книги из ГПНТБ / Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие

м о с к о в с к и й

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА ИМЕНИ Г. В. ПЛЕХАНОВА

Кафедра статистики

Г. Л. ГИНЗБУРГ

РУКОВОДСТВО П( ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МЕТОДА

.АИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ В ; ЮНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКй>Х

РАСЧЕТАХ

Учебное 'пособие

В В Е Д Е Н И Е

Большой знаток статистики В. И. Ленин в 1921 году пи­ сал: «Дельный экономист, вместо пустяковых тезисов, зася­ дет за изучение фактов, данных, проанализирует .наш собст­ венный практический опыт и скажет: ошибка там-то, испра­ влять ее надо так-то». 1

За годы Советской власти статистиками была выполнена огромная работа: организована текущая статистика эконо­ мического и культурного строительства в нашей стране.

Советские статистики выполнили свой долг и в период первых пятилеток, и во время Великой Отечественной войны, и в послевоенный период. К ним можно отнести академиков В. С. Немчинова и С. Г. Струмилина, заслуженных деятелей науки и техники, профессоров Б. С. Ястремского, А. Я. Бояр­ ского, Н. К. Дружинина и других крупных ученых.

Советские математики также внесли огромный вклад в экономико-технический прогресс. Тем не менее математика и статистика продолжают оставаться в большом долгу перед экономикой. Особенно это относится к математической ста­ тистике, которая является разделом математики, посвящен­ ным математическим приемам систематизации, обработки и использования статистических данных и практическим выво­ дам на основе изучения этих данных.

Предметом математической статистики, как самостоятель­ ной научной дисциплины, является формальная математиче­ ская сторона статистического метода исследования, безраз­ личная к специфической природе изучаемых объектов. Отсю­ да большая универсальность ее методов и их научная беспри­ страстность. Однако на пути распространения методов мате­ матической статистики стоит одно чрезвычайно серьезное препятствие — сложность вычислений.

Задачи обработки результатов экспериментальных наблю­

4

корреляционных уравнений, с точки зрения автоматизации процесса решения, являются наиболее важными в экономи­ ко-статистическом анализе не только потому, что они слож­ ны, а главным образом потому, что на основе их решения проверяются гипотезы, делаются выводы и заключения о раз­ личных закономерностях в протекании сложных экономиче­ ских процессов.

Основной идеей данной работы является использование свойств сумм последовательных степеней натурального ряда чисел при решении систем нормальных уравнений с равноот­ стоящими узлами, получающихся при применении метода наименьших квадратов в экспериментальных исследованиях.

Теоретической основой работы является система формул, позволяющая определять элементы обратных матриц, нахо­ дить и оценивать параметры регрессионных уравнений двух­ факторных корреляционных моделей.

Практической целью работы является составление таблиц, позволяющих максимально упростить и облегчить труд вы­ числителя при аппроксимации параметров уравнений, связы­ вающих результаты опытных исследований.

На конкретных экономических примерах осуществляется сопоставление и оценка результатов, полученных с помощью различных методов аналитического выравнивания и даются практические рекомендации.

В пособии излагается метод, с помощью которого эконо­ мист-практик сможет определять параметры регрессионных уравнений и уравнений динамики не только без решения си­ стемы нормальных уравнений, но даже без составления и выписывания этой системы. Для этого на ЭВМ были состав­ лены таблицы, с помощью которых можно аппроксимировать некоторыми функциями до 100 экспериментальных точек.

Эти функции могут иметь следующий вид:

1. Полиномы

y — a0 + aix+... + am-i х т~1 .

2. Суперпозиция полинома и экспоненты

у — 10а° + а'х + • ■ • + ат -1 хП *

3. Дробно-рациональная функция

4. Логарифмическо-линейная функция

y = a0+ ailgx.

5

5. Логарифмическо-полиномиальная функция y=ao-\-a\X+a,2\gx.

6. Степенная функция

у= аоХа' .

7.Произведение степенной и показательной функции

у—аоХа' ахз .

8.Линейная функция двух независимых переменных

f(x, у) =aoo-t-au,x+aoiy.

9. Квадратическая функция двух независимых переменных f(X>у) —в\оХ + во\у-^-в цху + в2оХ2+ во2У2 воо-

Г Л АВ А 1

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

§ 1. Выравнивание статистических рядов

Пусть производится наблюдение множества однородных объектов, так называемое статистическое наблюдение. Мно­ жество однородных объектов называется статистической со­ вокупностью. Каждый из этих объектов характеризуется не­ которым признаком, изменение которого (вариацию) мы будем рассматривать.

