книги из ГПНТБ / Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций

УДК 517.53 : 532.5

Одобрено Ученым советом

Ленинградского

гидрометеорологического

института

ных

Конспект лекций

содержит краткое изложение

элементар­

понятий и основных фактов теории функций

комплекс­

ного

переменного,

а

также некоторые гидромеханические при­

ложения t...

Предназначен

для студентов-заочников

гидрометеорологи­

ческих институтов.

Г л а в а

I

К О М П Л Е К С Н Ы Е Ч И С Л А И Д Е Й С Т В И Я Н А Д Н И М И

§

1. Комплексные

числа.

Геометрическое

представление

комплексных чисел

на плоскости

Число z = x + iy,

где х

и у

действительные

числа,

а /- = — 1 (і—

мнимая

единица)

называется

к о м п л е к с н ы м

ч и с л о м ;

X — д е й с т в и т е л ь н а я

ч а с т ь комплексного

числа

z(x

=

= Re г) ; у

— м и и м а я

ч а с т ь комплексного

числа z(y=

Im

z).

Д в а

комплексных

числа

z — x+iy

и Z\ =

Х\

+ іу\

считаются

равными 2=2|,

если равны

их действительные

п

мнимые

части,

т. е.

Х = Хи

£/=£/,.

Если

Im 2 = 0,

то

z = Rez — действительное

число.

Если

Im z

Ф 0,

то

комплексное

число

z

часто называют

м н и м ы м

числом, а если

при

этом

Re

z — 0,

то

число

z

называют

ч и с т о

м н и м ы м.

Д л я того чтобы

дать

геометрическое изображение

комплекс­

ного числа z=x

+ iy,

поступим

следующим образом. Выберем

на

плоскости

прямоугольную

декартову

систему

координат

Оху

и

будем

к а ж д у ю

точку М(х,

у)

этой

плоскости

рассматривать

как

образ

комплексного

числа

z = x + iy.

Это

установит взаимно

од­

нозначное соответствие между множеством всех

точек

плоскости

и множеством

всех

комплексных чисел.

При

этом

множество

всех действительных чисел изобразится осью

абсцисс,

которая

поэтому

называется

д е й с т в и т с л ь и о й

о с ь

ю,

а

множе­

ство

всех

мнимых чисел изобразится множеством точек, не ле­

ж а щ и х

на

оси

абсцисс, в частности, множество всех

чисто

мни­

мых

чисел

изобразится

осью ординат,

которая

называется

м и н -

м о й

о с ь ю

(рис. 1 ) .

Плоскость Оху,

точки

которой и з о б р а ж а ю т

комплексные

чис­

ла z—x

+ iy, называют

к о м п л е к с и о и

п л о с к о с т ь ю

или

Д л я геометрической интерпретации комплексного

числа

мож­

но действительной п мнимой частям

комплексного числа z = x + iy

поставить

в соответствие не координаты точки

М{х,

у), а проек­

ции

-V и

у радиус-вектора этой

точки на

координатные

оси

(рис.

1).

Рис.

Поэтому будем

теперь

употреблять

как

синонимы

понятия

«комплексное

число х+су»,

«точка х + іу»

и «вектор

х+іу».

Длина

вектора

х + іу

называется

модулем

комплексного

чис­

ла 2 = л'-f-iy. Модуль

обозначается \z\

или

\xJ,

іу\ .

Если z ф

0,

то угол

между

положительным

направлением

действительной

осп

и

вектором

z

называется

а р г у м е н т о м

комплексного

числа

z.

Аргумент

обозначается A r g г,

он

опреде­

лен с точностью до целого кратного

2 л слагаемого.

Но

сущест­

вует лишь одно значение

A r g г,

удовлетворяющее

неравенствам.

— -

<

Arg г <

к .

Это

значение

A r g z

называется

г л а в н ы м

з и а ч е н и е м

а р г у м е и т а

и

обозначается

arg

z.

Очевидно,'Arg

z ~

arg

z .-1н.-^

к=0,

~

1,

и . 2, •••

Если

z—дей­

ствительное

положительное

число, то arg

z = 0;

если

z—дейст­

вительное

отрицательное

число, то

arg

z

—я;

если z—чисто

мни­

мое

число

и

//?і>0,

то

arg

z =

-^;

если

z—чисто

мнимое

число

Im 2 < 0 ,

то

arg z

=••••—arg

0

не имеет

смысла.

Если z = X - f iy, то

I г | = •/ хг + у 2

, tg(Arg г)

=

У

Очевидно, что

X = Re z =

| z | • cos ( A r g г ) ;

у =

Im г =

I z I • sin (Arg

z).

Поэтому

комплексное число z можно

записать иначе

z — X - j -

іу =

I z |- (cos Arg г - f j sin A r g z ) .

•

Эта

запись

назыпается

т р и г о н о м е т р и ч е с к о й

ф о р ­

м о й

комплексного числа.

Примеры:

1 = 1- (cos 0 + / sin 0),

В дальнейшем

для 1 простоты

будем

записывать

комплексное

число z

в виде 2 = г (cos » +

г sin »), где r=\z\,

?

= A r g z .

Д в а

комплексных числа х-\-іу

и х—іу

называются с о п р я -

ж е н и ы м и. Если

опно из них z, то другое обозначается z: Оче­

видно, что точки z

и z симметричны

относительно

действительной

оси, что к | = ф | и arg 2 = — a r g z

(если

z

не есть

действительное

отрицательное

число, ибо в последнем случае

arg z = arg z = i t ) .

§ 2.

Действия над комплексными числами

Сложение

комплексных

чисел.

