книги из ГПНТБ / Пугачев В.Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик
.pdfВ Н. ПУГАЧЕВ
КОМБИНИРОВАННЫЕ
МЕТОДЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
В. Н. Пугачев
Комбинированные
методы
определения
вероятностных
характеристик
МОСКВА «СОВЕТСКОЕ РА ДИО » 1973
517.8
П88
УДК 519.21
Пугачев В. Н.
П88 Комбинированные методы определения вероят
ностных характеристик. М., «Сов. радио», 1973.
256 с. с ил.
Излагаются комбинированные методы определения вероятностных характеристик систем, явлений и процессов, базирующиеся на совме стном использовании результатов аналитических исследований, стати стических испытаний математической модели и натурных испытаний самой системы. Рассматриваются вопросы оптимальной организации теоретических исследований и натурных экспериментов.
Предлагаемые методы являются общими и могут быть полезны
специалистам самых |
различных областей науки и техники, занимаю |
щимся исследованием |
вероятностных характеристик сложных систем |
или явлений. |
|
3314-091 |
|
72-73 |
517.8 |
П 0 4 6 (0 1 )-7 3 |
|
Редакция кибернетической литературы
В Л А Д И М И Р Н И К О Л А Е В И Ч П У ГА Ч Е В |
|
|
|
|
|||
Комбинированные методы определения |
вероятностны х характеристик |
||||||
Р е д а к то р Т. М . Л ю б и м о в а |
|
|
|
|
|
||
Х у д о ж е с т в е н н ы й р е д а к т о р 3 . Е. В е н д р о в а |
|
|
|||||
О б л о ж к а х у д о ж н и к а А . Б. М а р ч у к а |
|
|
|
|
|||
Т е х н и ч е с к и й р е д а к т о р О . Д . К у з н е ц о в а , |
А. А. Б е л о у с |
|
|||||
К о р р е к т о р ы 3 . Г. Г а л у ш к и н а , Л. И. К и р и л ь ч е н к о |
|
||||||
Сдано в набор 26/VI 1973 г. |
Подписано в печать 15/X |
1973 г. |
Т-15565 |
||||
Формат.84х Ю8/з2 |
|
|
Бумага |
машиномелованная |
|||
Объем |
13,44'усл. п. л. |
13,2о6 уч.-изд. |
л. |
|
|
||
Тираж |
10 000 экз. |
Зак. |
288 |
|
Цена |
82 коп. |
|
Издательстйо «Советское радио», Москва. Главпочтамт, а/я 693 |
|
||||||
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома |
|
|
|||||
при Государственном Комитете Совета Министров СССР |
|
||||||
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. |
|
||||||
Москва, М -114, Шлюзовая наб., 10. |
|
|
|
|
|||
3314-091 |
|
72-73 |
|
|
|
|
|
П 046 (01)-73 |
|
|
|
|
|
||
© Издательство «Советское радио», 1973.
Введение
При исследовании практически всех систем, явлений и процессов в различных областях науки и техники конечная цель в той или иной степени состоит в опре делении каких-либо вероятностных характеристик. Точ ность, надежность, вероятность выполнения определенной задачи и другие вероятностные характеристики являются важными показателями качества различных систем.
Рассмотрим обычный порядок исследований при опре делении вероятностных характеристик (рис. 1).
Все виды исследований системы условно разделим на теоретические и натурные.
Для определения вероятностных характеристик при теоретических исследованиях создается математическое описание системы, которое называется математической моделью системы. Далее определяются вероятностные характеристики этой модели. В зависимости от ее слож ности могут применяться различные методы, из которых наиболее широко используемые можно разделить на аналитические методы и метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).
Аналитические (точные или приближенные) методы весьма разнообразны и в сильной степени зависят ог исследуемой модели системы. Разнообразие этих методов вызвано, с одной стороны, желанием получить решение аналитическим путем, поскольку такое решение, как пра вило, дает более широкое представление о зависимости вероятностных характеристик от параметров и условий, и, с другой стороны, математическими трудностями полу чения решений, которые в различных частных случаях преодолеваются своим путем. Аналитические методы анализа точности, а также определения других вероят ностных характеристик систем различного вида изложе ны в ряде монографий (см., например, {12, 15, 16, 23, 28, 29, 32, 33, 38, 39, 42]). Характерно, что особенно для сложных систем применение только .аналитических ме-
годов оказывается возможным лишь при существенных упрощениях. Таким образом, в случае применения ана литических методов можно получить, как правило, вероятностные характеристики некоторой упрощенной модели системы.
Метод статистических испытаний (метод Монте-Кар ло) является общим методом без каких-либо теоретиче-
!
Рис. 1. Обычная схема исследования при определении вероятностных характеристик.
