книги из ГПНТБ / Марченко Б.Г. Метод стохастических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

МЕТОД

СТОХАСТИЧЕСКИХ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ

Б.Г. МАРЧЕНКО ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

ИЕГО

ПРИЛОЖЕНИЯ В РАДИОТЕХНИКЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА»

К И Е В — 1 9 7 3

6Ф2

1430

УДК 519.2 : 621.391

В книге приводится математическое обоснование метода стохастических интегральных представлений и рассматриваются вопросы, связанные с его примене­ нием к решению задач радиотехники. С этой целью формулируется и доказывается ряд теорем, касаю­ щихся так называемых линейных в узком смысле слу­ чайных процессов, строится и исследуется ортогональ­ ная система полиномиальных функционалов от линей­ ных случайных процессов. Рассматривается методика, позволяющая вычислять с известной погрешностью значения функции распределения для некоторых ли­ нейных случайных процессов.

Показано, что большинство шумовых процессов, встречающихся в радиофизике, таких, например, как дробовой, тепловой, фликкер-шум в полупроводниках, реверберационный шум и другие, могут быть описаны при помощи модели линейных в узком смысле случай­ ных процессов. Методом интегральных представлений решается ряд задач радиотехники, имеющих самостоя­ тельное прикладное значение (смешанный модулятор, частотный дискриминатор, работа ортогональных филь­ тров в каналах коррелометра и другие).

Предназначена для научных сотрудников и ин­ женеров, занимающихся разработкой методов мате­ матической статистики в радиотехнике. Она может оказаться полезной и для специалистов по радиофи­ зике, кибернетике и гидроакустике.

Ответственный редактор акад. АН УССР Г. Е. Пухов

Рецензенты: чл.-кор. АН УССР П. Ф.Фильчаков, д-р техн. наук /7. И. Чинаев, канд. физ.-мат. наук А. Н . Не­ мения

Редакция физико-математической литературы

. 0 228 -38» ГЛ«2 2 Н 0 4 )Т 7» •9-74

© Издательство «Наукова думка», 1973 г.

Оглавление

Введение

Обнаружить полезный сигнал в шумах и оценить его парамет­ ры — одна из задач общей теории управления, радиотехники и теории связи. Их решение тесно связано с решением проблемы поме­ хоустойчивости. Эти задачи нельзя эффективно решать без глу­ бокого и всестороннего изучения свойств шумовых помех, без на­ личия теоретических моделей, наиболее полно отражающих природу шумов и согласующихся с физикой их образования. Естественно, что в силу центральной предельной теоремы основное место в тео­ рии шумов занимают гауссовы случайные процессы. Однако обойтись только гауссовыми процессами при решении описанных выше задач невозможно. Так, в результате различных нелинейных преобразований только гауссовых процессов получаются новые процессы, в общем уже не обладающие нормальным законом рас­ пределения. Кроме того, существует целый ряд процессов, которые в физической постановке задачи нельзя считать гауссовыми.

Для анализа таких процессов в настоящее время существуют различные методы. Один из них, наиболее распространенный, со­ стоит в построении функциональных разложений для нелинейных функционалов от исходных гауссовых процессов по определенной, хорошо исследованной системе функций. В зарубежной литературе функциональные разложения как метод анализа и синтеза нелиней­ ных систем в технике связи и теоретической кибернетике был опи­ сан Н. Винером [101], Р. Камероном и В. Мартином [86] и в ряде других работ, обобщение результатов которых имеется в [13]. Идеи этого метода применительно к теории интерполяции были разрабо­ таны и опубликованы А. Н. Колмогоровым [31, 96] за несколько лет до появления работ Н. Винера.

Однако после появления теории функциональных винеровских разложений потребовался еще целый ряд дополнительных иссле­

5

из первых двух моментов случайного процесса, а необходимо знать его характеристическую функцию или характеристический функ­ ционал. Метод стохастических интегральных представлений за­ ключается в том, что исходный линейный процесс представляется стохастическим интегралом вида (1), а затем строится решение задачи таким образом, как будто бы исходным процессом уже явля­ ется белый шум. Этот метод оказывается полезным не только при анализе стационарных гауссовых функционалов, рассмотренных Н. Винером, но и при анализе нестационарных, отличных от гаус­ совою, процессов как в рамках А2-теории, так и в общем случае. Он применим для определения высших моментов и функций распре­ деления процессов, описывающих реальные физические явления,

ипроцессов, полученных в результате нелинейных преобразований.

Взарубежной литературе метод стохастических интегральных представлений относят к методу порождающего процесса [30, 92].

