книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций
.pdfI ’Я
л ЕНИНГРАД
А .П О С ТН О В , И .Я .Х А РХ У РИ М U
пшгш
LI11
[?№ 1?[UT D' IMJlbШJVcJ'
в расчетах
судовых
конструкций
i к «учи о -.•. |
, ---а ^ |
I |
УДК 629.12.011.001.24 |
|
: / ,л |
П63 |
|
< fW |
|
|
|
' 4 - Ч - £ о ? Ъ 6 |
$ |
В книге излагаются основные положения метода конечных элементов приме нительно к задачам строительной механики корабля.
Приведены различные пути получения матриц жесткости и податливости конеч ного элемента. Показаны особенности использования МКЭ при учете геометриче ской и физической нелинейности материала конструкций. Указана связь между МКЭ и вариационными методами.
Излагаются вопросы использования МКЭ для расчета стержней и стержневых конструкций. Даются примеры расчетов стержневых систем на изгиб, устойчивость и колебания.
Особое внимание уделено вопросам применения ЭВМ в методе конечных эле ментов: решению ленточных систем алгебраических уравнений, получению ленты минимальной ширины и нахождению погрешностей округления при решении систем уравнений высокого порядка. Приведено несколько программ на языке «Алгол-60».
Показано использование МКЭ для решения плоской задачи теории упругости. Дается вывод матриц жесткости и напряжений для треугольного и прямоугольного конечных элементов из упругого и упруго-пластического материалов. Приведены примеры решения задач, связанных с концентрацией напряжений около отверстий.
Рассматривается объемная задача теории упругости. Получены выражения для матриц жесткости тетраэдра и параллелепипеда. Освещен вопрос использования МКЭ для расчета напряженно-деформированного состояния тел вращения в упругой и упруго-пластической областях. Приводится расчет толстых оболочек вращения и цилиндрических тел с кольцевыми выточками.
Показано применение МКЭ в расчете пластин на изгиб, устойчивость и колеба ния. Дается вывод матриц жесткости, устойчивости и масс для треугольного и прямо угольного элементов пластин.
Рассмотрены вопросы расчета пластин средней толщины и оболочек вращения. Приводятся матрицы жесткости для конического элемента оболочки, примеры рас чета тонких оболочек вращения, оболочек средней толщины, оболочек большого прогиба и др.
Освещены вопросы использования метода конечных элементов при решении задач теплопроводности, гидромеханики и др.
Илл. 155. Табл. 22. Литерат. 156 назв.
т
Рецензенты Н. Н. Кайдалов, В. С. Чувиковский
31804—038 П 048 (01)—74 7—74
<&>Издательство «Судостроение». 1971 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Появление электронных цифровых машин оказало большое влияние н^-развитие многихуббластей науки и техники, в том числе и на строительную механику корабля.
Целый ряд проблем этой науки получают полное разрешение. Изменяется состав расчетных методов. При ручном счете основным критерием выбора метода служит трудоемкость расчета, при машин ном счете более предпочтительным является метод, обладающий большей универсальностью, т. е. позволяющий получить решение для более широкого класса задач и приводящий к расчетному алго ритму с большим числом однородных вычислительных операций. Двадцать лет назад расчет конструкции с десятью неизвестными казался весьма трудоемким процессом и усилия инженера-исслед'о- вателя тратились в основном на введение тех или иных упрощений с целью снижения числа неизвестных. При использовании ЭВМ число неизвестных достигает нескольких сотен и даже тысяч. Это позволяет инженеру-исследователю при выборе модели объекта учесть все его наиболее характерные черты.
На современном этапе научно-технической революции в судо строении, характеризующемся быстрым ростом размеров судов, усложнением и интенсификацией условий их эксплуатации, внедре нием высокопрочных сталей и др., становится необходимым развитие уточненных и высокопроизводительных методов расчета и проекта: рования судовых конструкций с использованием ЭВМ.
Выбор метода расчета определяет алгоритм. От рациональности же полученного алгоритма зависит точность расчета, расход машинного времени, степень сложности программы.