'ских ограничений. Особенно широкое распространение он нашел в связи с развитием вычислительных машин. Практическое использование этого метода ограничива ется в основном возможным объемом моделирования или расчетов. Последнее обстоятельство становится осо бенно важным для исследования сложных систем и явлений.
Вопросы применения метода статистических испыта ний для исследования различных систем нашли отраже
ние в работах |
[7, 12, 16, 29]. Обширная библиография |
по этому методу приведена в [7]. |
|
Определение |
вероятностных характеристик методом |
статистических |
испытаний может производиться как |
4
для математической модели системы, так и для самой системы по результатам натурных экспериментов. Вероятностные характеристики, полученные при данном методе, обычно называют статистическими.
Из изложенного вытекает, что в результате теорети ческих исследований могут быть найдены методом ста тистических испытаний статистические значения вероят ностных характеристик модели системы и аналитическим путем вероятностные характеристики упрощенной моде ли системы. Обычно два указанных вида характеристик модели системы существуют независимо и используются лишь для косвенного взаимного подтверждения их пра
вильности.
Натурные исследования составляют один из важных этапов исследования. Действительно, только натурные эксперименты дают фактическую достоверную картину явлений и процессов. Однако для того чтобы получить по ним достаточно точные значения необходимых ве роятностных характеристик, обычно требуется проведе ние большого числа экспериментов, что часто связано со значительными материальными затратами.
Применительно к задачам, рассматриваемым в дан ной книге, натурные исследования системы можно раз делить на статистические натурные испытания системы, ее элементов или частей и натурные исследования эле ментов и системы при специальных условиях и воздей
ствиях.
По результатам статистических натурных испытаний системы, ее элементов или частей находятся воздейст вия на систему и их статистические характеристики, которые используются при теоретических исследованиях модели системы. Кроме того, результаты испытаний самой системы непосредственно служат для получения статистических значений ее вероятностных характери
стик.
Натурные исследования элементов и системы при специальных условиях и воздействиях расширяют сте пень познания системы. Информация о системе, полу ченная в ходе этих исследований, обычно используется при построении ее математической модели.
Таким образом, непосредственно по натурным иссле дованиям системы находятся статистические значения ее вероятностных характеристик. Кроме того, с исполь зованием результатов натурных исследований при тео
5
ретических исследованиях определяются вероятностные характеристики модели системы.
Все перечисленные вероятностные характеристики, как правило, существуют самостоятельно и независимо. Близость значений вероятностных характеристик моде ли и системы часто используется для утверждения, что при малом числе натурных экспериментов в качестве оценки вероятностных характеристик системы можно принять соответствующие характеристики ее модели. Это утверждение, построенное в основном на интуитив ных соображениях исследователя о близости созданной им модели и самой системы, нельзя признать в какойлибо мере математически обоснованным.
В настоящее время все в большей степени назревает необходимость разработки комбинированных методов определения вероятностных характеристик систем, одно временно и совместно использующих аналитические ме тоды, метод статистических испытаний и результаты натурных экспериментов. Главная задача, которую должны решать эти методы, заключается в использо вании по возможности всей информации о вероятност ных характеристиках системы, полученных при различ ных видах исследований, для более точной оценки этих характеристик или для получения их с требуемой точ ностью, но при возможно меньшем числе эксперимен тов с системой и ее моделью.
Характерно, что необходимость в комбинированных методах исследования возникла в первую очередь при исследованиях систем, для которых статистическое мо делирование и натурные эксперименты весьма трудоем ки, а требуемая точность результата при обычном способе его получения приводит к необходимости боль шого числа этих экспериментов. Такое положение пре жде всего имеет место в системах массового обслужива ния. На необходимость разработки комбинированных методов указывается в [16]. В этой же книге приводится пример совместного применения аналитического метода и метода статистических испытаний, иллюстрирующий эффективность применения комбинированных методов. В [26] говорится о том, что не следует противопостав лять эти методы, а необходимо стремиться к их совмест ному использованию. К комбинированным методам определения вероятностных характеристик математиче ских моделей систем следует отнести метод выделения
6
главной части [7]. Его удачное обобщение изложено в [19]. Там же указывается на некоторые ограничения этого метода. Другим комбинированным методом явля ется метод, когда искомая вероятностная характеристи ка по одной части случайных воздействий определяется аналитически, а по другой — методом статистических испытаний. Такой комбинированный метод в [29], напри мер, применен к исследованию полуавтоматических систем управления.
В настоящее время практически не разработаны ма тематически обоснованные методы определения вероят ностных характеристик системы по результатам натур ных испытаний и теоретических исследований. Необхо димость развития таких методов чрезвычайно велика, так как стоимость и трудоемкость проведения натурных экспериментов, особенно сложных систем, являются определяющими факторами в ограничении числа экспе риментов и, в конечном счете, в точности получения вероятностных характеристик. Использование всей имеющейся у исследователей информации о системе, полученной в ходе теоретических исследований и экспе риментов, для оценки ее вероятностных характеристик является заветной целью исследователя.
