книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

А К А Д Е М И Я Н А У К У К Р А И Н С К О Й С С Р

ДНЕПРОПЕТРОВСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТА МЕХАНИКИ АН УССР

Н . Г . Б О Н Д А Р Ь

НЕЛИНЕЙНЫЕ

СТАЦИОНАРНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ — 1974

В монографии излагается приближенный метод (переменного масштаба) решения задач стационарных колебаний нелинейных систем с одной степенью свободы. Рассматриваются системы с симметричными и несимметричными характеристиками и воз­ буждением. Изучаются стационарные колебания при гармо­ ническом, бигармоническом, импульсном и произвольном пе­ риодическом возбуждении без сопротивлений и при наличии вязкого трения и турбулентного сопротивления. Основное вни­ мание уделено построению амплитудно-частотных характе­ ристик и исследованию устойчивбсти стационарных колебаний. Для оценки точности полученных результатов использованы ЭЦВМ и АВМ.

Рассчитайа на научных и инженерно-технических работни­ ков, занимающихся вопросами приложения теории колебаний в инженерном деле, а также на преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов вузов соответствующих специаль­ ностей.

Р е ц е н з е н т ы :

академик АН УССР В. А. Л аз ар ян,

Редакция технической литературы

(с) Издательство «Наукова думка», 1974 р.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Колебательные процессы получили широкое распространение во многих областях техники, чем обусловили бурное развитие науки о колебаниях. Классическая теория колебаний, основанная Лагранжем и базирующаяся на ли­ нейном приближении, разработана с исчерпывающей полнотой.

С развитием многих областей науки и техники 1 возник ряд проблем, для решения которых классическая линейная теория колебаний оказалась неприме­ нимой. В нелинейных системах часто имеют место качественно новые явления, принципиально невозможные в линейных системах. Эти проблемы потребовали создания теории нелинейных колебаний, значительно более сложной, чем класси­ ческая теория.

Начало исследований по нелинейным колебаниям относится к X I X ст. и свя­ зано с именами выдающихся математиков М. В. Остроградского, К- Вейерштрасса, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова. Дальнейший толчок к развитию методов теории, не­ линейных колебаний дали работы Г. Дуффинга [69] и особенно Ван-дер-Поля [79].

Исключительная роль в развитии методов нелинейной теории колебаний и решении ряда проблем принадлежит советским ученым А. А. Андронову, Н. Н. Бо­ голюбову, Б. В. Булгакову, В. О. Кононенко, Н. М. Крылову, Л. И. Мандельшта­ му, Ю. А. Митропольскому, Н. Н. Моисееву, Н. Д. Папалекси, Н. Г.Четаеву и др, Из зарубежных исследователей следует отметить В. Кеннингхэма, Г. Каудерера. Ю. Ку, Н. Мак-Лахлана, Н. Минорского, Р. Розенберга, Дж. Стокера, Т. Хаяси и др.

Несмотря на обилие публикаций по нелинейным колебаниям, они почти не используются на практике. Это, как нам кажется, происходит по следующим при­ чинам: во-первых, подавляющее большинство монографий и статей написаны

го единства; в-третьих, эти публикации посвящены не столько регулярному осве­ щению практических приемов решения инженерных задач (что необходимо инже-

1 Радиотехники и электроники, автоматики и телемеханики, виброметрии и вибротранспорта, теории автоматического регулирования, теоретической физики, астрономии, нелинейной оптики и акустики, теории плазмы и строения кристал­ лов, гидродинамики, теории реактивных двигателей и ускорительных устройств, динамики космических аппаратов и др.

3

ВВЕДЕНИЕ

В существующей литературе по вынужденным колеба­ ниям [2, 3, 6, 7, 20, 21, 26, 27, 35, 36, 39, 40, 46, 47, 49, 57, 58, 60, 62] значительное место отведено гармоническому возбуждению, которое можно рассматривать как первый член разложения периодического возбуждения в ряд Фурье. Таким упрощением возмущающих сил часто пользовались для выяснения физических особенностей систем, не усложняя в то же время постановку задачи. Однако в приложе­ ниях гораздо чаще встречаются более сложные типы возбуждения, такие как бигармоническое и полигармоническое [27, 38, 59, 60, 63], импульсное [8, 37, 51, 56, 64] или периодическое [29]. Можно смело утверждать, что в технике чисто гармоническое возбужде­ ние — исключительная редкость.

