книги из ГПНТБ / Габасов Р.Ф. Оптимизация линейных систем. Методы функционального анализа

Оптимизация

линейных

систем

ПРЕДИСЛОВИЕ

Материал книги основан на лекциях, читаемых авторами с 1968 г. на спецкурсах БГУ для студен- тов-математиков третьего курса, еще не знакомых с вариационным исчислением и теорией оптималь­ ных процессов. Методы оптимизации линейных си­ стем излагаются независимо от общих теорий. Для усвоения основных результатов достаточно зна­ комства с линейной алгеброй и линейными обык­ новенными дифференциальными уравнениями. До­ полнительные сведения типа простейших опреде­ лений функционального анализа приводятся и поясняются по ходу изложения. Несмотря на эле­ ментарность используемого аппарата, результаты, приведенные в книге, отражают современное со­ стояние теории оптимальных процессов и содер­ жат, в частности, принцип максимума Л. С. Пон­ трягина для линейных систем. Для того чтобы даже читатели, имеющие небольшие навыки обращения с элементарными математическими пре­ образованиями, смогли понять сущность приводи­ мых методов и результатов, в книге максимально использованы геометрические иллюстрации. При изложении основных приемов решения задач опти­ мизации в линейном случае мы старались по воз­ можности четко выявить и описать особенности каждого из них. Трудно сразу, без анализа кон­ кретного случая, утверждать, что работа с нели­ нейными системами важнее, полезнее, чем изуче­ ние линейных систем. Дело в том, что многие задачи оптимизации нелинейных систем можно в настоящее время решить вполне удовлетворитель­ но, если известны эффективные решения соответст­ вующих задач для линейных систем, ибо, по суще­ ству, большинство известных методов решения не­ линейных задач оптимизации основано на явных или неявных линеаризациях. Аппроксимации более

высокого порядка в задачах оптимизации пока поч­ ти не встречаются. Безусловно, формы и -приемы линеаризаций в каждом методе своеобразны, но суть их одна: исходная задача заменяется более простой, линейной, и из свойств ее решений делаются выводы о решениях нелинейной задачи. Здесь не обсуждаются вопросы аппроксимации не­ линейных систем и не исследуется проблема связи между решениями линейной и нелинейной задач, вместо этого весьма детально изучается проблема оптимизации линейных систем.

В заключение авторы выражают свою призна­ тельность В. В. Гороховику, В. П. Кирлице за по­ мощь, оказанную при подготовке монографии к изданию.

ВВЕДЕНИЕ

С задачами принятия решений, вопросами разумного пове­ дения, проблемами оптимального управления человек сталки­ вается ежедневно. При научном изучении подобных задач, их математическом моделировании и исследовании возникает много трудностей. Нужно не только дать математическое описа­ ние ситуации, что само по себе не всегда просто, но и четко описать понятие «разумное», «оптимальное», и это, видимо, во многих случаях самая трудная часть общей задачи оптими­ зации. Мы приводим только математические задачи оптимиза­ ции, не рассматривая, какие реальные ситуации отражены в данных математических моделях.

Простейшие задачи принятия решений связаны с поиском экстремума (минимума или максимума) функций конечного числа переменных. Немало таких задач может быть решено эле­ ментарными средствами (с помощью неравенств, геометриче­ ских рассмотрений и т. д.). Однако в общем случае использова­ ние дифференциального и интегрального исчисления неизбежно. Элементарные процедуры исследования функций на экстремум знакомы многим. Более тонкие вопросы включаются теперь в обязательные курсы (типа методов оптимизации) многих ву­ зов. Известно, что интерес к конечномерным задачам оптимиза­ ции, задачам с функциями конечного числа переменных сильно возрос с появлением линейного, выпуклого, и нелинейного про­ граммирования. В последние годы этот интерес еще более уси­ лился в связи с разработкой новых вычислительных алго­ ритмов.

