книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

3.

Основные характеристики векторного

поля.

4.

О дифференциальных и интегральных

характеристиках поля

ных

полях Земли и. Солнца. Н а с о к р у ж а ю т и

пронизывают

элек­

тромагнитные поля. Свет это тоже электромагнитное поле.

Кругом

действуют поле атмосферного давления, поле

температур

и

т. д.

Что ж е такое поле? Поле это любая физическая величина,

кото­

рая

в разных точках пространства принимает

разные значения.

А

что такое физическая величина? Это величина, которая

коли­

2.

Основная характеристика скалярного поля

Основной характеристикой скалярного поля cp(,t, у , z,

t)

явля ­

ется вектор

где

Ѵ = х ° - ^ . + y ° - | ^ + z 0 - ^ — д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы й

о п е р а т о р

„набла",

или оператор

Гамильтона;

grad <р — вектор, направленный в сторону быстрейшего

возра­

стания функции <? и по величине р а в н ы й производной этой

функции—

по этому направлению . Вектор grad <р, поскольку

он не зависит от

вариантная

величина. Ясно, что инвариантной величиной не может

д<?

д<е

до

являться

ни

,

ни

и л и - ^ - ,

поскольку

эти

производные функ­

ции зависят

от направления

координатных осей. Поэтому эти про­

изводные в отдельности не могут быть характеристиками

поля.

3. Основные характеристики векторного поля

Основными

характеристиками

векторного

поля

A(.v, у , z, t)

являются:

div А — расхождение

или расходимость

вектора и

rot А — вихрь, ротор или ротация

вектора;

Как

известно,

л-

A

àAx.

. àAy

дА,

,

д /

лч

d i v

А = â T + DJ

" - ^ - V - A = v A - ( v , A ) .

Ясно, что каждое

слагаемое в отдельности, а т а к ж е

производные

дА,

àAy

вида — - ,

—^- и т. д. не могут

являться

инвариантными

величи­

нами, т. е. не могут быть характеристиками

поля.

П о определению,

,

à А,

дАс_

дА,

rot А = х °

ду

dz

dz

dx

+ z °

дАу

â ^ ) = V X A =

f v A ] = [ V ) A ]

ду

ду

или

x°

y 0

z°

rot A =

_д

д

d_

dx

ày

dz

Ax

Ay

Az

ным от источников

или соленоид'альным

(трубчатым)

полем.

Векторное поле,

у которого г о 1 А = 0 , называется

безвихревым

или

потенциальным.

4. О дифференциальных и интегральных характеристиках

поля

и

наглядном его представлении

Определенные выше характеристики поля характеризуют

поле в

точке,

в к а ж д о й точке в отдельности.

Поэтому они являются

диф ­

относится

к точке,

невозможно. Однако дифференциальные харак ­

теристики

имеют

физический

смысл. Следовательно,

физический

смысл и

наглядность это не

тождественные понятия.

Физический

ствуют величины, имеющие физический смысл,

но

их

наглядно

представить невозможно.

Н а г л я д н о

изобразить можно характеристики

поля,

относящие­

ся к области

пространства

конечных размеров .

Так,

наглядное

представление

о скалярном

поле температур Т(х,

у ,

z)

дает се­

На этом ж е

рисунке

изображены

изобары — семейство

кривых

равного давления р(х, у , z)

= const.

Примером

наглядного

представления

скалярного

поля

в

тео­

рии электромагнитного

поля являются

эквипотенциальные

по­

верхности

<Р (х,

у , z)=consl . Очевидно, что

чем

больше

по

абсо­

лютной величине

grad 7", grad р , тем

гуще

проходят

изотермы и

изобары .

Точно

т а к ж е ,

чем больше

I grad<p|,

тем гуще

проходят

эквипотенциальные

поверхности.

• Векторные

поля

и з о б р а ж а ю т с я

при помощи

векторных

линий.

Векторная линия это линия, в каждой

точке

которой

касательная

совпадает

с направлением'

вектора

в

этой

точке.

Густота

вектор-

Рис. 1

Рис. 2

величина вектора

А, т . е . |АІ, в левой части рисунка

больше, чем в

правой части.

5.

Интегральные характеристики поля

Интегральная

характеристика векторного поля

А, соответству­

тора А через замкнутую поверхность (рис. 3), т. е.

Ф=$А

ndS = l f A n d S = ^ A d S ;

.S

5

S

dS=ndS;

n - н о р м а л ь к поверхности

S.

Интегральная характеристика векторного поля А,

соответству­

ю щ а я

дифференциальной

характеристике roi А, есть

циркуляция

проекции

вектора А па

касательную

в каждой точке контура

(•рис. 4),

т. е.

Ц^А

idl=$Al°dl=jkdl;

"i

i

i

Рис.

3

Рис.

4

d\=l°dl;

І° —единичный

в е к т о р

по

касательной

к

к о н т у р у .

Связь

межд у интегральными

и дифференциальными характери ­

стиками

поля устанавливается

теоремой Остроградского — Гаусса

и формулой

Стокса.

Теорема

Остроградского — Гаусса

формулируется

соотношением

<М

idUlxoinkdS,

•*i

s

Электромагнитное

поле характеризуется четырьмя

векторами.

Эти векторы

таковы:

Е(х. у , z,

t)

— вектор

напряженности

электрического

поля;

B(.v, y, z,

I)

—вектор

магнитной индукции;

D(x, у , г, t) — вектор электрического смещения;

H(.v, у , z,

L) — в е к т о р

напряженности

магнитного поля.

Размерность этих

векторов

вольт

в

[Е]

= метр

м

IDl — К У Л 0 И

=

.

L ' ~ метр2

-«а '

[В] = тесла = Т;

ампер

А

метр

м

ампер _

А

метр

2

м2 1

г

[Р]

кулон

Кл

метр

3

•3ъ

•

м

I I .

r o t b U cm

Г J;

dt

I I I .

d l v D = p ;

IV.

d i v B = 0 .

ном виде

законы электромагнитного поля.

Они суть законы,

выра­

ж а ю щ и е

в наиболее общем виде структуру

электромагнитного

поля,

и устанавливают связь между

электромагнитным полем и его ис­

точниками, которыми являются

токи и заряды .

циальными уравнениями в

частных производных.

Однако уравне­

ния М а к с в е л л а могут быть

сформулированы и

в интегральной

где

/ — ф и к с и р о в а н н ы й

в о о б р а ж а е м ы й

з а м к н у т ы й к о н т у р , а 5 — п р о и з в о л ь н а я

п о в е р х н о с т ь , о п и р а ю щ а я с я

на

этот

кон ­

В

тур

( р и с

1).

Ц и р к у л я ц и я

вектора

на­

п р я ж е н н о с т и

э л е к т р и ч е с к о г о

поля

по

н е п о д в и ж н о м у

к о н т у р у

равна

произ ­

водной по

времени с обратным

знаком

от

потока

магнитной

индукции

ч е р е з

п о в е р х н о с т ь ,

о п и р а ю щ у ю с я

-на

этот

к о н т у р .

Рис.

1