книги из ГПНТБ / Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО"

СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР

М. А. Зак

Неклассические проблемы механики сплошных сред

ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

1 9 7 4

Введение

Механика сплошной среды может рассматриваться как раз­ дел теоретической механики, в котором изучается специфическая система материальных точек, характерная тем, что множество этих точек имеет.мощность континуума. Казалось бы, нет ника­ ких физических предпосылок для того, чтобы в механике сплош­ ной среды вводить дополнительные аксиомы или ограничения, касающиеся ее движения. Тем не менее классический вариант феноменологической механики сплошной среды содержит тако­ вые. Заметим, что к числу вышеупомянутых ограничений или до­ полнительных аксиом вовсе не относятся законы термодинамики, которые широко используются в механике сплошной среды; эти законы вводятся для замыкания соотношений, связанных с урав­ нением состояния, если в состав последнего входит температура; в этом смысле законы термодинамики, как и уравнения состоя­ ния, играют ту же роль, какую играет зависимость силы от Ко­ ординаты, скорости и времени в уравнении динамики материаль­ ной точки.

Природа фигурирующих в классической механике сплошной среды дополнительных ограничений совсем иная. Смысл этих ог­ раничений состоит в том, что все функции, описывающие движе­ ние сплошной среды, считаются непрерывно дифференцируемы­ ми достаточное число раз почти везде; так, например, в трехмер­ ных средах разрывы ускорений или скоростей допускаются лишь на некоторых (подвижных или неподвижных) поверхностях, в двумерных средах — на кривых, в одномерных средах — в точ­ ках. Такой подход позволяет использовать классический аппарат математического анализа — дифференциальные уравнения — для изучения движения сплошной среды. С физической точки зрения эти ограничения равносильны тому, что вместо множества мате­ риальных точек рассматривается множество бесконечно малых объемов, каждый из которых состоит из бесчисленного множе­ ства материальных точек, но наделяется некоторыми осредненными (средними по ансамблю) значениями скоростей, ускорений

3

и т. д.; это означает, что скорости или ускорения двух бесконеч­ но близких точек среды также бесконечно близки.

Однако, вообще говоря, нет никаких физических предпосы­ лок для принятия такого рода ограничений иа класс движений сплошной среды. Пример турбулентного движения жидкости по­ казывает, что принципиально сплошная среда может совершать движения, при которых скорости и ускорения точек не описыва­

которые описывают движение сплошной среды. Следуя Адамару [1], можно показать [2, 3], что в тех областях, где теряется гипер­ боличность уравнений динамики, т. е. появляются мнимые ско­ рости распространения упругих волн, возникает неустойчивость движения сплошной среды, проявляющаяся в нарушении непре­ рывной-зависимости между начальными отклонениями парамет­ ров и их последующими изменениями; при этом функции, описы­ вающие это движение, стремятся «выйти» из класса непрерыв­ ных (и даже почти везде непрерывных) функций в течение бес­ конечно малого интервала времени после начала возмущенного движения.

В то же время можно показать, что значения параметров за пределами этой области не противоречат ни одной из аксиом или принципам, на которых строится теоретическая механика, и, сле­ довательно, вступают в противоречие лишь с теми искусственны­ ми ограничениями чисто математического характера, о которых говорилось выше. Другими словами, можно сделать вывод о том, что «запретные» с математической точки зрения значения пара­ метров соответствуют таким состояниям среды, при которых ее движение не может быть описано функциями, непрерывными по­ чти везде. Так, например, при исследовании динамики идеально гибкой нити методами дифференциальных уравнений оказалось, что «запретными» являются те ее состояния, при которых натя­ жение становится отрицательным; в то же время сжатое состоя­ ние гибкой нити физически не противоречит ни одной из аксиом теоретической механики; действительно, если по подвешенному за верхний конец вертикальному отрезку тяжелой гибкой нити снизу нанести удар, то в некоторой зоне, близкой к свободному концу, она окажется сжатой, но при этом форма ее не сможет быть достаточно точно воспроизведена ни одной непрерывной кривой. Этому физическому факту математически соответствует потеря устойчивости формы нити в классе непрерывных функ­ ций. Аналогичные «запретные» зоны параметров можно указать в теории двумерных гибких тел (мягких оболочек, пленок), в тео­ рии упругих тел, в теории газов и жидкостей, в теории сыпучих сред.

4

Итак, сплошная среда при вполне реальных внешних воз­ действиях может попадать в такие области, в которых ее движе­ ние невозможно с достаточной степенью точности описать непре­ рывными (а точнее-—почти везде непрерывными) функциями и для которых, следовательно, неприменим аппарат дифференци­ альных и интегральных уравнений, используемый в классической механике сплошной среды. В связи с этим возникает проблема построения такого математического аппарата, который при опи­ сании движений сплошной среды не накладывал бы на это дви­ жение дополнительных ограничений и, в частности, не требовал бы непрерывной дифференцируемости поля скоростей и дефор­ маций почти везде.