Первичным результатом статистического наблюдения яв­ ляется перечень членов совокупности и соответствующих им значений признака (вариант). Такой перечень называется рядом вариант или простым статистическим рядом.

Простой статистический ряд подвергают первичной обра­ ботке, т. е. группируют члены совокупности, принимающие либо одни и те же значения признака, либо значения внутри определенного интервала. Результат группировки, представ­ ленный двумя рядами чисел — значениями признака (или ин­ тервалами) и соответствующими им частотами, называют ста­ тистическим (вариационным) рядом.

В случае группировок по интервалам ряд называется ин­ тервальным, а в случае группировок по отдельным вариан­ там — дискретным.

Интервальные ряды часто встречаются при экономических и демографических исследованиях, например при изучении

6

распределения работающих по размеру заработной платы, распределения мигрирующего населения по возрастным груп­ пам, вступивших в брак по группам возрастов и т. д.

Дискретные ряды часто используются при экономическом анализе таких процессов, как распределение рабочих по чис­ лу обслуживаемых станков, распределение учащихся средних школ по классам и т, д.

При анализе статистических рядов находят уравнение регрессии, т. е. уравнение линии, показывающей плавное из­ менение зависимой переменной под влиянием изменений не­ зависимой переменной, освобожденной от действия всех по­ сторонних, не учтенных в данных условиях причин.

Кроме того, большое значение в экономике имеют ряды динамики. Рядом динамики называется ряд чисел, характери­ зующих изменение величины общественного явления во вре­ мени. Примерами рядов динамики могут служить данные о произведенном национальном доходе СССР по годам, данные

оросте выплавки стали, о жилищном строительстве в СССР

ит. д. Ряды динамики могут быть интервальными и момент-

ными.

Примером интервального ряда могут служить данные об общем объеме капитальных вложений в .нашей стране но го­ дам, а примером моментного ряда — данные об объеме не­ завершенного строительства на государственных предприя­ тиях.

При помощи построения и анализа рядов динамики вы­ являются закономерности и особенности развития обществен­ ных явлений (периодические и сезонные колебания и др.). При анализе рядов динамики находят общую тенденцию в изменениях показателей ряда — ось кривой или тренд, ко­

торый характеризует плавное изменение явлений во времени,!/ освобожденное от действия посторонних факторов.

Статистический ряд показывает изменение явления во времени или в пространстве. Выравнивание статистических рядов дает возможность производить сравнение явлений как в процессе их развития во времени, так и по различным фор­ мам и видам процессов, обнаружить взаимную зависимость явлений.

Термин «выравнивание» означает приведение в соответ-' ствие с данными, непосредственно полученными из наблюде­ ния, ряда чисел, изменяющихся по определенному закону. Математически выравнивание заключается в изыскании фор­ мулы, связывающей выровненные значения со значениями аргумента, по которому .производится выравнивание.

К аналитическим методам выравнивания относятся: вы­ равнивание по прямой и выравнивание полиномами различ­ ных порядков. При использовании полиномов высоких сте-

7

пеней применяются различные способы, сокращающие свя­ занный с этим труд. Эти способы, сводящие процесс отыска­ ния параметров к серии операций на суммирующих машинах, являются весьма полезными при проведении обширных эко­ номических исследований. Их применение облегчается созда­ нием специальных таблиц.

Стремление максимально приблизиться к описанию иссле­ дуемых процессов привело к необходимости проверки все более сложных видов зависимостей. Разработаны различные математические методы анализа статистических рядов, мно­ гие из которых созданы для оценки регрессий и трендов, воз­ никающих при усреднениях, причем вид этих кривых бывает довольно сложным, а степень полиномов весьма высокой.

Выравнивание непосредственно связано с аппроксима­ цией функций, что означает приближенное выражение одних функций другими. Математическая статистика использует аппроксимацию функций для оценки близости эмпирических распределений к теоретическим и во многих других задачах.

Классические методы обработки экспериментальных дан­ ных, используемые в точных науках вполне пригодны к оцен­ ке и переработке экономической информации.

Марсом и Юпитером). Наблюдения Пиацци охватывали толь­ ко 9° орбиты планеты. Об этом открытии астрономы Европы узнали только через несколько месяцев, когда планета скры­ лась в лучах солнца.

внимание на удивительную точность эфемерид, вычисленных немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Гаусс по небольшому числу наблюдений Пиацци весьма точно ука­ зал положение Цереры на небе и она была сразу обнаруже­ на. Теоретической основой для этих вычислений явился «ме­ тод наименьших квадратов», разработанный и примененный им в 1794 году.

