книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)
.pdfL E C T U R E |
NOTES |
IN MATHEMATICS |
A collection of informal reports and seminars |
||
Edited by |
A. Dold, |
Heidelberg and B.Eckmann, Zurich |
114
H. JACQUET, University of Maryland, College Park
R. P. LANGLANDS, Yale University, New Haven
A U T O M O R P H I C FORMS ON G L ( 2 )
S P R I N Q E R - V E R L A G B E R L I N • H E I D E L B E R G • N E W Y O R K |
1970 |
Э. Ж А К Е , Р . Л Е Н Г Л Е Н Д С
АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ НА GL(2)
Перевод с английского О.М. ФОМЕНКО
Под редакцией А.Н. АНДРИАНОВА
Издательство «Мир» • Москва 1973
УДК 519.45 + 517.862 + 511
В книге подробно и вполне доступно для начинающих изложена теория дзета-функций, связанных с бесконечномерными представ лениями; эта теория имеет большое значение для арифметики и теории представлений.
Книга предназначена для научных работников в области теории чисел, алгебры и топологии. Она будет полезна преподавателям, аспи рантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.
Редакция литературы, по математическим наукам
Ж |
0223-08 |
(g) Перевод на русский язык, «Мир», 1973 |
|
041(01)-73 |
|||
|
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Дзета-функции давно зарекомендовали себя как один из самых мощных инструментов теории чисел. Поскольку возможности клас сических дзета-функций, по-видимому, в значительной мере исчер паны, все больше специалистов с надеждой взирает на возникающие теперь в большом количестве новые дзета-функции, связывая с ними будущий прогресс арифметики. Возможно, наиболее перспективными из них являются дзета-функции, отвечающие автоморфным формам на алгебраических группах (в этой терминологии классические дзета-функции соответствуют одномерным или абелевым группам). Предлагаемая книга Жаке и Ленглендса—это первое систематичес кое изложение теории автоморфных форм и дзета-функций, отвеча ющих полной группе матриц второго порядка над арифметическими полями.
Разумеется, авторы строят эту теорию не на пустом месте. Более того, основные идеи были налицо, когда они приступили к своей работе. Это, прежде всего, теория Гекке рядов Дирихле, отвечающих модулярным формам, формула следа Сельберга, концепции И. М. Гельфанда и И. И. Пятецкого-Шапиро связей автоморфных форм и теории представлений, сама теория представлений групп Ли и, на конец, работы А. Вейля о рядах Дирихле с функциональными уравнениями. Однако окончательная реализация этих идей, даже в случае группы GL(2), оказалась далеко не простой задачей. Вместе с тем, без детальной теории, учитывающей в некотором разумном смысле все дзета-функции рассматриваемого класса, вряд ли имеет смысл серьезно говорить о содержательном применении их к ариф метике. В книге Жаке и Ленглендса эта задача в основном решена. Это потребовало от авторов огромной кропотливой работы и массы теоретических находок. В качестве иллюстрации приведен ряд весь ма интересных арифметических приложений (см. введение).
6 |
|
|
|
Предисловие |
редактора |
перевода |
|
|
||
Предлагаемая |
книга может |
рассматриваться |
также как хоро |
|||||||
ший учебник по теории представлений группы GL(2). Для ее чте |
||||||||||
ния |
в основном |
достаточно владения началами теории алгебраи |
||||||||
ческих |
чисел |
и |
функционального анализа в объеме обычных уни |
|||||||
верситетских |
курсов. |
Эта книга, несомненно, привлечет внимание |
||||||||
специалистов |
и, |
возможно, |
сыграет свою роль в будущем |
прогрес |
||||||
се арифметики. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Естественно, |
что первая |
публикация |
результатов столь большой |
|||||||
работы не свободна от недостатков. Изложение достаточно |
рыхло, |
|||||||||
текст |
изобилует |
мелкими ошибками и опечатками. При |
переводе |
|||||||
были |
исправлены все |
замеченные погрешности. Исправить |
осталь |
|||||||
ные |
мы |
предоставляем |
вдумчивому читателю. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
Н. Андрианов |
ПРЕДИСЛОВИЕ
К наиболее известным достижениям Гекке принадлежат его тео рия L-функций с гроссенхарактерами, которые являются рядами Дирихле, допускающими разложение в эйлерово произведение, и его теория эйлеровых произведений, ассоциированных с автоморфными формами на GL(2). Поскольку гроссенхарактер является автоморфной формой на GL(1), невольно напрашивается вопрос, не играют ли эйлеровы произведения, ассоциированные с автоморфными формами на GL(2), некоторую роль в теории чисел, аналогичную той, которую играют L-функции с гроссенхарактерами. В частности, имеют ли они отношение к L-функциям Артина, отвечающим двумерным представ лениям группы Галуа, подобное тому, которое L-функции Гекке имеют к L-функциям Артина, отвечающим одномерным представле ниям? Хотя мы не можем дать определенного ответа на этот вопрос, одна из основных целей настоящих заметок — привести некоторые свидетельства в пользу того, что этот ответ утвердительный.
