книги из ГПНТБ / Хренов, Л. С. Четырехзначные математические таблицы пособие для учителей

1 9

7

4

« П Р О С В Е Щ Е Н И Е »

1*

3

следует учитывать, что таблицы, составленные по первому

положению, будут

иметь для

всех аргументов лишь одинаковую абсолютную погрешность, относи­

тельная же

их

погрешность

будет для

разных значении аргументов различная.

Б

результате

это

приведет,

например,

к

потере точности

при вычислениях

с

функциями от малых углов

и отрицательно

скажется в ряде случаев

вычисли­

тельной практики.

составленных с одинаковым числом значащих цифр,

меняется

В таблицах

же,

см. стр. 178)

численные значения данной функции, соответствующие последова­

тельно расположенным значениям аргумента.

называют ш а г о м

Разность

между двумя соседними значениями аргумента

или с т у п е н ь ю

таблицы.

Шаг таблиц бывает, как

правило, «круглым числом»,

чаще

всего

он

выражается

одной, двумя, десятью

единицами. Так, например,

в таблице III (стр. 38) шаг

аргумента

равен Г , а

в

таблице

V II

(стр. 78) ои

равен

10'.

между двумя рядом расположенными значениями функций называется

Разность

п е р в о й т а б л и ч н о й

р а з н о с т ь ю . Например,

в таблице,

содержащей

натуральные

значения ctg

для углов

а

от 0 до 5° при шаге аргумента

в 1°, имеем:

между двумя соседними

первыми

табличными

разностями

называют

в т о р ы м и

т а б л и ч н ы м и р а з н о с т я м и

(Д2). Разности между двумя соседними вторыми

разностями

называют

третьими

т а б л и ч н ы м и

р а з н о с т я м и

(Д3) и т. д.

Таблицы по

системе

построения

(по

конструкции)

или

в зависимости от числа

аргументов функции, для которой

их

составляют,

бывают с о д н и м ,

д в у м я ,

т р е м я и б о л ь ш и м ч и с л о м в х о д о в .

рядом

расположенных

столб­

Таблицы с о д н и м

в х о д о м

состоят из двух

цов (или двух параллельных строк). Один

из

этих столбцов содержит аргумент,

а другой — функцию.

Примерами

являются таблица I, содержащая мантиссы

десятичных

логарифмов

целых

чисел

от

1 до

100

(стр. 25), таблица

X I

(стр.

92—97) и др.

например V I,

содержащей

натуральные

По таблице с д в у м я в х о д а м и ,

логарифмы чисел (стр. 71—73),

или I

(стр. 26—32),

значение функции

находят

мента.

определения по

N ,

(стр. 31)

мантиссы lg

1606

Так, например, для

таблице I

во втором слева столбце,

озаглавленном

находят

число

160 и против

него

(057), а первую ее цифру

(2) находят на этой же строке

в

столбце,

помеченном

цифрой 0. Следовательно,

с учетом характеристики lg 1606 =

3.2057.

Таблицы с двумя входами по сравнению с таблицами с

одним входом позво­

ляют экономить место; па одной и тон

же табличной площади можно

разместить

значение функций для большего числа

аргументов. При

этом пользование табли­

цами не усложняется.

к

По назначению таблицы делят на

м а т е м а т и ч е с

и е (общие)

и с п е ц и-

квадратов, кубов, квадратных и кубических корней, обратных

величин,

показа­

тельных функции

и др.

К

специальным

относят таблицы,

составленные для формул,

имеющих приме­

нение в одной какой-либо отрасли знаний. Например,

специальные

таблицы

бывают а с т р о н о м и ч е с к и е ,

г е о д е з и ч е с к и е

и др.

з н а ­

к о в

И , наконец, таблицы составляют с различным

числом д е с я т и ч н ы х

или

з н а ч а щ и х

ц и ф р ,

что характеризует их точность.

значениях

В математических таблицах величина погрешности

в приведенных

функций отдельно не указывается, но она

всегда

(в каждом

случае)

равна

поло­

вине единицы последнего оставленного знака

в значении функции. Так,

например,

в таблице V II

(стр.

78) sin 0°30' =

0,008727 имеет абсолютную погрешность,

не пре­

восходящую 0,000 000 5— пяти

единиц седьмого разряда, а

для

sec 2°00''= 1,0006

абсолютная погрешность

не

превосходит

0,00005 — пяти единиц

пятого

разряда.

Следовательно, каждое значение любой функции,

помещенное

в

математических

таблицах, получается в результате округления с поправкой (см.

стр.

178)

послед­

них значащих цифр.

в том

числе

и в

данных,

встречаются

В результате округления в таблицах,

числа, оканчивающиеся цифрой 5, либо 5

в

числе

является последней

значащей

цифрой, после которой стоят нули.

