книги из ГПНТБ / Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие
.pdf
КИЕВСКОЕ ШСШЕЕ ЗЕНИТНОЕ РАКЕТНОЕ ИШЕНЕРНОЕ ОРДЕНА ЛЕНИНА КРАСНОЗНАМЕННОЕ УЧИЛИЩЕ ИМЕНИ С. М. КИРОВА
Э.А.КУЗЬМИН
УДК 62-901.4 К 89
ГДРМОЯІЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Издание училища 1973
Гармонический анализ динамичес ких систем. Э.А.Кузьмин, учебное по собив, 1973г., стр. 192.
Рассматривается анализ периодических режимов линейных ра зомкнутых и замкнутых систем. Исследование проводится на осно ве преобразования Лапласа и охватывает системы, содержащие пе риодические параметры. Дана методика исследования, получены общие выражения для расчета собственных и вынужденных колеба ний. Методика применима для изучения нелинейных корректирую щих устройств, импульсных автоматических систем, систем с ам плитудной модуляцией.
Работа предназначена для слушателей училища. Может быть использована инженерами, занимающимися соответстующими иссле дованиями.
'Алл. S&. Табл. 1. Ьибл. 34.
г
В В Е Д Е Н И Е
Изучение процесса функционирования различных технических систем зачастую приводит к необходимости исследования дифферен циального уравнения с периодическими коэффициентами.
В качестве примеров |
можно привести: |
|||
- |
анализ |
импульсных |
автоматических систем; |
|
- |
анализ |
систем |
с модуляцией и демодуляцией сигнала, в |
|
частности, систем с |
амплитудной модуляцией; |
|||
-анализ периодических режимов нелинейных систем;
-исследование процессов параметрического усиления и гене
рации;
-исследование процессов в синхронных машинах и т . д .
Получение искомых результатов в подобных случаях затрудне но тем, что общие прикладные методы решения дифференциальных уравнений указанного класса пока отсутствуют. Поэтому в настоя щее время в распоряжении исследователя есть только комплекс различных приближенных методов. Применимость и целесообразность последних существенно зависит от поставленной задачи. Если ме тод соответствует задаче, он может привести к желаемому резуль тату, обеспечивая достаточную для практики точность при наи меньших затратах труда.
Одним из важных для исследования вопросов является перио дический режим динамических систем. Поэтому естественно, что в этом случае в основе большинства методов лежит спектральная теория, в частности, гармонический анализ. Изложению некоторых вопросов гармонического анализа динамических систем с периоди ческими параметрами посвящена данная работа. В качестве осиоиной модели системы здесь принята система с одним периодически.-.
коэффициентом передачи, имеющая стационарную динамическую часть, описываемую обычной передаточной функцией. Эта модель позволи ла провести приближенное изучение собственных и вынужденных ко лебаний, а для разомкнутых систем полностью определить форму выходного сигнала. В работе показано, что принятая модель не сужает исследования и полученные результаты могут быть непос редственно перенесены на реальные динамические системы.
Изложение опирается на аппарат интегрального преобразова ния Лапласа. Решение задачи в области изображений с последую щим переходом к разложению сигналов в спектр дает возможность получить новые результаты, используя привычные понятия переда точной функции и частотных характеристик.
4
4
Г л а в а |
I |
|
|
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РАЗОМКНУТЫХ . |
|
||
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ • |
|
||
§ 1 . 1 . Периодический |
сигнал |
и его разложение |
|
в ряд Фурье |
|
||
Периодический сигнал |
X(Q |
произвольной |
формы, изменяю |
щийся с частотой І 2 = |
: |
Sçfà) - эс |
± г? 7*) |
в области времени может быть аналитически задан либо законом изменения функции X.(Q в интервале пТ' £• â ^Û7+:/)77 либо разложением в ряд Фурье:
В практике |
инженерных исследований |
задание scfî) рядом |
( І . І ) является |
более удобным, поскольку |
в этом случае упроща |
ется анализ преобразования сигнала при передаче его динами ческими цепями. Особенно важно это при гармоническом анализе линейных цепей и систем, для которых, благодаря применимости принципа суперпозиции, передача любого периодического сигна ла становится эквивалентной передаче совокупности простых гармонических сигналов.
Так как при заданной частоте 12 |
спектральный состав |
|
периодического сигнала oc(f) |
известен |
заранее, единствен |
ной операцией для представления его рядом (І.І') является оп
ределение коэффициентов Фурье |
и à |
|
. Общим спосо |
||||||||||
бом их отыскания является применение |
формул Эйлера |
[30 J . |
|||||||||||
|
Периодический |
сигнал |
может быть |
также |
представ |
||||||||
лен своим изображением по Лаплаоу |
|
• Име я |
в |
ВИДУ» |
что- |
||||||||
при исследовании линейных систем преобразования Лапласа |
су |
||||||||||||
щественно упрощает |
получение |
основных |
соотношений, |
рассмот |
|||||||||
рим |
jCCp) подробнее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Известно, что для периодического сигнала изображение мож |
||||||||||||
но получить |
в форме \jB/С |
|
] : |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ХФ> |
|
|
|
* ^ |
Х/р-), |
(1.2) |
||||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изображение |
^а(р} |
|
можно рассматривать как |
изображе |
||||||||
ние функции |
SCgfty |
t совпадащей с |
3c(t} |
|
на |
интервале |
|||||||
\Р» |
и равной |
тождественно нулю везде |
вне |
этого |
интервала. |
||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х/Р) |
-A(Oeptdt. |
|
|
|
. (1.3) |
||||||
|
|
|
° |
; |
I |
о, |
|
о |
т . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция jC0(p) |
|
аналитична |
на конечной |
плоскости, однако, |
|||||||||
как правило, имеет особенности на бесконечности. |
|
|
|
||||||||||
|
Назовем |
XaCf) образущей функцией. С помощью ее |
|
||||||||||
изображения |
% (и) |
|
на |
основании Формулы (1:2) |
образование |
||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
периодическогосигнала произвольной формы можно показать структурно в виде линейной цепи с идеальным импульсным моду лятором, на вход которой воздействует постоянный сигнал / ^ О (рис. І . І ) .
