книги из ГПНТБ / Волны в двухкомпонентных средах
..pdf
АКАДЕМИЯ НАУК УЗБЕКСКОЙ ССР
Ин с т и т у т с е й с м о л о г и и
X. А. Рахматулин, Я. У- Саатов, И. Г. Филиппов,
Т. У. Артыков
ВОЛНЫ В ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ
СРЕДАХ
Издательство .Фан" Узбекской ССР Ташкент—1974
УДК 539.30
В монографии приведены результаты исследований по рее пространению волн в двухкомпонентных упругих слоистых ере дах с плоско-параллельными границами раздела, вызванных движущейся нагрузкой.
Рекомендуется научным сотрудникам, преподавателям вузов, аспирантам, интересующимся вопросами сейсмики и геофизики.
Гос. иаучн
бйбл!
ЭН
ЧИТАЛ
В в е д е н и е
Исследование нестационарных процессов в твердых сплош ных средах - актуальная задача механики сплошной среды.
Простейшей моделью твердого тела является упругая сре
да, общая теория которой с |
достаточной |
полнотой |
изложена |
в |
превосходной монографии А. |
Лява /147» |
а также |
в других |
|
монографиях и учебниках. Исследованию задач волновой дина мики в упругих линейных средах посвящено большое количест во работ советских и зарубежных исследователей. В целом ря де монографий изложен широкий круг задач волновой динамики в акустических, упругих и упруго-пластических средах.
Однако в природе твердые тела обладают весьма сложными реологическими свойствами и,как правило, являются многоком понентными средами (например, грунты, различные суспензии
ит .д .) .
Впоследнее время в механике сплошных сред появилось много результатов, относящихся к динамической теории много компонентных сплошных сред.
Линейная теория деформации упругой пористой среды с на полнителем в виде вязкой жидкости была развита в работах М. Био /46-477 и применена к задачам консолидации.
Работы Х.А. Рахматулина /177, Л.С. Лейбензона и других авторов посвящены теории газодинамики взаимопроникающих дви
жений сжимаемых сред.
Работы В.Н. Николаевского, Грина и Нахди, Р.И. Нигматулина, Стилла, И.Г. Филиппова , я.У. Саатова /15-16*38,43,49, 51/, вышедшие в последние годы, освещают более общую теорию относительного течения многокомпонентных сжимаемых сред.
Настоящая монография посвящена исследованию некоторых динамических задач в двухкомпонентных сплошных средах.
Первая глава охватывает основные положения общей теории относительного течения многокомпонентных сплошных сред.
Материал остальных глав изложен применительно к теории двухкомпонентной среды, состоящей из смеси двух упругих ли нейных сред, или из смеси упругого и жидкого компонента.
|
|
Г л а в а |
I |
|
|
ЛИНЕЙНЫЕ МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ СПЛОШНЫЕ СРЕДЫ |
|||
Уравнения движения для п-компонентных сплошных сред |
||||
|
Динамическая теория относительного движения многоком |
|||
понентных сплошных сред, включающая динамическую |
теорию |
|||
диффузии, химическую?температурную реакцию, электро-маг- |
||||
нитные аффекты и т .д ., в последнее время привлекают внима |
||||
ние |
многих исследователей. Этот интерес обусловлен тем,что |
|||
в технике начинают применяться сложные композитные матери |
||||
алы, |
создаются новые материалы на основе полимеризации и |
|||
т.д . |
Кроме того, |
большинство естественных материалов в при |
||
роде являются многокомпонентными сплошными средами (напри |
||||
мер, грунт). |
|
|
|
|
|
Ниже приводятся уравнения движения п-компоненгных сплош |
|||
ных сред. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим сплошную среду, состоящую из п-континуумов. |
|||
Будем предполагать, что каждая |
точка среды занята |
всеми |
||
составляющими, находящимися во взаимном относительном дви |
||||
жении. |
|
|
|
|
|
Отнесем движение всех п-континуумов к фиксированной системе |
|||
прямоугольных декартовых координат. |
i о обоз |
|||
|
Положение частиц каждой из компонент в момент |
|||
начим через |
> т .е . |
|
|
|
где |
i- = I |
|
шты |
начального положения |
<j - частицы. |
|
Используя обозначение |
|
( I . I . 2 . )
|
5 |
|
|
соотношения ( I . I . I . ) |
можно представить в виде |
|
|
|
x f '- t 't o ) |
,co<i04 t |
( I . I . 3 . ) |
Из ( I . I . I . ) и ( I . 1 .3 .) вытекает, что движение |
среды |
||
возможно лишь при |
ф |
|
|
>0, |
|
|
|
П Q |
|
|
|
Э л* |
|
|
|
и ? |
d x'i‘ >0 |
(«г.У .г.З), |
( 1 Л Л - ) |
(Ю 1,2,3).