Эти свидетельства представлены в § 12. Их источником яв ляется переосмысливание оригинальных исследований Гекке в духе одной недавней работы А. Вейля. Нечто новое в нашем переос мысливании возникает благодаря точке зрения, основанной на теории представлений групп. К сожалению, в литературе, по-види
мому, отсутствуют необходимые нам |
факты |
из теории представле |
||
ний группы GL(2). Таким образом, |
мы вынуждены в главе I из |
|||
ложить теорию |
представлений |
групп |
GL(2, |
F), где F — некоторое |
локальное поле. |
Параграф 7 |
является исключением. Он исполь |
зуется не в теории Гекке, а в главе об автоморфных формах и
кватернионных |
алгебрах. |
|||
Глава |
I длинна и |
скучна, однако в ней нет ничего трудного. |
||
Тем не менее для всякого, кто желает понять L-функции, необхо |
||||
димо |
по |
меньшей мере |
серьезно осознать результаты этой главы, |
|
ибо |
они |
дают |
повод для размышлений. |
Параграфы 9 и 10 являются подготовительными для теории Гекке,
которая изложена |
в § |
11. Мы хотели бы подчеркнуть, так |
как, |
||
быть может, |
это |
не очевидно, что |
наш метод есть метод Гекке. |
||
В частности, |
главный |
инструмент |
исследования — преобразование |
||
Меллина. Успех этого |
метода для GL(2) связан с совпадением |
раз |
мерностей подгруппы Картана и унипотентного радикала подгруп пы Бореля группы PGL(2). Среди простых групп этим свойством обладает только PGL(2). Отсюда следует, что наш метод не обоб щается. Результаты же, за исключением обратной теоремы в теории Гекке, обобщаться могут.
8 Предисловие
Правильный путь установить функциональное уравнение для рядов Дирихле, ассоциированных с автоморфными формами,—это, по-видимому, путь Тейта. В § 13 мы проверяем, по существу, что этот метод приводит к тем же локальным множителям, что и путь Гекке, и в § 14 используем метод Тейта, чтобы получить функцио нальное уравнение для L-функций, ассоциированных с автоморф ными формами на мультипликативной группе кватернионной алгеб ры. Результаты § 13 наводят на мысль о связи характеров пред ставлений группы GL(2) и характеров представлений мультипли кативной группы кватернионной алгебры. Эта связь устанавли вается в § 15 на основании результатов § 13. Она была хорошо из вестна для архимедовых полей, однако ее значение не подчерки валось. Хотя наше доказательство оставляет желать лучшего, сам результат представляется нам одним из наиболее поразительных фактов, приведенных в этих заметках.