Для линейных колебаний усложнение возбуждения не вызывает никаких принципиальных затруднений при решении задач, так как в этом случае справедлив принцип независимости действия сил (су­ перпозиции). При нелинейных колебаниях принцип суперпозиции неприменим, что является одним из основных отличий нелинейных вынужденных колебаний от линейных. Это обстоятельство привело к появлению многочисленных методов линеаризации.

В теории нелинейных колебаний наибольшее распространение получил метод эквивалентной линеаризации [39] с его различными модификациями (принципы гармонического и энергетического ба­ лансов) и прямой линеаризации [49]. Сущность этих методов состоит в том, что нелинейные члены дифференциальных уравнений линеари­ зуются в соответствии со специально разработанной схемой [66].

Эффективность существующих методов линеаризации ограничена узким кругом задач слабо нелинейных систем с простыми ха­ рактеристиками. Эти методы совершенно неприменимы для суще­ ственно нелинейных систем, систем со сложными характеристиками (например, системы с перескоком, автоколебательные системы), а также для решения специфических вопросов (например, устойчи­ вость колебаний, суб- и ультрагармонические колебания). Этих не­ достатков лишен разработанный автором и используемый в данной

5

книге метод переменного масштаба г , сущность которого состоит в том, что путем замены переменных нелинейные дифференциальные уравнения приводятся к линейным с постоянными коэффициентами.

Поскольку книга имеет прикладной характер, в ней основное внимание уделено построению зависимостей между параметрами воз­ буждения и амплитудами стационарных колебаний (амплитудночастотные характеристики), а также вопросу устойчивости стацио­ нарных колебаний систем с одной степенью свободы.

В прикладном плане изучаются также суб- и ультрагармониче­ ские колебания и несимметричные колебания, вызываемые несиммет­ ричным возбуждением, т. е. когда возбуждение имеет постоянную составляющую. Исследуются стационарные колебания систем без трения, а также при наличии вязкого трения и турбулентного со­ противления.

Первая глава посвящена рассмотрению стационарных нелиней­ ных колебаний при гармоническом возбуждении. В существую­ щей литературе по этому вопросу рассматриваются главным обра­ зом системы с простыми симметричными характеристиками. Значи­ тельно меньше публикаций посвящено системам с несимметричными характеристиками [43, 67—69, 74, 80]. В данной монографии рас­ сматриваются не только системы с простыми симметричными и не­ симметричными характеристиками, но и системы со сложными харак­ теристиками (системы с перескоком, автоколебательные системы, системы с люфтами и разрывными характеристиками).

Значительное внимание уделено орбитальной устойчивости ста­ ционарных колебаний. В качестве критерия неустойчивости исполь­ зуется физический критерий. Сущность его состоит в том, что неустой­ чивость 2 в мягких системах наступает тогда, когда амплитуды стационарных колебаний превысят ненулевые значения корней харак­ теристики уравнения движения, т. е. когда восстанавливающая сила превращается в толкающую. Использование физического критерия неустойчивости потребовало построения приближенной теории, при­ менимой для колебаний с большими амплитудами, близких к не­ устойчивости. Это удалось выполнить путем уточнения фазовой функции.

Во второй главе рассмотрены стационарные нелинейные колеба­ ния при бигармоническом возбуждении. Исследованию вынужден­ ных колебаний нелинейных систем при бигармоническом возбужде­ нии посвящено ряд работ, которые можно подразделить на две группы.

К первой группе относятся работы, в которых рассматриваются вынужденные колебания с различными частотами возбуждения. Прежде всего отметим монографию И. Г. Малкина [44], в которой методами Ляпунова и Пуанкаре исследуются характер и устойчи­ вость вынужденных нелинейных колебаний систем с мягкой куби­ ческой характеристикой при наличии вязкого трения.

6

В нелинейных колебательных системах гармоники вынужден­ ных колебаний не просто складываются, что имеет место в линейных системах, а взаимно влияют друг на друга. Исследование такого взаимного влияния гармоник представляет значительный теоретиче­ ский и практический интерес. Это влияние впервые исследовано A. И. Чекмаревым [63] для систем с жесткой кубической характе­ ристикой при отсутствии трения 1 . Для получения приближенного решения автором использован метод Ван-дер-Поля [79]. С по­ мощью этого метода и в результате экспериментов на специально сконструированной установке автор получил практические выводы о ходе развития амплитуд колебаний и установил явление исклю­ чения (подавления) гармоник. Отсутствие диссипативных сил не позволило оценить влияние гармоник на резонансные значения амплитуд. Теоретические и экспериментальные исследования

который рассмотрел различные типы колебательных систем и со­

тодом последовательных приближений. Изучению вынужденных колебаний при бигармоническом возбуждении посвящены также работы [19, 45].