Одним из наиболее перспективных численных методов, получив шим в последние 5— 10 лет исключительно широкое распространение в расчетах прочности строительных, авиационных и судовых кон струкций, является так называемой метод конечных элементов (МКЭ). И несмотря на сравнительно короткий срок «эксплуатации» этого метода, имеется достаточно оснований рассматривать его в ка честве одного из наиболее эффективных численных методов оценки прочности сложных судовых конструкций,
Широкое использование МКЭ в значительной мере объясняется наличием машинных программ, обладающих высокой степенью автоматизации трудоемких операций составления и решения систем алгебраических уравнений, имеющих высокий порядок, минимумом требований к исходной информации и оптимальной формой выдачи результатов.
Машинная техника вычислений потребовала представления рас четного алгоритма в форме, наиболее приспособленной к использо ванию машин. И такой формой для ЭВМ оказался язык матричного исчисления. Применение матриц сокращает и упрощает математиче ские выкладки в расчетном алгоритме.
Удобство использования матричного языка усиливается еще и тем, что современные вычислительные машины располагают стан дартными программами для производства различных операций над матрицами. Поэтому в дальнейшем мы также широко будем исполь зовать теорию матриц.
К моменту выхода настоящей книги метод конечных элементов получил широкое распространение, особенно за рубежом. Количе ство журнальных публикаций, касающихся МКЭ, перевалило, по-видимому, за тысячу, число книг и монографий только на англий ском языке насчитывает около десятка. В связи с этим авторы сочли возможным ограничиться ссылками лишь на основную лите ратуру по этому вопросу. Более полную библиографию по МКЭ можно найти в работах [4, 60, 139, 141, 155].
Несмотря на столь бурный поток литературы по МКЭ, в боль шинстве работ, как правило, отсутствуют многие «мелочи», из-за которых практическая реализация МКЭ становится невозможной. Авторы в данной книге пытались изложить МКЭ с единых позиций, избегая этой тенденции.
Авторы считают своим приятным долгом выразить признатель ность рецензентам проф. Н. Н. Кайдалову и проф. В. С. Чувиковскому, а также к. т. н. Ю. К. Вилипыльду, одному из авторов универсальной программы МКЭ [11], и сотрудникам кафедры «Строи тельной механики корабля» Ленинградского ордена Ленина корабле строительного института Н. И. Черенкову, Н. Г. Слезиной, Б. Е. Кельману, С. А. Дмитриеву и И. А. Казакучу, принимавшим участие в расчетах некоторых примеров, используемых в книге.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
§ 1
Основные сведения о матрицах и матричных операциях
Поскольку сведения о матрицах и матричных операциях известны широкому кругу читателей, целью этого параграфа является не столько повторение этих сведений, сколько введение в курс обозна чений матриц, широко используемых ниже на протяжении всей книги.
М а т р и ц е й называется совокупность чисел а(1-, расположен ных в виде прямоугольной таблицы, содержащей п строк и т столб цов. Матрица записывается в виде
|
а 11 |
а 12 |
• • ■ а 1т |
|
|
|
[А] = |
®21 ^22 |
• • • &2т |
|
/1 1\ |
||
или, сокращенно, |
flnl |
ап2 |
• ■■алт_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[А] = |
{аи]. |
|
|
(1.2) |
||
Матрица [А] имеет размеры |
пХт. |
|
|
[А ] = [а,-,] и |
[В] = |
|
Р а в н ы е м а т р и ц ы - |
Две матрицы |
|||||
= [Ьц] называются равными, |
если равны |
их соответствующие |
||||
элементы, т. е. аи — bi{. |
Для матриц, состоящих из |
одной |
||||
М а т р и ц а - с т р о к а . |
||||||
строки, часто используют специальное обозначение: |
|
|||||
[Aj = la^aag- • -ат[ = |
la,.]. |
(1.3) |
||||
М а т р и ц а . - с т о л б е ц . |
Матрицы, |
состоящие из |
одного |
столбца, называют столбцами или векторами. Для экономии места
используется строчечная |
запись вида |
|
\А\ = |
{a1a sca- • -ап] = {а,.}. |
(1.4) |
К в а д р а т н а я м а т р и ц а . Если число п строк прямо угольной матрицы равно числу ее столбцов т, то такая матрица называется квадратной. В этом случае число п называется порядком матрицы.