/ |
|
|
|
На рис. |
І . І |
функция |
|
Р * Ш |
J |
у |
%(Р)ш |
8_(ß) |
обозначает изо- |
||
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
/ |
Сражение |
немодулиро- |
||
|
ö |
|
ванной |
последователь- |
|||
|
|
j |
а-рТ |
ности |
и |
- |
функций, |
|
Рис. |
І . І . |
имеющей период следо |
||||
|
вания |
7* |
. Изобра |
||||
|
jCQCp) |
, определявшее форму |
|||||
жение |
сигнала, |
может быть эф |
|||||
фективно использовано |
для определения |
коэффициентов Фурье |
|||||
ряда ( І . І ) . Действительно, на основании структурного представ
ления периодический сигнал JoCO » спектр которого |
включает |
||
все частоты, кратные £і =• ~? |
, можно рассматривать |
как |
|
реакцию некоторой линейной фиктивной цепи с передаточной |
|
||
функцией 3(0(р)на сигнал |
- £1 8>С{~Я |
, |
|
' |
Ог-оо |
|
|
спектр которого содержит те же самые гармоники: |
|
|
|
a + z c o s |
" п $ • |
(і-4) |
|
Поэтому преобразование каждой гармоники будет определяться эквивалентным комплексным коэффициентом передачи JCQ(j'К&) .
С другой стороны, преобразование гармоник можно характе ризовать, определяя отношение изображений выходного и вход ного сигналов при подстановке р ~JkQ. ;
2 |
£ |
rP |
|
T n |
. T I |
|
|||
\p*jKSL |
, |
|
|
|
|||||
Отовда |
следует, |
что |
связь |
изображения |
обраэущей |
Д |
(ßj |
||
коэффициентами |
Фурье можно записать в |
виде |
[ /5 |
J |
: |
||||
, |
|
^ |
- |
у |
4 =JLX//Xà). |
|
|
(1.5) |
|
Эту же формулу можно получить, используя интегралы Эйлера:
Т
Г о |
|
|
2 |
|
<м |
4 - " ф/я(0 |
|
|
о |
- j'h^ |
|
Формируя выражение |
, найдем: |
|
7* |
|
|
алгу6х = j?Jx(0 |
(cosxnt -jSinKQQdt - |
|
О |
|
|
о |
о |
|
Следовательно, формула (1.5) не |
вносит принципиальных из |
|
менений в определение коэффициентов Фурье. Целесообразность еѳ применения заключается в том, что использование таблиц пре
образования Лапласа |
при |
отыскании |
изображения j[ (р) |
поз |
|||||
воляет |
избежать решения |
интегралов |
при расчете |
коэффициентов |
|||||
Qx |
и |
Ьк |
. Существенным является также |
то, |
что |
введение |
|||
функции |
jÇjjK&) |
обеспечивает |
компактную |
запись |
выражений |
||||
для коэффициентов Фурье.
Если ряд Фурье определяется в комплексной форме: |
t |
комплексные коэффициенты Ск |
находятся по формуле: |
Учитывая различные виды симметрии периодического |
сигнала, |
|||||
формулу |
(1.5) |
можно представить в несколько^ином |
виде. Напри |
|||
мер, для функций |
x(ty |
, имеющих симметрию Ш рода, |
т . е . |
|||
для периодических функций, удовлетворяющих условию: |
|
|||||
ccft-t^-^ = ~~^cCQ ' в к а ч е с т в е образущей |
можно |
рассматри |
||||
вать функцию DC {fy , совпадающую с ос(на |
половине |
|||||
периода |
У |
- |
Тогда |
|
|
|
Функция XqC/KQ), будет отлична от нуля только при не
четных значениях |
к |
' |
К = |
I, |
3, 5, . . . |
|
||
Таким образом, для разложения периодической функции в |
||||||||
ряд Фурье ( І . І ) |
достаточно |
лишь |
получить изображение./}^/?). |
|||||
Если для функции 2С0 (е^ |
можно |
составить |
аналитическое вы |
|||||
ражение, определение jCQCp) |
производится |
непосредственно |
||||||
по таблицам |
преобразования |
Лапласа |
]f63 8 ] |
- В общем случае, |
||||
особеннопри |
задании |
DC0(ty |
|
графически, |
для нахождения |
|||
изображения функцию |
DC0 (О |
достаточно |
представить в виде |
|||||
совокупности |
функций |
DC. Cfy |
|
> заданных |
на интервале |
|||