Если цнфра_5 получилась в

результате округления цифры 4, то над ней

стоит черточка (5); если же при округлении

числа

цифры,

стоящие после 5, от­

брошены, она обозначена пятеркой без черточки (5).

При

пользовании

таблицами

надо поступать следующим образом Если,

например,

в

таблице

V I

Іп 1,50 = 0.4055,

то для получения натурального лога­

рифма

числа

1,50

с

тремя

десятичными

знаками следует записать Іп 1,50 =

0.405.

А In 1,18 = 0.1655

после округления будет

Іп 1,18 =

0.166.

При выборе для вычислений таблиц той или иной точности необходимо всегда

учитывать точность исходных данных и требуемую

точность для окончательных

результатов вычислений (см. стр.

178). Недостаточная точность таблиц не позволит

окончательные результаты получить с требуемой точностью,

а

лишняя

точность

потребует большой затраты времени на вычисления. Установлено,

что при выполне­

нии одного и того же действия с

помощью 5-, 6- и 7-значных таблиц логарифмов

количество времени,

необходимое

на эти работы, пропорционально числам

1, 2, 3.

Из этого

следует,

что по 6-зпачиым таблицам логарифмов вычисления выполняют

в два раза медленнее в сравнении

с

теми же

вычислениями по 5-значным табли­

цам логарифмов.

1.

Мантиссы

десятичных

логарифмов

целых

чисел.

В

этой

Т а б л и ц а

таблице мантиссы

десятичных

логарифмов

натуральных

чисел

даны

с

четырьмя

десятичными знаками;

абсолютная

погрешность каждой мантиссы не превышает

0,00005

(пяти единиц пятого разряда).

Десятичным логарифмом числа N

называют показатель А степени, в liorhopyio

N

А

N .

Другими словами, в равен­

надо возвести основание 10, чтобы получить число

N .

стве

10-4 =

число

есть десятичный

логарифм

числа

Это

записывают так:

А =

Ig ІѴ.

\g M N =

\gM + \gN,

(!)

lg -^ - = lg M -lg / V ,

(2)

igNn =

n IgN,

(3)

l g / л

Л

(4)

Если положительное число N представляет собоіі целую положительную (отрица­

тельную) степень основания 10(Л^=10± "), то логарифм этого числа

равен поло­

жительному (отрицательному) целому числу. Так, например,

lglOOO

=

3,

поскольку

I03

=

1000,

IglOO

=

2,

n

10s

=

100,

lgio

=

1,

„

101

=

10,

lgl

=

0,

n

10»

=

1,

lg o .l

- 1 ,

„

i o - i =

0,1,

и т. д.

IgO.Ol

=

—2,

„

10 -2 =

0,01,

IgO,00 1 =

- 3 ,

„

10 -3 =

0,001

Что касается

любого другого

положительного числа, отличного от нуля, то

его логарифм есть число иррациональное, которое, как

известно,

можно с любой

степенью точности

заменить десятичной дробью.

Целая

часть этой дроби назы­

вается X а р а к т е р и с т и к о й логарифма,

а дробная часть— его

м а н т и с с о й.

Из сказанного выше следует, что

iV =

l + lg/V,

lg

10/V =

lg

1 0 + lg

l§

=

lg

j

— lgl000 = lglV— 3

lg 100Л' =

100 -j- lg V =

2 -j- lgW,

для

чисел

1< ; /V < 10

характеристика

логарифма

равна 0,

„

„ 10 <

Л ' <100

11

I»

П

1,

,)

„

„

100

< N <

1000

9

II

11

11

"і

„

„1000 <

Л '<

10000

1»

<

1

п

3

и т. д.

положительного числа N

характеристика его логарифма отрицательна

Для

и равна числу нулей в N до первой значащей цифры, включая и нуль целых.

Следовательно,

1 >

/Ѵ 5 = 0,1

характеристика

логарифма

равна

— 1,

,для

числа

0,1

>

N

»

11

/V 5 = 0,01

0,01

>

5= 0,001

11

11

27,

381 163,

43 000 017,

0,00241

имеют соответственно характеристики:

7,

—3.

' ѵ г '

1,

5,

При помощи таблицы

I

. можно

решать две задачи.

П р я м а я з а д а ч а .

По заданному

числу

найти его логарифм.

О б р а т н а я з а д а ч а

П о

заданному логарифму найти число.

П е р в а я

ч а с т ь

таблицы

I

(стр.

25),

с одним

входом,

содержит

ман­

тиссы логарифмов натуральных чисел от

1 до 100. В

ней

числа

расположены в

вертикальных колонках,

обозначенных сверху и снизу буквой Л'

(Numerus

—число),

а рядом, в колонках lg

N ,

помещены мантиссы

логарифмов

этих

чисел.