К- Ф. Гаусс обычно не торопился с опубликованием своих трудов, поэтому случилось так, что первой печатной работой по методу наименьших квадратов была книга французского математика А. М. Лежандра «Новые методы для определе­ ния орбит комет», выпущенная в свет в 1806 году, в которой он дал первое изложение метода наименьших квадратов, найденного им самостоятельно и независимо от К- Ф. Гаусса.

8

К. Ф. Гаусс опубликовал свою первую работу по методу наименьших квадратов в 1809 г., где дал ему вероятностное обоснование.

Второе, принципиально отличное от Гаусса, вероятност­ ное обоснование метода наименьших квадратов дано Лапла­ сом в «Аналитической теории вероятности», изданной в 1812 году.

Однако оба эти обоснования имели принципиальные не­ достатки, поэтому К. Ф- Гауссом в 1826 году было опублико­ вано совершенно новое решение задачи о комбинации наблю­ дений, которое опять привело к методу наименьших квад­ ратов.

Недостатки обоснований Гаусса и Лапласа были устране­ ны работами русских математиков-академиков П. Л. Чебы­ шева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова, превративших метод наименьших квадратов в строгую последовательную теорию, одним из приложений которой является математическая об­

ский труд «Исчисление вероятностей», в VI главе которого с исчерпывающей глубиной изложен метод наименьших квад­ ратов.

Много работал в области метода наименьших квадратов проф. А. С. Чеботарев, перу которого принадлежит более 150 работ, в том числе фундаментальный учебник по методу наименьших квадратов [14].

Создателями оригинальных руководств и учебников по ме­ тоду наименьших квадратов являются проф. Н. Н. Идельсон [8], проф. П. И. Шилов [181, чл. корр. АН СССР Ю. В. Линник [9] и др.

Теория ошибок и метод наименьших квадратов в настоя­ щее время являются самостоятельной научной дисциплиной. Методом наименьших квадратов можно пользоваться для установления эмпирических формул на основании материа­ ла, добытого с помощью наблюдения или эксперимента.

Специальный математический аппарат-теорию наилучше­ го приближения функций впервые глубоко разработал крупнейший русский ученый П. Л. Чебышев. Эта теория при жизни Чебышева и после его смерти разрабатывалась уче­ ными всего мира. Затем она разрослась в большой самосто­ ятельный раздел математики: почти все наиболее существен­ ные результаты в этой области принадлежат русской мате-

9

матичеокой школе, основоположником и создателем которой является Чебышев.

Теория нанлучшего приближения функций в настоящее время нашла широкое практическое применение в экономике и технике. Круг конкретных задач, для разрешения которых Чебышев ее создал, значительно расширился, а эффективные практические методы неустанно разрабатываются.

В связи с появлением ЭВМ ученые, работающие в этой области, начинают все чаще и чаще обращаться к работам Чебышева. На праздновании 200-летнего юбилея Академии наук СССР, а также на заседании, посвященном 50-летию со дня смерти Чебышева, многие ученые говорили о настоятель­ ной необходимости самого полного и тщательного изучения научного .наследия этого выдающегося математика (акаде­ мики Н. Г. Бруевич, И. И. Артоболевский и др.).

Основная установка Чебышева состоит в следующем: «Практическая деятельность человека представляет чрезвы­ чайное разнообразие и для удовлетворения ее требований, разумеется, недостает науке многих и различных метод. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же за­ дачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по воз­ можности большей выгоды». [15]

Из этой оснозной установки вытекает лейтмотив всех ра­ бот Чебышева в области теории наилучшего приближения функций — заменить точное решение задачи приближенным так, чтобы погрешность, получающаяся при этой замене, бы­ ла наименьшей.

В 1946 году академик В. С. Немчинов изложил систему статистическо-математических вычислений в полиномах Че­ бышева, позволяющую производить все расчеты на ЭВМ. [10]

Необходимо упомянуть и работу В. И. Хотимского [13], в которой даются весьма удобные таблицы для нахождения уравнений параболических кривых.

Та же задача — упрощения вычислений при использовании метода наименьших квадратов — рассматривалась в работе «О связном анализе статистических рядов», написанной груп­ пой авторов — бывших студентов статистического отделения МГУ: Боярским, Писаревым, Старовским под руководством профессора Б. С. Ястремского. [19].

Весьма значительными представляются работы советских ученых Н. С. Четверикова — представителя «чупровской» школы и В. Д. Пирятина из Харьковского университета.

М. В. Игнатьев и Н. С. Четвериков составили и опубликова­

10