Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.56 Mб

Скачать

☆

1 / 211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ

H. Н. ВОРОБЬЕВ

Т Е О Р ИЯ Р Я Д О В

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ

	Допущено		Министерством
высшего	и среднего специального			образования	СССР
в	качестве	учебного	пособия для студентов
высших		технических	учебных	заведений

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

М о с к в а

517.2 В 75

УДК 517.5

J4 IZ-UffO

&1Ь

Теория рядов. В о р о б ь е в Н. Н., Главная ре дакция физико-математической литературы нзд-ва «Наука», 1973.

В книге излагаются числовые ряды, функцио нальные ряды, степенные ряды и ряды Фурье. Курс составлен в точном соответствии с разделом «Ряды» программы по высшей математике для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Поэтому его можно использо вать не только как учебное пособие для слушате лей курса лекций, но и при самостоятельной работе над предметом,

Илл, — 14

0223-1730 2 5 . 7 3 042(02)-73

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие										7
Г л а в а	1. Прогрессии									- 9
§ 1.	Введение									9
§ 2.	Геометрические			прогрессии						11
§ 3.	Бесконечные прогрессии; их сходимость и расхо
	димость									12
§ 4.	Функциональные				прогрессии;		область		сходимости;
	равномерная		сходимость							14
§ 5.	Почленное	интегрирование прогрессий								16
§ 6. Почленное дифференцирование прогрессий										18
§ 7. Прогрессии с комплексными членами										20
Г л а в а	2. Числовые ряды. Основные понятия. Основные
	теоремы о сходимости									24
§ 1. Сложение и его свойства										24
§ 2.	Определение		числового			ряда и его сходимости . . .				25
§ 3.	Остаток ряда									28
§ 4.	Принцип сходимости Коши									29
§ 5.	Критерий	Коши			сходимости		рядов			32
§ 6.	Необходимый		признак			сходимости		ряда		33
§ 7. Желательность систематической теории										34
§ 8.	Свойства сходящих рядов, подобные свойствам сумм									35
§ 9. Дальнейшие свойства рядов										43
Г л а в а	3. Ряды с положительными членами									46
§ 1.	Признаки	сходимости рядов								46
§ 2.	Признаки	сравнения								47
§ 3.	Интегральный			признак		сходимости		Маклорена —
	Коши									54
§ 4.	Применение		интегрального				признака		сходимости	56
1*

4				ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Признак сходимости Даламбера											60
§ 6. Признак сходимости Коши											63
§ 7.	Чувствительность признаков сходимости Даламбера
	и Коши										64
§ 8.	Сравнительная оценка различных признаков схо
	димости										66
Г л а в а	4. Знакопеременные				ряды						69
§ 1.	Абсолютная сходимость и условная сходимость . . .										69
§ 2.	Абсолютная		сходимость			и	расходимость				70
§ 3.	Возможность переставлять члены в абсолютно схо
	дящихся	рядах									73
§ 4.	Условно	сходящиеся			ряды . . .						74
§ 5.	Умножение		абсолютно			сходящихся'			рядов		76
§ 6.	Признак	сходимости			Лейбница						79
§ 7.	Существенность			условий			признака		сходимости
	Лейбница										81
Г л а в а	5. Функциональные				ряды						83
§ 1.	Определение		функционального ряда								83
§ 2.	Область	сходимости			функционального ряда . . . .						84
§ 3.	Сходимость		последовательности функций. Основные
	определения										87
§ 4.	Предел	последовательности					непрерывных			функций	93
§ 5.	Переход к пределу под знаком интеграла										94
§ 6.	Переход	к пределу			под	знаком		производной . . .			96
§ 7.	Определение		равномерной				сходимости			функцио
	нального ряда и признак Вейерштрасса										97
§ 8.	Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда
	с непрерывными			членами							99
§ 9.	Почленное интегрирование						функциональных рядов				100
§ 10.	Почленное		дифференцирование					функциональных
	рядов .'			'						-	101
Г л а в а	6. Степенные ряды. Общие вопросы										104
§ 1.	Определение		степенного			ряда					104
§ 2 .	Теорема Абеля										105
§ 3.	Круг сходимости			ряда							107
§ 4.	Вещественный степенной ряд и его интервал схо
	димости										109
§ 5.	Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости										110

	ОГЛАВЛЕНИЕ	5
§ 6.	Вещественные ряды	111
§ 7.	Комплексные ряды	113
§ 8.	Разложение функций в степенные ряды	114
§ 9.	Формула Тейлора . ..	115
§ 10.	Ряды Тейлора и Маклорена	117
Г л а в а	7. Степенные ряды. Примеры и приложения . . .	122

§1. Разложение функции ех в ряд Маклорена . . . . 122

§2. Разложения в ряды Маклорена гиперболических

функций ch х и sh х

123

§3. Разложения в ряды Маклорена тригонометрических

функций cos X и sin X :