Так,

на­

пример, для числа 89 на стр. 25 в колонке, озаглавленной

N ,

находим

число 89

и рядом с ним читаем мантиссу 9494. Так

как

для

89

характеристика

равна 1,

то окончательно имеем:

lg 8 9 =

1.9494.

с двумя

вхо­

В о в т о р о й

ч а с т и

таблицы 1 (стр. 26—32), составленной

дами, находятся мантиссы

логарифмов всех

натуральных

чисел

от

100

до 2209.

Здесь на' каждой странице

в левой колонке, обозначенной сверху буквой

N ,

рас­

положены числа от

10 до 220,

а правее

в

вертикальной

колонке,

обозначенной

сверху цифрой

0,

находятся

четырехзначные

мантиссы

логарифмов этих чисел.

правее на данной строке.

сверху

цифрами

1,

2, 3,

4,

5, 6, 7,

В вертикальных колонках, помеченных

8 и 9, расположены последние три

цифры

мантиссы

для чисел

101

н больше.

Следовательно, с помощью страниц

25—32

таблицы

1 можно

н е п о с р е д с т ­

в е н н о находить логарифмы всех однозначных, двузначных,

трехзначных

и далее

некоторых четырехзначных чисел (до 2209).

N

Так, например, для определения логарифма числа 2178 в колонке

отыски­

ваем число, состоящее из первых трех цифр

заданного

числа, т. е. 217 (стр. 32),

и на пересечении строки, содержащей число

217, и колонки, помеченной сверху 8

(последняя цифра числа 2178), прочитываем

381, т.

е.

последние три цифры ман­

ках, помеченных сверху 1, 2,

. . . , 9, поставлена

черная точка,

то первую цифру

мантиссы прочитывают в той же левой вертикальной колонке,

помеченной сверху 0,

но только строкой ниже.

(стр. 26), а lg 795 =

2.9004 (стр.

28).

Например,

lg 256 = 2.4082

находить-

По

таблице

I,

применяя

интерполирование (см. стр. 180),

можно

также и логарифмы в с е х ч е т ы р е х з н а ч н ы х

ч и с е л ,

используя

для

этого

таблички пропорциональных частей, помеченные сверху

Р . р. (Partes proportionales

) .

числа,

равные первым

Над каждым столбиком этих табличек показаны

таб­

личным

разностям — разностям

мантисс двух последовательных чисел.

В

этих

столбиках,

левее вертикальных линеек, расположены

одно

над другим числа-1.,.

2, . . . ,

9,

а справа

от них — соответствующие произведения

табличной

ря'зніегіг

находится мантисса 7686, соответствующая числу 587.

Разность между этими со­

седними мантиссами, 7686— 7679 = 7,

будет первой табличной разностью. На

этой

же странице в столбце

Р . р . ,

озаглавленном числом

7,

ищем слева

цифру

4

(чет­

вертую цифру заданного числа); ей

соответствует

число 2,8 :^ 3 .

Так

как

боль­

шему числу соответствует больший

логарифм,

то

полученное число

прибавляем

к первоначально найденной

мантиссе 7679 + 3 =

7682.

7682;

его ха­

Итак, заданному числу 5864 соответствует мантисса логарифма

рактеристика равна 3. Следовательно,

lg 5864 = 3.7682.

586

— 7 679

4 —

3

П р и м е р

lg 5864 =

3.7682.

2. Найти lg 128,6.

и

в

предыдущем примере. На стр. 26 из

В данном

случае поступаем как

П р и м е р

3.

Решение обратной задачи. По

заданному

логарифму

1.5416

найти соответствующее ему число.

мантиссы (5). Последние три

На стр. 26 находим первую цифру заданной

цифры мантиссы (416) находятся на пересечении строки, относящейся слева

к чи­

слу /Ѵ = 34, и колонки, соответствующей

числу 8. Итак, мантисса 5416

соответст­

вует числу 348. Так как характеристика

заданного

логарифма

равна 1,

то окон­

чательно находим:

1.5416 =

lg 34,8.

найти соответствующее

ему

П р и м е р

4.

По заданному логарифму 1.5744

На стр. 26 во второй колонке

слева, обозначенной сверху

0, находим первую

цифру заданной

мантиссы,

т. е. 5.

Правее, в следующих

вертикальных колонках

ищем число 744,

состоящее

из последних цифр мантиссы,

или

числа, ближайшие

к нему; такими

числами будут 740 (колонка 5) и 752 (колонка 6). Разность между

найденными мантиссами,

752— 740=12,