Задачами, в которых при выборе наилучшего решения уже недостаточно оперировать с конечным числом параметров, стали интересоваться давно. Например, знаменитая задача Дидоны [1] относится к этому типу. В этой задаче нужно, как из­ вестно, выбрать не конечномерный вектор, а некоторую линию (функцию), т. е. элемент, описываемый бесконечным числом па­ раметров, элемент функционального пространства. Скалярные функции, определенные на таких объектах, называются функ­ ционалами. Исследование функционалов на экстремум — задача более трудная, чем ее конечномерный аналог. Ею занимается

И. Бернулли) до наших дней вариационное исчисление прошло большой путь. В его разработке приняли участие многие мате­ матики. К концу XIX в. содержание и основные методы вариа­ ционного исчисления стабилизировались и с тех пор вошли в учебники по классическому вариационному исчислению. Новый «взрыв» интереса к задачам вариационного типа относится к 50-м годам XX в. Он связан с теорией оптимальных процессов.

В теории оптимальных процессов есть два направления: принцип максимума Понтрягина [2] и динамическое програм­ мирование Р. Веллмана [3], которые занимают особое положе­ ние. Независимо от того, что к настоящему времени дали эти результаты и что они дадут в будущем, значение открытий Л. С. Понтрягина и Р.»Веллмана определяется тем, что они вы­ звали небывалый интерес у чрезвычайно широкого круга людей к математике вообще и задачам оптимизации в частности. В со­ временном процессе интенсивной математизации наук принцип максимума и динамическое программирование занимают видное место.

Задачи, представленные в книге, не явились следствием не­ линейных задач теории оптимальных процессов, а были в из­ вестном смысле источниками всей теории. Дальнейшее развитие теории оптимизации линейных систем было еще более незави­ симым от успехов общей теории. Наконец, результаты линейной части теории оптимальных процессов оказались существенно полнее (завершеннее), чем результаты во всей теории в целом.

Первые задачи оптимизации, по форме и содержанию во­ бравшие все существенные особенности типичных задач совре­ менной теории оптимальных процессов, возникли в теории авто­ матического регулирования. Специалисты этого направления обычно рассматривали объект регулирования, описываемый

получим различные выходные сигналы x(t), і^О. При задании

каждой кусочно-непрерывной функции u(t), ^ > 0, будет соответ­ ствовать единственная гладкая с кусочно-непрерывной п-й про­ изводной функция x(t), удовлетворяющая (1).

Пусть задан желаемый закон изменения выходной величины y=f(t), 0, т. е. требуется с помощью управляющего воздей-

Исходя из чисто технических соображений, специалисты по теории регулирования в эту общую (нечеткую) постановку ввели еще два элемента: а) входные воздействия должны быть ку­ сочно-непрерывными и удовлетворять ограничению

(3)с минимальным

Втакой постановке задача приобрела четкий смысл и стала называться задачей быстродействия (оптимального быстродей­

интересно отметить, что с задачей быстродействия связано за­ рождение не только теории оптимальных процессов. Вариаци­ онное исчисление начало свое развитие тоже с задачи быстро­ действия, которая более известна как задача о брахистохроне. Последняя задача в формулировке И. Бернулли состояла в на­ хождении такой линии, соединяющей в вертикальной плоскости две заданные точки, чтобы тяжелая материальная точка, скаты­ ваясь по ней, проходила расстояние между точками за мини­ мальное время. Выбор времени в качестве критерия оптималь­ ности в обеих задачах объясняется, видимо, его исключительной простотой и распространенностью в различных ситуациях.

Первое различие между двумя задачами быстродействия нетрудно обнаружить уже в самой формулировке. В современ­

по существу, функции типа x(t). Иначе говоря, в каждой постановке — свое физическое пространство, в котором вы­ бираются элементы, решающие данную задачу. Формально можно и современную задачу быстродействия сформулировать в терминах x(t), но тогда ограничения (4), порожденные реаль­ ными, физически определенными обстоятельствами, пришлось бы записать через косвенные показатели, что усложнило бы за­ дачу.

Причина различной формулировки двух похожих задач со­ стоит в том, что источники, вызвавшие их к жизни, были разные. Первая задача вариационного исчисления зиждется на чисто геометрических и механических представлениях, на представле­ ниях тех областей знания, которые были в XVII в. основными объектами приложения математики. Первая же задача теории оптимальных процессов основана на управлении, регулировании и связана таким образом с новой современной областью прило­ жения математических знаний. Это, на первый взгляд формаль­ ное, различие в дальнейшем, при развитии теории оптимальных процессов, оказалось решающим для открытия и формулировки основного результата теории — принципа максимума. Именно использование управлений позволило придать принципу макси­ мума стройность и простоту.