Предположим, что частицы всех компонент в момент t за нимали одно и то же положение. Тогда
|
Х и/ = -£(? ■ |
|
|
а |
|
( I . I . 5 . ) |
||
и соответствующие |
скорости |
равны |
|
|
||||
|
|
, ф |
|
d x -i1 |
fj - |
, h. |
( I . I . 6 . ) |
|
|
|
Za' |
|
d t |
1 |
|||
Обозначим плотности компонент среды в покое в единице |
||||||||
объема |
через |
j> , Р2) |
|
|
; ускорения частиц |
каждой компо |
||
ненты |
через |
3^ |
; |
|
составляющие |
тензоров |
скоростей де |
|
формаций через |
|
|
|
\ где |
запятая |
означает част |
||
ную производную по |
Хс |
и |
Хк. |
|
|
|||
Основные |
определяющие уравнения относительного движения |
|||||||
среды из п-континуумов оудем выводить из уравнения энергии и неравенства, определяющего возрастание энтропии смеси.
Пусть |
Г - |
производная замкнутая |
неподвижная поверхность, |
||
ограничивающая некоторый фиксированный |
объем V , |
пс- внеш |
|||
няя нормаль |
к |
Г единичной |
длины. |
|
|
Считая внутреннюю энергию |
U смеси аддитивной, |
первый |
|||
закон термодинамики или уравнение баланса энергии для конеч ного объема V среды’ можно представить в следующей форме:
+ fU ]dV=
V
6
- J f p + t j . f w i j v + l |
иг, |
|||
J |
i-i |
r. i=< |
|
( I . I . 7 . ) |
|
|
Г i*i |
|
|
где T - кинетическая энергия |
среды в |
единице |
объема и |
|
равна |
T - i t t e l f t f |
ei |
|
|
|
|
|
||
|
j-.i |
|
здесь |
( I . I . 8 .) |
- константы, имеющие размерность плотности, причем
’Sj ~плотности компонент в агрегатном сос
тоянии; Z - функция теплового потока единицы массы; Ь - поток тецла через единичную площадку поверхности Г ; р - плотность среды.
Внутренняя энергия U содержит как внутренние энергии каждой из компонент, так и слагаемые, определяющие взаимное
влияние всех п-компонент среды, причем когда |
все j>- , кро |
ме какой-либо одной, обращаются в нуль, то U |
становится |
равной внутренней энергии этой единственной компоненты.Внеш
ние массовые |
силы обозначены |
через |
F |
, |
поверхностные |
|||||
силы через |
|
f |
причем |
|
‘ |
и |
t |
P r r iJ) |
||
- скорости работ массовых и поверхностных |
сил. |
В уравнении |
||||||||
( I .I .7 ) |
мудьтиполярные напряжения и мультиполярные массовые |
|||||||||
силы не |
учитываются. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение |
( I . I . 7 . ) |
можно преобразовать: |
|
|
||||||
|
If |
|
■r-i |
Ы |
j |
|
|
.r»e, + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
.X |
L |
Z |
^ ^ l d |
V - |
|
|
|
|
|
|
|
i-{ |
Ы |
|
|
|
|
|
|
( I . I . 9 . ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- - J ln + U F W + S lL fv f'- b ld r ,
у J & |
■ |
7
(I .I .I O .)
