книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

Мартин Гарднер

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

НОВЕЛЛЫ

1974

Г20 Математические новеллы. Пер. с англ. Ю. А. Д а­ нилова. Под ред. Я. А. Смородинского. М., «Мир», 1974.

456 с. с илл.

Как и предыдущие книги известного американского спе­ циалиста в области занимательной математики, М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения» и «Математи­ ческие досуги», настоящая книга живо и увлекательно расска­ зывает читателю много удивительного из различных разделов математики. Удачный подбор материала и необычная форма его подачи доставят большое удовольствие читателям — люби­ телям математики, желающим с пользой провести досуг.

©Перевод на русский язык, «Мир», 1974.

Редакция научно-популярной и научно-фантастической

литературы

ПРЕДИСЛОВИЕ

В предисловии к первому изданию своей книги «Жизнь растений», вышедшему в 1878 г., К- А. Тими­ рязев писал: «Положение автора общедоступного сочи­ нения... тем отличается от положения автора специаль­ ного исследования, что оно лишает его всякой возмож­ ности оправдываться и защищаться. Оно выдает его совершенно беззащитным в руки его судей. Первой и последней безапелляционной инстанцией является чита­ тель. Специалист может находить свое изложение доб­ росовестным, преодолевающим значительные трудности и пр., но если оно просто не нравится читателю, оно уже не достигает своей цели и, следовательно, осуждено».

Отношение к книгам Мартина Гарднера читатели и у нас, и за рубежом выражают ясно и определенно: их читают.

Предлагаемая книга, выходящая вслед за «Матема­ тическими головоломками и развлечениями» и «Матема­ тическими досугами», — третий «семестр» того замеча­ тельного курса общедоступной математики, который на протяжении многих лет М. Гарднер ведет на страницах журнала Scientific American, третий том своеобразной «Энциклопедии математических игр XX века».

Быть процитированным в разделе «Математических игр» журнала Scientific American для автора задачи, будь то начинающий любитель или известный матема­ тик,— не меньшая часть, чем быть «ограбленным» зна­ менитым «многоголовым» математиком Никола Бурбаки, имеющим обыкновение приводить в своих «Элементах математики» чужие результаты без ссылки на автора.

5

ГЛАВА 1

ТРУДНОСТИ И ПАРАДОКСЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕСКОНЕЧНЫМИ РЯДАМИ И ПОНЯТИЕМ ПРЕДЕЛА

Для тех, кто постиг все премудрости элементарной математики и намерен приступить к изучению так назы­ ваемой высшей математики, или математического ана­ лиза, весьма полезно, не вдаваясь в излишние тонкости, сначала разобраться в том, что такое предел, на интуи­ тивном уровне.

Основные инструменты математического анализа — производная и определенный интеграл — представляют собой пределы частичных сумм некоторых рядов. Каж­

дое иррациональное число, например я, е и |/ 2, также можно представить в виде суммы (то есть предела ча­ стичных сумм) надлежащим образом построенного ряда. Может быть, несколько «легкомысленный» подход к по­ нятию предела с позиций занимательной математики позволит обойти хотя бы некоторые из тех трудностей, с которыми пришлось столкнуться математикам на заре развития анализа и которые и поныне служат камнем преткновения для всякого, кто впервые встречается с понятием предела.

Греческий философ Зенон Элейский, живший в V в. до н. э., на ряде замечательных парадоксов — «апорий Зенона» — показал, какие логические ловушки подстере­ гают каждого, кто вздумает говорить о бесконечных ря­ дах. «Каким образом бегун может вообще покрыть рас­ стояние от пункта А до пункта В ? » — вопрошал Зенон. Ведь прежде чем пробежать все расстояние, отделяю­ щее пункт А от пункта В, бегун должен преодолеть его половину. Пробежав половину пути, бегун, прежде чем оказаться у финиша, должен будет преодолеть половину оставшегося расстояния, то есть оказаться в точке,