В отличие от упомянутых выше работ, во второй главе данной книги впервые приводятся формулы для амплитудно-частотных ха­ рактеристик, в том числе для систем с перескоком и при наличии турбулентного сопротивления. Исследуется взаимное влияние гар­ моник для ряда задач, не рассмотренных ранее. На основе физиче­ ского критерия неустойчивости изучается орбитальная устойчивость стационарных колебаний при бигармоническом возбуждении.

Ко второй группе относятся работы, посвященные исследованию колебаний, на которые впервые обратил внимание Гельмгольц. Известно, что при громком звучании двух нот с частотами р и q часто слышатся два тона с частотами р 4- Я и р — q. Объясняя это явление, Гельмгольц предположил, что механическая колебатель­ ная система человеческого уха обладает своего рода нелинейностью. Это акустическое явление рассмотрено также в работах Дж. У. Рэлея, Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [39] и Г. Каудерера [36]. Отметим также работу Г. Дуффинга [69], в которой рассматривается бигармоническое возбуждение с кубической и квадратичной мягкой характеристикой при отсутствии трения. Для решения этой задачи применен метод последовательных приближений (так называемый метод Дуффинга [57]), который не позволил выявить особенности исходной нелинейной системы.

1 Аналогичная задача в такой же постановке рассмотрена Г. Каудерером

[36].

7

Комбинационные колебания сходны с суб- и ультрагармониче­ скими колебаниями [78], которые также рассматриваются во второй главе. Для линейных колебаний естественным является разложение произвольного периодического возбуждения в ряд Фурье 1 с целью разбиения его на простые гармоники. Этот прием в теории линейных колебаний, в силу применимости принципа суперпозиции, получил очень широкое распространение. До сих пор он не применялся в теории нелинейных колебаний, так как в этом случае несправедлив принцип суперпозиции. Применение метода переменного масштаба позволило использовать этот прием также для стационарных коле­ баний при периодическом возбуждении, что и составило содержа­ ние третьей главы книги.

Исследование взаимодействия гармоник в случае периодического возбуждения, удовлетворяющего условиям Дирихле, показало, что обертоны весьма мало влияют на основной тон. Это обстоятельство позволяет при построении первой резонансной зоны амплитудночастотных характеристик заменить периодическое возбуждение гар­ моническим. Данный вывод подтверждается решениями на ЭЦВМ и АВМ.

Методику, изложенную в третьей главе, можно использовать и для решения задач о воздействии на нелинейный осциллятор перио­ дически повторяющихся ударов, которые допустимо идеализировать мгновенными импульсами. Однако, поскольку ряд Фурье, в который разлагаются периодически повторяющиеся мгновенные импульсы, плохо сходится, предпочтительным является замкнутое решение [49, 50], которое и рассматривается в четвертой главе монографии.

Стационарные колебания осциллятора с кубической характе­ ристикой при импульсном несимметричном возбуждении, по-ви­ димому, впервые рассмотрел Я- Г. Пановко [51] с помощью пред­ ложенного им метода прямой линеаризации. Ту же задачу при симметричном возбуждении рассмотрел Г. Каудерер [37]. Точное ре­ шение задачи при отсутствии трения получено в работе Э. Л. Сухира [56].

В настоящей книге задача о симметричном импульсном возбуж­ дении решается с помощью метода переменного масштаба, кото­ рый ранее применялся к системам- с кубической характеристикой [8] и к системам с перескоком [64]. Получен ряд новых результатов для стационарных колебаний при импульсном возбуждении по уче­ ту влияния турбулентного сопротивления, воздействию групповых импульсов и орбитальной устойчивости.

1 Практически встречающиеся в приложениях виды возбуждения описыва­ ются функциями, удовлетворяющими условиям Дирихле и, следовательно, имею­ щими свой ряд Фурье [4].

Г Л А В А I

ГАРМОНИЧЕСКОЕ

ВОЗБУЖДЕНИЕ

§ 1. Колебания без трения

Симметричные характеристики. Рассмотрим стацио­ нарные вынужденные колебания нелинейной системы, описываемые [12] уравнением 1

В соответствии с идеей метода переменного масштаба [9, 13] преоб­

z" (е) = 1- if M i f + г w 4-(i) - г w (f )2+

Подставив выражения (1.3) и (1.4) в уравнение (1.2), после простых

1 Здесь и далее величины с точками — производные по времени, со штриха­ ми — по координатам е или х.