Рассмотрим движение среды как движение жесткого одно
родного переноса всей массы, причем |
в момент i |
все |
п - |
|||
компоненты |
среды занимали |
одинаковые |
положения, т .е . заме |
|||
ним |
на |
+ ёс , |
где |
i ( - произвольна |
пос |
|
тоянные. Предположим, что величины U,Pi , hl'ti (j>-
остаются неизменными при наложении таких перемещений. Пос ле вычитания получим:
4 J<> |
|
t*i J |
|
г |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( I . I . I I . ) |
v dzi |
J |
|
|
ZZm,.dV=o. |
|
|
|
|
|
v |
|
||
|
|
|
e--< |
J |
|
|
Так как ^ |
и |
У - произвольные постоянные |
и объем, |
|||
то из ( I . I . I I . ) |
следуют соотношения |
|
|
|||
или |
|
.. = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
+д х М |
v * }>Si = Z .S (i |
|
( I . I . I 2 . ) |
|
|
" |
' |
' е=< |
|
|
|
(закон сохранения массы элементов смеси) |
|
|
||||
I f l f j - . F f’- L |
s ^ f n i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( I . I . 13.) |
+ j £ f } V * o .
r d-i
8
Если применить ( I . I . I 3 . ) к произвольному тетраэдру, то получим
иИ (JJ
Х _ R J= |
^ , |
( I .I .I 4 .) |
g. w |
rf=' |
|
где ЬС1— составляющие |
тензоров частных напряжений и урав |
|
нения |
|
|
Z f e ? . - l l j . |
v ? ) |
или |
|
£ 1 С - [ £ я .г Г - я к % Е ч * ? ', |
4-1 |
( I . I . I 5 . ) |
|||
А--1 |
t - i |
d |
|
|
|
которые эквивалентны трем уравнениям импульса. |
|
||||
Используя соотношения |
( I . I . I 2 . ) , |
( I . I . I 4 . ) и |
( I . I . I 5 . ) , |
||
уравнение (1 ,1 .9 .) |
можно |
привести к виду |
|
|
|
(1 .1 .16.)
i e ^ C ' l} ( ^ n f t X ! d V i -
Р Г " К V * - v ' / H') - h ] c ir = O.
г
Применяя ( I . I . 16) к тетраэдру, образованному координан-
тными плоскостями и плоскостью с нормалью Не |
получим |
L o V W - t t " ) - Л - » , { . ) -- о , |
( I .1.17) |
|
9
где
2 0 ' Ч С ' - ? ' Г ) - г,а С -1 !,'Г \ ] |
( I . I . I 8 ) |
|
|
|
|
(\к - поток тепла |
через плоскость х - х к |
в точке т,. |
Вновь применяя |
( I .I . I 6 ) к произвольному |
объему и исполь |
зуя ( I .1 .1 7 )( найдем соотношение
где
(I .I .2 0 )
Рассмотрим движения среды, инвариантные относительно однородного жесткого вращения, т .е . движения всех п - кон тинуумов отличаются от скоростей некоторого движения только
наложенной .скоростью |
однородного вращения и |
заменя |
||
ются на |
liTim , |
где |
Ъ),т — произвольный |
кососиымет- |
ричвый тензор. |
Как и ранее |
получим: |
|
|
2 - ( 6 * i W i * . ) = 0 , |
(I.I.2 1 ) |
откуда при произвольных U lK следует |
|
1 C - z C |
(1 .1.22) |
d=i |
|
т .е . суммарный тензор напряжений в произвольной точке среды - симметричен.