Впервые метод порождающего процесса был применен А. Н. Колмо­ горовым в работах [31, 32, 96] за несколько лет до появления фун­ даментальных работ Н. Винера по этому вопросу для решения задач линейного прогноза по методу наименьших квадратов в случае ста­ ционарных стохастических процессов с дискретным временем. За­ тем он был вновь открыт Боде и Шенноном [77] применительно к линейной теории предсказания и сглаживания по методу наимень­ ших квадратов процессов с непрерывным временем и стал извест­ ным в прикладной литературе под названием «метода обеляющего фильтра». В теории автоматического управления этот метод изве­ стен под названием «метод формирующих фильтров». В теории обна­ ружения он был предложен В. А. Котельниковым [34] как средство решения задач для окрашенного шума путем сведения их к задачам для белого шума. Почти все эти работы относились к процессам, стационарным в широком смысле.

Многими авторами, например [30, 92, 93] (достаточно полный список зарубежных работ приводится в [30]), получены результаты, позволяющие применить этот метод для нестационарных и нелиней­ ных представлений случайных процессов при помощи порождаю­ щего процесса — белого гауссовою шума. В частности, в настоя­ щей книге строятся представления нестационарных процессов, для которых в качестве порождающего процесса используется негаус­ сов белый шум.

Хотя основное внимание в книге уделено интегральным пред­ ставлениям, основные теоретические положения и выводы, касаю­ щиеся представления линейных случайных процессов в виде рядов (если это допустимо), следуют из рассмотренной теории как част­ ный случай. В работе [41] показано, что для случайной функции, определенной на счетном множестве значений аргумента, ортого­ нальное разложение всегда возможно; координатные векторы получа­ ются при этом в виде линейных комбинаций значений этой функции.

Ортогональные разложения нелинейных стохастических функ­ ционалов из L2 занимают особое место в классе всевозможных раз­

7

ложений этих функционалов в стохастические ряды как в при­ кладном, так и в теоретическом планах. Это объясняется в первую очередь тем, что ортогональные компоненты реальных физических процессов, описывающих функционирование различных радиотех­ нических и электромеханических систем, могут быть получены пу­ тем «фильтрации» соответствующими устройствами. Кроме того, с теоретической точки зрения ортогональные разложения соответству­ ют некоторой общей декартовой системе координат (координатные функции разложения 120]), а это дает возможность использовать формулу Парсеваля для минимизации ошибок, возникающих при работе оптимальных систем и при построении различных аппрок­ симаций по методу наименьших квадратов. По этой причине в книге большое внимание уделено построению в явном виде ортогональных систем, позволяющих получать ортогональные разложения нелиней­ ных функционалов в случайном гильбертовом пространстве.

Отметим, что метод стохастических интегральных представле­ ний может применяться и самостоятельно — вне связи с фунда­ ментальными разложениями. Такой случай рассмотрен в § 5 гл. III.

Как известно, спектральная теория стационарных случайных процессов является весьма эффективным математическим аппара­ том, позволяющим очень часто с большой наглядностью раскрывать физический смысл и находить пути практической реализации анали­ зируемых случайных стационарных процессов. В случае нестацио­ нарных процессов при анализе в рамках энергетической теории спектральное представление случайных процессов, аналогичное ста­ ционарному случаю, построить не удается. В связи с этим вопрос раскрытия физического смысла анализируемого процесса в рамках энергетической теории только по его корреляционной функции при­ обретает особое значение. Метод стохастических интегральных пред­ ставлений в значительной степени облегчает задачу получения кор­ реляционных характеристик анализируемых линейных процессов и позволяет в ряде случаев весьма наглядно раскрывать их физи­ ческий смысл, не прибегая к спектрам.

Следует отметить, что область применения линейных случайных процессов не ограничивается только рассмотренными в настоящей книге задачами. Эти процессы можно успешно применять в теории массового обслуживания, в теории надежности и в других приклад­ ных областях. Предпосылки для такого применения имеются в работах [9, 18, 48]. Например, если предположить,что входной по­ ток требований, поступающих на обслуживание, пуассоновский (весьма распространенный случай), а обслуживание в линейной системе происходит по показательному закону, то выходной поток можно описать линейным процессом, а результаты § 3 гл. I дают возможность построить оценку функции распределения выходного потока.

Аналогично могут быть рассмотрены и другие задачи теории массового обслуживания, а также задачи, связанные с методом ста­ тистического последовательного анализа.

8

Условные обозначения

т) (т) — общее обозначение процесса с независимыми приращениями, w(т) — винеровский процесс,

у(т) — гамма-процесс,

я(т) — пуассоновский процесс,

Ё (0 — общее обозначение линейного случайного процесса,

о(t) — одномерный винеровский функционал,

р(0 — линейный функционал от гамма-процесса,

і