В арсенале методов теоретической механики имеются так на­ зываемые вариационные методы, позволяющие находить движе­ ние системы материальных точек с помощью минимизации неко­ торого функционала путем использования прямых методов ва­ риационного исчисления. Однако само существование такого функционала имеет место лишь в потенциальных задачах; в ос­ тальных же случаях вариационные принципы неизбежно приво­ дят к системе дифференциальных (или интегральных) уравнений движения. Тем нр менее можно указать один достаточно общий вариационный принцип, с помощью которого нахождение движе­ ния несвободной системы материальных точек всегда можно све­

системе, т. е. системе, лишенной геометрических связей. Правда, непосредственное использование принципа наименьшего принуж­ дения в механике сплошной среды невозможно, так как с клас­ сической точки зрения сплошная среда (за исключением абсолют­ но твердого тела и гибких тел с неизменяемой внутренней геомет­ рией [4]) является свободной системой материальных точек и минимизируемый функционал обращается в тождественный нуль. Однако, если несколько обобщить понятие геометрической

сплошная среда, но без внутренних напряжений. Движение каж­ дой точки такой среды ничем не связано с движением «сосед­ них» точек и может быть найдено как решение дифференциаль­ ных уравнений сплошной среды, если в них положить равным нулю тензор внутренних напряжений, т. е. как решение обыкно­ венных дифференциальных уравнений каждой точки в отдельно­ сти. Истинное движение отличается от свободного тем, что удов­ летворяет некоторым связям в обобщенном смысле и отыскива­

5

Г л а в а I

Геометрические модели сплошных сред

§1. Связи в сплошной среде

1.Свободная сплошная среда. Рассмотрим некоторое мно ство D материальных точек, движение которых в физическом пространстве относительно некоторой инерциальной системы от­

ную точку будем отождествлять с точкой в геометрическом смыс­ ле. Назовем множество D сплошной средой, если точки, опреде­ ляемые векторами г0, образуют континуум D0 в физическом про­ странстве [4].

Если на функцию г= г (г0), переводящую D0 в D, не наложе­ но никаких ограничений, то соответствующую сплошную среду будем называть свободной. Для свободной сплошной среды мо­ жет оказаться, что на некотором множестве значений Го функция г(г0) вообще не существует (в среде образуются «щели», «тре­

вкаждой точке пространства нужно задать %скоростей, относя­ щихся к соответствующим компонентам среды). С геометриче­ ской точки зрения может сложиться следующая ситуация: если

вначальном состоянии Do свободной сплошной среды зафикси­ ровать непрерывную кривую или поверхность, имеющую точки г0+, то точки r t-= r(r0+), являющиеся образами точек г0+ в D, не будут образовывать непрерывной кривой или поверхности.

2.Связи. Любое ограничение, наложенное на функцию г(г0),

будем называть связью. Приведем примеры связей, которые бу­ дут использованы в дальнейшем.

Рассмотрим сплошную среду, для которой обратная функция г0 (г) существует, причем в каждой точке г имеет множество зна­ чений г0£, образующих континуум. Другими словами, предпола­

7

сти функции г0(г). Такое ограничение математически может быть записано следующим образом:

не зависят ни от конкретных силовых воздействий на нее, ни от конкретных реализаций уравнений состояния, имеющих место для среды данного типа. Однако в силу последних может ока­ заться, что для среды со связями (2) :!: существуют производные от г0 по Х{ более высокого порядка, чем первые. ..Это обстоятель­ ство, конечно, нельзя квалифицировать как появление дополни­ тельных связей.

§2. Модель твердого тела

1.Определение. Твердым телом будем называть сплошну среду, для которой в каждой точке г0 существует взаимно-одно­ значная и дифференцируемая (т. е. имеющая однозначную про­ изводную) функция г (г0) .

Уравнение связи для твердого тела записывается в виде

ние функции г0(г). Если ввести декартовы координаты хг-° и Xi для векторов г0 и г, то

x i = 4iСЛ> х °2, х °з), x °i = qt(xu Хо, х.А) (г= 1, 2, 3). (1—2—2)

Кривые <7i = const можно принять за координатные линии но­ вой (вообще говоря, криволинейной и косоугольной) координат-*

* Здесь и в дальнейшем при ссылках на формулы данного параграфа или главы номера последних в тексте опускаются.

8

ной системы. Координаты индивидуализированной точки г0 в этой системе в процессе движения среды будут оставаться неизмен­ ными, а координаты зафиксированной в некоторый момент точ­ ки пространства г будут, вообще говоря, меняться. В дальней­ шем такую систему координат будем называть сопутствующей, так как она движется вместе с точками тела.

Отметим, что из дифференцируемости функции г(г0) следует

однозначности и дифференцируемости функций г (г0) следует су­ ществование неособого тензора A = dr/dr0, осуществляющего ло­

Исследуем структуру и свойства тензора А.

Начнем с частного случая, когда аффинор является симмет­

финоров, «*» — знак транспонирования матрицы.) Его собствен­

и тем самым исключим вырожденные и зеркальные преобразо­ вания D0 в D, которые не могут быть отнесены к классу физиче­ ски возможных движений.

Тогда при условии Х\фХ2фХ3 действие аффинора С сводится

Рассмотрим другой частный случай, когда аффинор А явля­

9