книги из ГПНТБ / Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных

В. Н. МАЛОЗЕМОВ

СОВМЕСТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1973

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА

В. Н. МАЛОЗЕМОВ

СОВМЕСТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1973

ПАМЯТИ ИСИДОРА ПАВЛОВИЧА НАТАНСОНА

ПОСВЯЩАЕТ АВТОР ЭТУ КНИГУ

ВВЕДЕНИЕ

Основополагающее значение для конструктивной теории функций имеют следующие классические результаты.

Первая теорема Вейерштрасса. Для того чтобы функция f(x) была непрерывна на конечном отрезке [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы нашлась последовательность алгебраиче­ ских полиномов {Рп(х)}, іг—1,2, . . такая, что РП(х) ■—>/(л")

равномерно по х е [а, 6].

Вторая теорема Вейерштрасса. Для того чтобы 2л:-периоди­ ческая функция f(x) была непрерывна на всей вещественной оси (—со, оо), необходимо и достаточно, чтобы нашлась после­

г раз непрерывно дифференцируема на (—сю, оо),до при любом натуральном п можно построить тригонометрический полином Тп (х) порядка не выше п, для которого

/Т

Теорема А. Ф. Тимана. Если функция f(x) имеет на конеч­ ном отрезке [a, b] непрерывную r-ю производную, то при лю­ бом натуральном п ^ г можно построить алгебраический поли­ ном Рп(х) степени не выше п такой, что для всех х е [й, b]

\ / { х ) - Р п { х ) \ < А Г У{Ь — х) (л. — а) . b— а \г

Данная книга посвящена обобщению этих результатов на случай совместного приближения функции и ее производных.

В § 1 и 2 главы I доказывается следующее утверждение, являющееся обобщением теорем Вейерштрасса: для того чтобы функция f(x), заданная на отрезке [a, b] (соответственно 2япериодическая функция f(x), заданная на (—оо, с»)), имела там непрерывную г-ю производную, равную ф(х), необходимо и до­ статочно, чтобы нашлась последовательность алгебраических полиномов {Рп {х)} (соответственно последовательность триго­ нометрических полиномов {Тп (х)}) такая, что ііри п-^оо

равномерно на [а, Ь] (соответственно

Определение производных через совместное замыкание по­ следовательности полиномов и последовательности производных от полиномов типа (1) и (2) носит весьма общий характер. Ил­ люстрацией этому является § 3. Здесь формально вводится дробная производная для тригонометрических полиномов, а за­ тем на основе совместного замыкания дается общее определе­ ние непрерывной дробной производной для 2я-периодических функций. Изучаются простейшие свойства операции дробного дифференцирования. Устанавливается связь введенного опреде­ ления дробных производных для периодических функций с из­ вестными определениями Вейля.

В главе II приводятся обобщения теорем Джексона и А. Ф. Тимана.

Справедливо следующее утверждение, обобщающее теорему

Джексона: если f е CW, то при любом натуральном п можно построить тригонометрический полином Тп порядка не выше п, для которого при всех s e [0: г] будет 1

А/* / г);

І і / ю - т г і к

Для непериодических функций получено такое обобщение теоремы А. Ф. Тимана: если функция f(x) имеет на [a, b] не­ прерывную г-ю.производную, то при любом натуральном /г^ г

можно построить алгебраический полином Рп(х) степени не выше п такой, что для всех s e [0 : г] и х е [а, Ь]

6

отрезке [а, Ь] непрерывную r-ю производную, равную ц>(х), не­ обходимо и достаточно, чтобы нашлась последовательность

лива формула (1.3). Тогда последовательным дифференцирова­ нием для xŒ.[a, b] получаем

f {r (x) = q(rr_ 1!) (x) + IX ®{t) dt, a

f r)(x) = «P(JC),

что и требовалось доказать.

8

Н е о б х о д и м о с т ь . Допустим,^что f(x) имеет на [а, Ь\ не­ прерывную г-ю производную.

Рассмотрим при фиксированном х е [а, Ь] интеграл

(Т^туі § ( x ~ t y - y n (t)dt.

а

Применив к нему г раз формулу интегрирования по частям, получим

+ JF±ÖT j (Jf—0r“ 2/ (r-1,(0 d t = ...

ность алгебраических полиномов степени не выше k, которая

Тогда g(x) также является алгебраическим полиномом степени

Ям [х . )г?~ё[х ,),