7
Д и а г о н а л ь н а я м а т р и ц а . Среди квадратных матриц важную роль играют так называемые диагональные матрицы, т. е. матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы, стоящие на диагонали:
~а± 0 |
0 |
. . . |
О |
|
О а2 0 |
. . . |
О |
||
О |
О а3 |
. . . |
О |
|
[А} = |
|
|
|
(1.5) |
0 |
0 |
0 |
. . . а„ |
|
Е д и н и ч н а я м а т р и ц а . |
|
Если |
все числа а{ = 1, то диа |
гональная матрица (1.5) обращается в единичную, имеющую особое обозначение: [Е ]. Эта матрица играет в матричной алгебре такую же роль, какую в обычной алгебре играет единица.
Л е н т о ч н а я м а т р и ц а . Если в квадратной матрице порядка п отличными от нуля являются элементы, расположенные на главной диагонали и иа примыкающих к ней с каждой из сторон (сверху и снизу) к параллельных линиях, то такую матрицу назы
вают ленточной (2к + 1) - членной матрицей порядка |
п. |
||
При к = 1 матрица называется трехдиагональной, |
при к = 2 — |
||
пятидиагональной и т. д. |
|
|
|
В случае к = 1 |
такая матрица имеет вид |
|
|
|
а 11 а 12 |
|
|
|
а 2 1 1^22 а 23 |
|
|
|
а32\^33 a3i |
0 |
|
[Л] = |
а43 аИ Я4Б |
|
( 1. 6) |
оан-1, п-1 Я/.-1, п
ап, /1-1 аПп
В дальнейшем, для ясности, у квадратных матриц мы будем иногда выделять главную диагональ «лесенкой».
Т р е у г о л ь н а я м а т р и ц а . Квадратная матрица, все элементы которой, расположенные выше (или ниже) главной диаго
нали, равны нулю, называется треугольной. |
Она записывается так: |
|||
а 11 а 12 |
а 13 |
, . |
а 1п |
|
■ ■ |
|
|
||
| а 22 |
а 23 |
■ •■ ■ а 2п |
|
|
|
а 33 |
• •1• |
п |
( 1-7) |
0 |
^ |
1 |
|
|
| ®лл
8
С и м м е т р и ч н а я м а т р и ц а . Квадратная матрица назы вается симметричной, если ее элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны один другому, т. е.
ац = ajt- |
(1-8) |
Б л о ч н а я . м а т р и ц а . Если в матрице |
[А ] провести гори |
зонтальные и (или) вертикальные перегородки, то матрица разби вается на некоторое число прямоугольных блоков; примером может служить матрица
|
|
а 11 \ а 12 ° 1 3 } а Ы а 15 |
|
|
|||||
|
|
й-21 |
I |
|
I |
^24 |
^25 |
|
|
|
|
1^22 |
^23 1 |
|
|
||||
|
|
________________ |
|
|
|||||
[А] = |
а 31 |
[ |
а 32 |
G 33 I |
Я 34 |
а 35 |
|
(1.9) |
|
a i l |
|
а 42 |
&34 |
a 4 i |
а 4Ъ |
|
|||
|
|
I |
|
|
|||||
|
|
а Ъ1 } Я 52 Я 35 | Я б4 а ЬЪ |
|
|
|||||
|
|
flei I ^G2 азз I a3i айЪ |
|
|
|||||
Элементы в пределах каждого блока сами образуют матрицы |
|
||||||||
Ии] = |
ап |
, |
И и ] |
ап |
а1з |
> |
(МО) |
||
а21 |
|
22 “23_ |
|||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
поэтому матрицу [Л] |
можно представить в виде |
|
|||||||
|
|
~[Ап ] |
Иц] |
[■^1з] |
|
( 1 . 1 1) |
|||
|
|
j 4 l ] |
[■^22] |
[Л 23]_ |
|
||||
|
|
|
|
К в а з ид и а г о н а л ь н а я м а т р и ц а . Диагональная ма трица, у которой роль элементов на главной диагонали играют под матрицы [Лг], называется квазидиагональной:
|
|
|
Их) |
|
|
|
|
IА\ = |
|
( 1. 12) |
|
|
|
|
|
1Ап)_ |
|
Аналогично |
вводится |
понятие |
квазитреугольной, |
квазиленточной |
|
и т. п. матриц. |
|
|
Если в матрице |
||
Т р а н с п о н и р о в а н н а я м а т р и ц а . |
|||||
[.А ] = |
[аи ] |
поменять |
местами |
строки и столбцы, |
то получим ма |
трицу |
[Л ]т = [а,7], |
которая |
называется транспонированной по |
отношению к матрице [Л ]. Символ «т» обозначает операцию транспо нирования.