Второе принципиальное различие между двумя обсуждае­ мыми задачами связано с ограничениями типа (4). В вариаци­ онном исчислении (и, в частности, в задаче о брахистохроне) при формулировке основных задач, как правило, ограничения на допустимые кривые типа (4) не накладываются. Это позволяет при исследовании задач пользоваться техникой, аналогичной технике исследования на экстремум функций конечного числа переменных. Существенная особенность этой техники состоит в том, что с элементом, доставляющим оптимум критерию качест­ ва, сравниваются все другие элементы, лежащие в окрестности оптимума. Иными словами, область сравнения была раньше, как правило, открытым множеством. Присутствие ограничений типа

(4) обязывало вносить изменения в эту технику, поскольку реше­ ния задач могли находиться на границах допустимых множеств и поэтому не вся окрестность решения принадлежала допустимо­ му множеству. Изменения в основном состояли во введении одно­ сторонних вариаций, т. е. в учете допустимых элементов, которые лежали по «одну сторону» от решения, с тем чтобы неравенст­ во типа (4) выполнялось. Замена односторонними вариациями обычных двусторонних усложняла классическую технику, «пор­ тила» стройность результата. Поэтому в вариационном исчис­ лении в основном излагается теория без ограничений (4), а пра­ вила учета этих ограничений объясняются как исключение.

Надо заметить, что ограничения типа (4) — это простей­ шие ограничения типа неравенств, для которых модификации классической техники не вызывают особых затруднений техниче­ ского плана. В практических задачах встречаются и более слож­ ные ограничения, когда применение традиционной техники ва­ риационного исчисления сопряжено со значительными труднос­ тями. Особенностью классической техники (которая иногда вы­ ступает как достоинство, а иногда и как недостаток) является то, что она требует знания детальной структуры границы (и всего множества) допустимых элементов. Поэтому в задачах оптимизации, где вместо (4) рассматривается ограничение вида

классическая техника, вообще говоря, неприменима. Забегая не­ сколько вперед, отметим, что ограничения типа (4) в некоторых современных работах, следующих вариационному исчислению, учитываются другими приемами, без обращения к технике од­ носторонних вариаций. Эти приемы [4—8], выведенные для пре­ образования замкнутых областей в открытые, позволяют решить много важных и сложных задач методами вариационного исчис­ ления. Они существенно используют особенности конкретных ограничений и усложняются при усложнении последних.

В отличие от задач вариационного исчисления, где ограни­ чения типа (5) рассматриваются как дополнительные, а не ос­ новные элементы задачи и поэтому учитываются специальными

случае с (5)) были основными объектами. При таком подходе от­ сутствие ограничений (5) (или случай, когда U — открытое мно­ жество, что то же самое) есть весьма частная ситуация. Может показаться, что обсуждаемое различие не принципиально, ибо в конечном итоге речь идет об учете граничных точек множества U или о пренебрежении ими. Эти точки имеют в большинстве случаев меру нуль, что побуждает решать задачу без их учета, а затем «поправить» решение с учетом «ничтожного количества» граничных точек. Единственный недостаток приема состоит в том, что в большинстве интересных приложений задача оптими­ зации без учета граничных точек просто не имеет решения, поэ­ тому его «исправление» лишено смысла. В книге часто встреча­ ются задачи с простейшими ограничениями (4), которые упомя­ нутыми приемами можно учесть и в методах вариационного исчисления. Однако последними методами мы не пользуемся, пото'му что применяемые нами методы дают значительно более сильные результаты й не делают различия между ограничениями

(4) и ограничениями типа (5). Есть и другие особенности рас­ сматриваемых задач, в силу которых использование методов ва­

все действительные. Метод А. А. Фельдбаума основан на поня­ тии фазового пространства, что явилось новым моментом в по­ добных вариационных задачах. Особенно наглядным его метод был для двумерных систем (п = 2), где с помощью парабол мож­ но просто и быстро построить оптимальное управление. Главный результат А. А. Фельдбаума содержится в теореме об п-интер-