Параграфы 15 и 16 являются результатом запоздалых размыш лений; содержащиеся там факты были установлены лишь после того, как остальная часть этих заметок была почти закончена. Доказа тельства в § 16 только намечены, и мы сами еще не проверили всех деталей. Однако теорема из § 16 настолько важна и ее доказатель ство является такой прекрасной иллюстрацией силы и предельной
простоты формулы следа Сельберга и методов |
гармонического |
ана |
||||||||||||
лиза на |
полупростых |
группах, |
что мы не могли не |
привести |
ее. |
|||||||||
Хотя |
нас совершенно |
не удовлетворяют методы |
первых |
пятнадцати |
||||||||||
параграфов, |
мы не видим пути для улучшения методов § |
16. Эти |
||||||||||||
методы |
годятся, |
вероятно, |
и для |
подхода |
к вопросу, |
оставшемуся |
||||||||
нерешенным |
в § |
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Мы надеемся опубликовать |
продолжение |
этих заметок 1 , |
которое |
|||||||||||
кроме |
всего |
прочего, будет |
включать детальное |
доказательство |
тео |
|||||||||
ремы |
из § |
16, равно |
как |
и |
обсуждение ее следствий |
для |
теории |
|||||||
чисел. |
Эта |
теорема имеет, как это обычно |
и бывает, |
довольно |
||||||||||
длинную историю. Насколько нам известно, первоначальной |
ее фор |
|||||||||||||
мой |
были |
утверждения |
о |
представимости |
автоморфных |
форм |
||||||||
тета-рядами, отвечающими кватернарным квадратичным формам. |
|
|||||||||||||
Как |
мы |
уже сказали, в этих |
заметках нет ничего действительно |
|||||||||||
нового. В литературных указаниях, приведенных в конце |
|
каждой |
||||||||||||
главы 2 ) , мы попытались отметить, чем обязаны другим авторам. Мы |
не смогли, однако, в полной мере отразить, чем же мы обязаны |
Р. Го- |
||||
деману, поскольку многие из его идей |
были сообщены устно |
одному |
|||
из нас, как его ученику. Надеемся, он не возражает, |
что его идеи |
||||
оказались в таком окружении. |
|
|
|
|
|
Нью-Йорк, |
|
Э.Жаке, |
|
||
Нью-Хейвен |
|
Р. |
Ленглендс |
||
1 ) |
См. список литературы.— Прим. перев. |
|
|
|
|
2 ) |
При переводе эти указания приведены |
отдельно |
после списка литературы |
||
в разделе „Библиографические примечания". — Прим. |
ред. |
|
|
Глава I
ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Представления Вейля
Прежде чем начинать изучение автоморфных форм, мы должны изложить обзор теории представлений полной линейной группы второго порядка над локальным полем. В частности, мы собираемся доказать существование различных серий представлений. Один из самых быстрых способов сделать это основан на использовании представлений, построенных Вейлем [3]. Мы начнем с изложения его конструкции, добавляя в соответствующих местах некоторые
замечания, которые |
понадобятся |
в |
дальнейшем. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В этом |
параграфе F будет обозначать локальное |
|
поле, |
а |
К |
|||||||||||||||
будет алгеброй над F одного из следующих типов: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(I) |
прямая |
сумма |
F®F; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(II) сепарабельное квадратичное расширение поля F; |
|
|
||||||||||||||||||
(III) |
единственная |
кватернионная |
алгебра |
|
над |
F; |
тогда К |
яв |
||||||||||||
ляется алгеброй с делением с центром F; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(IV) |
алгебра |
М (2, F) квадратных |
матриц |
порядка |
2 |
над |
F. |
|
||||||||||||
Во всех случаях мы отождествляем F с |
подпол ем |
|
алгебры |
К, |
||||||||||||||||
состоящим |
из |
|
скалярных |
|
кратных |
единицы. |
В |
частности, |
если |
|||||||||||
K = F@F, |
мы |
отождествляем |
F |
с |
множеством |
элементов |
вида |
|||||||||||||
(х, х). Мы можем |
ввести |
инволюцию i алгебры |
К, |
которая |
пере |
|||||||||||||||
водит х в х1 |
и |
обладает следующими |
свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(I) |
имеют место |
тождества (х + у)1 |
= х1 + У1 |
и |
(ху)1 |
— |
|
у1х1; |
|
|
||||||||||
(II) |
если |
х |
принадлежит |
F, |
то |
х = х1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(III) |
для |
любого х |
из |
К |
элементы т(х) = х + х1 |
и v (х) = хх1 |
= |
х1х |
||||||||||||
принадлежат |
F. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
K==FQ)F |
и х = (а, Ь), |
мы |
положим х1 |
= (Ь, а). |
Если |
К — |
сепарабельное квадратичное расширение поля F, инволюция i сов
падает с единственным нетривиальным автоморфизмом |
поля К |
над |
|||||||
F. В |
этом |
случае х{х) |
является |
следом элемента х |
и |
v (х) его |
нор |
||
мой. |
Если |
К—кватернионная |
алгебра, известно, |
что |
существует |
||||
единственная |
i с требуемыми |
свойствами. Тогда |
т и v |
являются |
|||||
приведенным |
следом |
и приведенной нормой соответственно. |
Если |