9
П р о и з в о д н а я от м а т р и ц ы . Под производной от матрицы условно понимают матрицу, получаемую из данной путем замены всех ее элементов их производными:
м , _ |
d [А] |
_ f |
dag |
(1.13) |
|
~ |
dx |
L |
dx |
||
|
О п р е д е л и т е л ь к в а д р а т н о й м а т р и ц ы . Опреде лителем квадратной матрицы называется определитель, элементы
которого равны элементам матрицы. Определитель |
матрицы [А ] |
||||||||
обозначается через |
|Л|. |
[о,-/] называется неособенной, |
если ее опре |
||||||
|
Квадратная матрица |
||||||||
делитель | а111- |
не равен |
нулю; |
в противном случае матрица |
назы |
|||||
вается особенной. |
м а т р и ц а . |
Матрицу [В ] |
назовем обратной |
||||||
к |
О б р а т н а я |
||||||||
квадратной матрице |
[Л ], если |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
[ Л ] [ Я ] = [ £ ] . |
|
|
(1.14) |
|
|
Можно показать, что достаточным условием существования обрат |
||||||||
ной матрицы является неособенность матрицы [Л ]. Матрица, |
обрат |
||||||||
ная |
к матрице |
[Л], обычно обозначается через |
[Л]-1, т. е. |
[/?] = |
|||||
= |
[ЛК1. |
|
|
|
|
п р о и з в е д е |
|||
|
Т р а н с п о н и р о в а н н а я м а т р и ц а |
||||||||
н и я |
н е с к о л ь к и х |
м а т р и ц может быть определена через |
значения матриц, транспонированных по отношению к матрицамсомножителям:
[ИЛ [Л2] ... |
[Л„]]т = [Л„Г [Л„_ЛТ... [Л2]т [Ллт. |
(1.15) |
||
О п р е д е л и т е л ь |
п р о и з в е д е н и я |
м а т р и ц |
равен |
|
произведению |
определителей матриц-сомножителей: |
|
||
| |
[Л,] [Л8]..-ГЛ„1| = | Л , | | Л 2| ... |
|Ла |. |
(1:16) |
О б р а т н а я м а т р и ц а п р о и з в е д е н и я н е с к о л ь
к и х м а т р и ц определяется через значения |
обратных матриц- |
|
сомножителей в соответствии с формулой |
|
|
нлл [Л2] ... [л,,]]-1= [лл- 1[Л,г_л- 1 ... |
[ЛлТ1 |
(1.17) |
Т р а н с п о н и р о в а н и е о б р а т н о й м а т р и ц ы . |
От |
изменения последовательности выполнения транспонирования и
обращения матрицы результат не изменяется, |
т. е. |
|
||
|
[ [ Л Н К = IL 4F]-1. |
|
(1.18) |
|
О б р а щ е н и е д и а г о н а л ь н о й |
м а т р и ц ы . |
Если |
||
имеется диагональная матрица [Л] = fака2 - • |
-апJ, то обратная по |
|||
отношению к ней матрица определится так: |
|
|
||
|
(Л]~] |
= \ага 2- • -ап\, |
|
(1.19) |
где а, = |
(i = 1, 2, . . ., |
л). |
|
|
10