С у м м о й

комплексных

чисел

zl=xi-{-iy1

и

z2=x2-\-iy2

называется

комплексное

число

Z = Z , + Z

2

=

( J C I + J C 2 ) + і ( у 1 + у 2 ) .

Р а з н о с т ь ю

комплексных

чисел z[=x[-\-iy[

и z.> =

x.,-j-iy.2

называется

комплексное

число

z = z l — z 2

=

(xl—x2)Jri(yi—y2).

На

рис. 2 изображены

вектор-сумма

и

векгор - разность . ком ­

плексных

чисел Z| и Zo как векторов.

Если

Z\

и z 2 — действительные

числа,

zx—x\,

z2

— Xo,

то их

сумма

Z I + Z 2 =

A'I + A'2 и разность

z i — z 2

= x l

— X2

вычисляются и

согласно

правилу

сложения

и вычитания

действительных

чисел.

Очегшдно, что правило

сложения

комплексных чиеел-івекто-

роп совпадает 'с правилом

сложения

векторов.

Рис. 2.

Умножение

и деление

комплексных

чисел

П р о и з г> е д е и и с м комплексных

чисел

г, = .ѵ, - f

и z2=x2 + iy2

называется комплексное число

г - = г г , - г 2

=

(л-,л-,—3',3t2 )+r'

( j c . y H

х-,уЛ).

(1)

Очевидно, что

комплексные

числа перемножаются

как много­

ных чисел z , = r ,

(cos <Р|-И' sin

?,),

z.,— г,

(cos

i sin

<p2),

то

их

произведение

Zi • z2

согласно

(1)

z, • z2 = r , - r 2

(cos

œ,-cos

œ2 —sin ©j-sin

<?2)-j-

/'!-/*2

(cos

», sin

©a +

cos

<j>2 sin

cp,)

пли

z,-z,—/v/-2 [cos (<?I+?L>)

f

J sin (<?,-|-cp2)].

Z\ на

(2)

Таким образом,

умножение

комплексного числа

ком­

плексное число z2 равносильно растяжению

(или сжатию)

век­

тора Z| в ]z2 ] раз

и повороту

его на угол

cp2 = A r g

z2 .

Если ж е z\

и z2

— действительные

числа:

21 = л;і, z 2 = x 2 >

то

их

•произведение

по

(3) равно

г, • z2

= X\ • х2,

т. е. вычисляется

и

со­

гласно правилу

умножения

действительных

чисел.

Примеры. 1. Перемножим два одинаковых комплексных

чис­

ла Z[ = і и Zo = i. В соответствии

с правилом (1) их произведение

/ . / = — 1.

2.

Перемножим два комплексных сопряженных числа z=x

+ iy

и z =

x—іу:

z -z=x2+y2=

| z | 2 .

Ч а с т н ы м

от

деления комплексных чисел г , = г , (cos ?, +

i sin ?,) на

z2

— r2 (cos o-2 + i sin ?2 ), причем z.,^0,

называется

комплексное

число

z =

^

- =

[cos ( ? , - ? 2 ) - Н sin (?, - ? . ,)] .

(3)

Z'i

I •)

ствпю

умножения,

так

как

из

равенства

z = —

получаем

z2

z-Zi — Z \ .

Деление Z\ на z2

сводится'-к умножению г,

н а ^ - . В с п о м -

ним, что для z=x+iy

= r (cos

? + / '

sin ?), x — r cos ?,

y =

/'sin ?

Поэтому из (3) следует, что

— -

=

- ^ - [(cos ?i

cos

?2 +

s i n

?i

s i n ?*)

+

* ( s i n ?i c o s

Ъ —

Z2

F'2

— sin ?2

COS cp,)] == -

L - [(r , COS <p, r2

COS ?2

+

/'t sin ?,

/'o

sin ?a ) -+-

'"5

+ i ( r , sin ?! /'o cos

?2

— Г !

cos ?!

r 2

sin?2 )]

=

Если

здесь

/?=3, то

(COS

cp - | - 7Slncp ) 3 r =C0S 3 cp - j - 3f cos'2 с? - sin а —3

sin2

tp cos <o — i sin3 cp =

=

(cos3

9—3 sin'- 9 cos cp) -f- г (3 cos2

cp sin œ —sin3

») .

Тогда

(cos3 cp—3 sin2

<?-cos cp) -|- 7(3 cos2

cp sin cp—

sin3

cp) = cos 3 cs-f-г sin 3 9.

Откуда

COS

3

cp =

COS 3 cp —3 S i n 2

cp-COS cp

s i n

3

cp =

3

s i n cp-cos2

cp — s i n 3 cp.

Число

w называется

к о р н е м

с т е п е н и

п из

числа z

"f

w=Y

z

, если

w" = z.

Пусть

z—r (cos cp-j-j s i n cp),

tc=p(cos Ѳ - j - i s i n Ѳ) . Тогда

согласно

(4)

получаем

т. e.

p" (cos

a

Ѳ +

i sin il Ѳ ) = г

(cos cp-fi

sin

cp),

p « = r , « Ѳ = ср + 2 к т г , к = 0, ± 1, + 2, . . .

или

p=VT,

9 , =

, к = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .

(5)

Если

здесь

положить

к = 0, 1, 2, . . . п—1,

получим

п значе­

ний

Ѳ„ :

//.

1

/г

/г

? + 2 ( г а - 1 )

-

Если взять

Ѳ„,

Ѳ„+і, . . . Ѳгл-1,

то

fi

_

cp-l-2 ( 2 /7 - 1 ) TT _

? + 2 ( 7 7 - 1 ) *

t'2/1-1— •

=

1- 2 к = И л _ і + 2 - , .