В данной книге с использованием единой идеи и математического аппарата излагаются методы опреде ления вероятностных характеристик 'систем и их_моделей при совместном применении аналитических методов, метода статистических испытаний и натурных экспери ментов.
Необходимо сразу же оговорить, что в книге не рас сматриваются вопросы использования результатов фи зического моделирования системы. Физическое модели рование для исследования некоторых систем является одним из важных инструментов. Возможность и целе сообразность физического моделирования, способы по строения физических моделей, выбор их параметров, организация экспериментов и ряд других вопросов фи зического моделирования для каждой конкретной систе мы являются предметом самостоятельного исследования в основном физико-математического характера.
Выше указывалось, что наиболее общим методом определения вероятностных характеристик системы яв ляется метод статистических испытаний. Традиционная организация статистических испытаний, когда прово
7
дятся только независимые эксперименты для решения некоторых специфических задач исследования, явно не оптимальна. К таким задачам, например, можно отнести одновременное определение вероятностных характери стик для нескольких значений параметров системы, оценку влияния разброса параметров системы на ее вероятностные характеристики и др. Специальная орга низация статистических испытаний с использованием не только независимых, но и зависимых экспериментов с последующей оптимальной обработкой их результатов при решении этих задач позволяет либо повысить точ ность искомых вероятностных характеристик при задан ном числе экспериментов, либо уменьшить общее число экспериментов при желаемой точности результата. При решении задач на вычислительных машинах организа ция зависимых экспериментов является сравнительно
простой. На |
это обстоятельство указывается в [34], где |
с помощью |
зависимых экспериментов предлагается |
определять разность значений вероятностных характе ристик в процессе поиска экстремума.
До проведения статистических испытаний системы исследователь довольно часто имеет априорную инфор мацию о модели системы и протекающих в ней про цессах. Привлечение априорных сведений при органи зации экспериментов и обработке их результатов по зволяет повысить точность оценок вероятностных характеристик или уменьшить число необходимых экс периментов. Всем известный пример, когда априорная информация о стационарности и эргодичности какоголибо процесса позволяет вместо нескольких эксперимен тов ограничиться всего лишь одним, убедительно пока зывает на безусловную целесообразность рассмотрения вопросов привлечения априорных сведений при стати стических испытаниях.
Вопросы оптимальной организации, обработки ре зультатов экспериментов и привлечения априорных све дений также рассмотрены в настоящей книге.
Изложенные в книге методы определения вероятност ных характеристик систем и их математических моделей, базирующиеся на совместном применении аналитиче ских методов, метода статистических испытаний и на турных экспериментов, а также методы оптимальной организации экспериментов при решении отдельных об щих задач исследования и вопросы привлечения априор
ных сведений при статистических испытаниях объеди нены одним общим названием — комбинированные ме тоды определения вероятностных характеристик.
Книга состоит из пяти глав.
Первые две главы посвящены комбинированным ме тодам определения вероятностных характеристик моде лей систем, которые в этих главах называются просто системами. Предполагается, что аналитические методы не могут быть применены в полной мере для исследо вания исходной модели системы. Поэтому рассматри вается их применение по отношению к некоторой упро щенной модели системы или частичное применение этих методов к исходной модели системы. В соответствии с этим в первой главе излагается метод определения вероятностных характеристик модели системы с приме нением метода статистических испытаний и использова нием результатов упрощенного аналитического исследо вания. Дается постановка задачи, выводится формула для оценки вероятностных характеристик в многомерном случае. Исследуется выигрыш от применения предла гаемого метода. Большое внимание уделено общим методам построения упрощенных систем. Само понятие упрощенной системы в книге принимается в значительно более широком смысле, чем обычно. Изложенный в гла ве метод иллюстрируется частными случаями и приме рами. Производится сравнение его с методом выделе ния главной части. Глава завершается небольшим пара графом, в котором изложены мысли автора о возможных путях развития предлагаемого метода.
Во второй главе рассматривается определение веро ятностных характеристик моделей систем с использова нием метода статистических испытаний и частичным применением аналитических методов. Исследуется эф фективность применения аналитического метода по от ношению к части воздействий и к части модели системы. Анализируется возможный характер априорной инфор мации о модели системы, воздействиях на нее и о про текающих в модели процессах. Рассматриваются методы использования априорной информации при определении вероятностных характеристик статистическим путем. Приводятся примеры, иллюстрирующие эффективность изложенных в главе методов.
Третья глава посвящена методам определения ве роятностных характеристик системы по результатам
9