7

отстоящей от пункта А на расстоянии, равном 3Д всего пути. После этого, прежде чем попасть в пункт В, бегун снова должен будет сначала пробежать половину остав­ шегося расстояния, то есть дойти до «промежуточного финиша» в точке 7/8 (если длину всего пути АВ мы при­ мем за 1) и т. д.. Иными словами, бегун должен пробе­ жать расстояние, равное сумме ряда

Многоточие означает, что ряд продолжается до бес­ конечности. Каким образом, спрашивает Зенон, бегун может преодолеть бесконечную последовательность от­ резков за конечное время? Ведь, сколько бы членов ряда мы ни взяли, достичь «конца пути»— 1 нам так и не удастся, ибо не будет доставать отрезка пути, равного последнему взятому члену.

Нетрудно придумать мысленный эксперимент, под­ тверждающий, казалось бы, правильность вывода Зе­ нона. Вообразим, что мы совместили центр круглого ос­ нования шахматного ферзя с точкой А. Теперь будем пе­ ремещать ферзя из Л в В по следующей схеме. Засечем время и, передвинув ферзя на половину расстояния АВ, подождем, пока с момента «старта» истечет секунда. За­ тем передвинем ферзя еще на четверть расстояния АВ и подождем, пока истечет секунда, отсчитываемая с мо­ мента второго старта. Так же будем передвигать ферзя и дальше: каждый новый ход будем делать лишь через секунду после начала предыдущего. Спрашивается, через какой промежуток времени ферзь достигнет точки В?. Оказывается, что это событие не произойдет никогда. Предположим теперь, что ферзь движется с по­ стоянной скоростью, подобранной так, что он проходит половину расстояния за полсекунды, четверть расстоя­ ния— за четверть секунды и т. д. В этом случае и прой­ денное от точки А расстояние и истекшее с начала пути время будут описываться одним и тем же рядом, в ко­ тором каждый последующий член вдвое меньше преды­ дущего. Этот ряд сходится к 1.

Что имеет в виду математик, когда говорит, что «сумма» ряда

2 ' 4 ^ 8 ^

8

равна 1? Ясно, что в данном случае в понятие «сумма» он вкладывает иной смысл, чем в понятие «сумма конеч­ ного ряда». Просуммировать бесконечный ряд в обыч­ ном смысле слова невозможно, потому что число сла­ гаемых— членов ряда — бесконечно. Когда математик говорит о сумме бесконечного ряда, он имеет в виду число, к которому стремятся частичные суммы ряда при неограниченном числе входящих в них членов ряда. Слово «стремится» математик также понимает в спе­ циальном смысле: оно означает, что разность между суммой ряда и его частичными суммами можно сделать сколь угодно малой. Мы подошли сейчас к самой сути понятия предела. Частичные суммы бесконечного ряда иногда могут достигать его суммы и даже превосходить ее. Простой пример ряда, у которого частичные суммы превосходят свой предел — сумму ряда, — мы получим, изменив знаки у четных членов ряда

_ 4- _ + — + _ +

2 ' 4 ' 8 ~ 16 ~

с плюса на минус:

1__ ± + ± _ _ J _ + . . .

2 4 ' 8 16 ~

Частичные суммы этого ряда попеременно оказываются то больше, то меньше суммы ряда, равной 0,333...- (Кстати сказать, число 0,333... есть не что иное, как запись дроби '/з в виде суммы бесконечного ряда деся­ тичных дробей

0,3 + 0,03 + 0,003 + . . . .)

Существенно, что всякий раз, когда ряд сходится, можно найти частичную сумму, отличающуюся от суммы ряда на величину, которая меньше любого наперед заданного числа.

Найти'сумму сходящегося ряда нередко очень труд­ но, но если члены ряда убывают, как члены геометриче­ ской прогрессии (как, например, члены рассмотренного

нами ряда lj2 + lU -f- Vs + Vie + •••). то для отыскания суммы ряда существует простой искусственный прием, который полезно знать каждому.

9