала, что в связи с приближенном характером определения ф приводит к до полнительным погрешностям.
Все перечисленные недостатки метода сеток существенно затрудняют его применение к решению рассматриваемых электростатических задач.
Применение вариационных или прямых методов (Ритца,
Галер кина |
и их разнообразных модификаций) также со |
||
пряжено с существенными трудностями. Сложная |
фор |
||
ма |
границы раздела сред и сложный вид краевых |
усло |
|
вий |
(1.7) |
и (1.8) в значительной мере осложняют |
выбор |
координатных функций. Неограниченный характер облас ти, в которой ищется решение, затрудняет нахождение квадратур, с чем неизбежно связана численная реали зация вариационных методов. Кроме того, при решении задач вариационными методами на ЭЦВМ возникают специфические трудности, связанные с неустойчивостью процесса счета при большом числе координатных функций [56]. Отмеченные недостатки сужают область применения вариационных методов для решения электростатических задач.
Метод вторичных источников (или метод интегральных уравнений) свободен от перечисленных выше недостатков,
8
присущих методам сеток и вариационным, и поэтому егоцелесообразно применять для расчета электростатических полей.
2. МЕТОД ВТОРИЧНЫХ и с т о ч н и к о в
Пусть пространство заполнено однородной средой с про ницаемостью е. Тогда потенциал поля, созданного объемно распределенными зарядами, вычисляется по формуле:
= |
( 1. 12) |
|
* Vk |
где г§м — расстояние |
между точкой Q, в которой опреде |
ляется потенциал, и |
переменной точкой интегрирования |
М\ суммирование ведется по всем областям Vk, занятым сво бодными зарядами рk (М).
Для напряженности электрического поля из выражений
(1.3) |
и (1.12) получаем |
|
|
|
|
|
Ё (Я ) = |
- 4 ~ £ |
I Р * № |
- Т ^ d V ^ |
(1 • 13> |
|
|
k |
vk |
r QM |
|
где |
rQM— вектор, |
направленный |
из точки М в точку Q. |
||
Таким образом, |
чтобы определить потенциал или напря |
||||
женность электрического поля в любой точке пространства, заполненного однородной изотропной средой, достаточно выполнить в соответствии с формулами (1.12) и (1.13) ин тегрирование по источникам, создающим это поле. Посколь ку область расположения источников всегда компактна, т. е. имеет незначительный объем, то расчет поля по этим формулам не вызывает никаких принципиальных труд ностей.
Сведем и расчет поля в кусочно-однородной среде к рас чету поля в однородной среде. Для этого введем дополни тельные вторичные источники, распределенные по границе раздела сред. Распределение вторичных источников на границе раздела сред S должно быть таковым, чтобы поле в однородной среде, совместно созданное вторичными и пер вичными источниками (объемно-распределенными заряда ми) совпадало с полем первичных источников в кусочно однородной среде. Отсюда следует, что распределение вто ричных источников не может быть произвольным, а должно удовлетворять некоторым уравнениям: как будет показано
9