книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

Памяти Елены Александровны Норден

ПРЕДИСЛОВИЕ,

Книга Ф. Клейна „Неевклидова геометрия“*, бога­ тая многими идеями, давно стала библиографической редкостью. В настоящее время ощущается настоятель­ ная необходимость в ее переиздании.

Предлагаемая вниманию читателей книга, в кото­ рой на базе вырождающихся мероопределений стро­ ится теория поверхностей в пространствах с распадаю­ щимся абсолютом, воскрешает необходимый для данной теории материал из книги Ф. Клейна. Эта теория строится автором в таких пределах, чтобы включить ее в схему созданной А. П. Норденом „теории двух нор­ малей“, ставшей в настоящее время классической.

А. Хатипов.

Самарканд 15 ноября 1971 г.

* Ф. Клейн, Неевклидова геометрия, Москва, 1936.

Г л а в а I

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПГОЕКТИВІШ ГЕОМЕТРИЯ

С тех пор как Понселе (1788-1867) основал синтетиче­ скую проективную геометрию в работах Мёбиуса (1790-1860) и Плюккера (1801-1868) проективная геометрия получило чи­ сто аналитическое оформление. Затем в работах Штейнера (I7S6-I863) и Итаудта она вновь прошла этап чисто синтети­ ческого направления. Оба пути развития проективной геомет­ рии получили одинаковое применение.

§ I . Аффинные, однородные и проективные координаты

Координаты были введены в геометрию Декартом (15961650) и Ферма (1608-1665). В ХУШ в . они получили широкое распространение благодаря работам Эйлера (1707-1783).

На прямой простейшие декартовы координаты вводятся сле­ дующим образом: на ней выбирается некоторая начальная точка

тогда положение любой точки определяется ее положительным или отрицательным расстоянием от этой выбранной точки("на­ чальной точки" или "начала координат"). На прямой, кроме того, выбирается точка с координатой I . Этим на прямой определяется единица измерения ("масштаб").

На плоскости и в пространстве положеній точки опреде­ ляется при помощи осей, которые могут образовать между со­ бой любой угол. При этом, выбирая единичные отрезки на осях не одинаковые, мы получим обобщенные декартовы или аффинные координаты.*'

С помощью аффинных координат бесконечно удаленные (несобственные)точки не могут быть заданы. Будем, как и выше, исходить из прямой линии. Возьмем на ней точку с аф­ финной координатой х. и зададим последнюю в виде отноие-

а) А .З .-А .Хатипов, Курс аналитической геометрии, ч .І : издательство СамГУ, Самарканд, 1959- § 82, стр . 145} см.также ч.Ш, Самарканд, 1969, § 179,

ле бесконечно удаленную, в то время как аффинные координаты определяют лишь собственные точки; так что однородные коор­ динаты расширяют область собственных точек прямой путем при­ соединения бесконечно удаленной (несобственной) точки. •

В силу сказанного становится естественным следующее опре­ деление: прямая называется аффинной, если мы ограничиваемся рассмотрением ее собственных точек; прямая называется проек­ тивной, если она расширена присоединением бесконечно удален­ ной (несобственной) точки.

иметь бесконечно удаленные (несобственные) точки плоскости

родными координатами. Последние охватывают все точки пло­

венные точки; так что однородные координаты расширяют об­ ласть собственных точек плоскости и пространства путем при­ соединения бесконечно удаленных (несобственных) точек к собственным (обыкновенным) точкам.

Как в случае прямой линии, плоскость и пространство называются аффинной плоскостью и аффинным пространством, если мы ограничиваемся рассмотрением лишь собственных точек пло­ скость и пространство называются проективной плоскостью и проективным пространством, если они расширены присоедине­ нием бесконечно удаленных.(несобственных) точек.

Так как в аффинных координатах прямая и плоскость имеют соответственно уравнения

- б -

Л* + Я у -hC - о

( М )

іо в однородных координатах они принимают однородный вид30)

или проще

>-з = °

и

суть уравнения бесконечно удаленных точек прямой и пло­ скости. Так как эти уравнения - линейные, то естественно совокупность всех бесконечно удаленных точек плоскости счи­ тать прямой, а совокупность всех бесконечно удаленных то-§*

- 7 -

чек пространства считать плоскостью. Теперь имеют определен­ ный смысл утверждения: всякая пара прямых определяет одно­ значно точку их пересечения и всякая пара точек однозначно определяет соединяющую их прямую, Аналогичные предложения имеют место для случая плоскости в пространстве.

Приведем некоторые формулы, в которых выявляется преиму-. щество определителей, введенных в геометрию Гессе (1811-1874). Последний был учеником Якоби (1804-185I)* заслуги которого

в теории определителей должны быть отмечены особо.

Уравнение прямой, проходящей через две точки в аффинных

Параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки и (^„г^-ж ^плоскости в однородных коорди­ натах имеют вид

- ^ I

^+ -^г z i »

где параметры принимают всевозможные значения за исключе­

Параметрические уравнения плоскости проходящей через три точки ( а ,,» ь , ь , , з у) , ( * Л , 2» А ) ,Л Л ^ » ^ * ) пР°о*ранства в однородных координатах имеет вид

Параметрические уравнения прямой пространства, прохо­ дящей через две точки V ) И ( z, г , ,'7j ,Z V) в

однородных координатах имеет вид

Проективные координаты вводятся в порядке обобщения однородных координат. Проективная координата на прямой мохет быть введена при помощи понятия сложного отношения че-