123

§4. Показательная функция с комплексным значением

показателя	124
§ 5. Формулы Эйлера	128

§6. Тригонометрические функции от комплексного

значения аргумента

129

§7. Гиперболические функции от комплексного значе

ния аргумента

130

§8. Вычисление значений функций при помощи ряда

		Маклорена								130
§	9.	Биномиальный			ряд					134
§	10.	Приложения		биномиального ряда						137
§ 1 1 .		Разложение		в	ряд		Маклорена	логарифмической
		функции								137
§	12.	Приближенное			вычисление определенных интегра
		лов при помощи				степенных рядов				139
§	13.	Приближенное			интегрирование			дифференциальных
		уравнений при помощи степенных рядов								141
Г л а в а		8. Ортогональные				и	ортонормальные		системы
		функций								144
§ 1. Проекции и разложения векторов										144
§ 2.		Векторы и функции								152
§ 3. Нормированные и ортогональные функции										153
§ 4. Ортогональные и нормированные системы									функций	154
§ 5.		Нормировка	систем функций							Ï56
§ 6.		Разложение	по системам функций							157

6			ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а		9. Ряды	Фурье	159
§	1.	Ряды и	коэффициенты Фурье	159
§	2.	Условия Дирихле и теорема о разложении функции
		в ряд Фурье		162
§	3.	Разложение периодических функций в ряд Фурье		163

§4. Физическое истолкование разложения функции в.

		тригонометрический				ряд Фурье			165
§	.5. Разложение			функции /			(х)=х		166
§	6.	Сдвиг сегмента разложения							168
§	7.	Изменение	длины сегмента разложения						171
§	8.	Четные и	нечетные			функции			173
§	9.	Разложение		четной		функции в ряд		Фурье . . . .	174
§	10.	Разложение		нечетной функции в ряд Фурье . . .					174
§	11.	Разложение в ряд Фурье функций на сегменте [0, я]							175
§	12. Комплексная форма записи ряда Фурье								177
§	13.	Разложение в комплексный ряд Фурье							179
Г л а в а		10. Уравнение свободных малых колебаний струны
		с закрепленными концами							181
§	1.	Уравнение свободных малых колебаний струны							181
§ 2.		Начальные	и		граничные		условия		183
§ 3. Метод разделения переменных									184
§ 4.		Использование			граничных условий.			Собственные
		функции и	собственные				значения		186
§ 5. Использование начальных условий									187
Г л а в а		11. Интеграл			Фурье				191
§ 1. Представление функций интегралом Фурье									191
§ 2.		Простейшие		достаточные			условия представимости
		функции интегралом				Фурье .			193
§	3.	Интеграл Фурье для четных функций							197
§ 4.		Интеграл Фурье для нечетных функций							199
§	5.	Комплексная		форма интеграла Фурье					201
§	6. Понятие о преобразовании Фурье								204
§	7.	Косинустпреобразование					Фурье		205
§	8.	Синус-преобразование Фурье							206
§ 9.		Спектральная			функция				207

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данный курс составлен в точном соответствии с раз делом «Ряды» программы по высшей математике для ин женерно-технических специальностей высших учебных за

ведений. Поэтому его можно использовать		не	только
как пособие для слушателей курса лекций,		но	и	при
самостоятельной работе над предметом.
Основной	опасностью при изучении теории рядов ав- ,
тор считает	вульгарное представление о	ряде		как

о «сумме бесконечного числа слагаемых». Поэтому он принял против него все возможные профилактические меры, жертвуя иногда ради строгости наглядностью из ложения.

Напротив, в согласии с обычной практикой прохожде ния курса теории рядов, обоснование интегральной фор мулы Фурье проводится при помощи нестрогих, правдо подобных («эвристических») рассуждений, а доказатель ства теоремы о дифференцировании, степенных рядов в комплексной области и теоремы Дирихле о разложении в ряд Фурье опущены вовсе. Уравнение свободных малых колебаний струны с закрепленными концами и его решение методом Фурье, относимые некоторыми вариантами учебных программ к разделу «Ряды», выде лены в самостоятельную главу.

Некоторым отклонением		от	традиции	является гла
ва 1, в которой	на примере	геометрических прогрессий
демонстрируются	практически		все идеи	курса (вплоть

8	ПРЕДИСЛОВИЕ
до рядов	Фурье). Эта глава является вспомогательной
и преследует чисто методические цели.
Приводимые в книге примеры носят иллюстративный
характер	и не являются упражнениями для читателя.

Поэтому параллельно с изучением материала данной книги необходимо пользоваться тем или иным сборником задач.

Автор признателен Р. С. Гутеру и П. М. Ризу за конструктивную и доброжелательную критику рукописи и за многочисленные ценные советы, а также редактору книги А. С. Чистопольскому за ряд улучшений текста.

За все критические замечания автор будет весьма благодарен.

H. Н. Воробьев

Г Л А В А 1

ПРОГРЕССИИ

§ і. Введение

При изучении теории рядов приходится сталкиваться с трудностями двоякого рода.

Во-первых, теория рядов, как и всякая математичес кая теория, имеет свой аналитический аппарат, состо ящий из теорем, различных приемов преобразования формул, методов доказательств равенств и неравенств, вычислений пределов, подсчетов конечных сумм и т. д. Этот аппарат составляет существенную часть курса тео рии рядов, и его освоение требует основательного изу чения (и в том числе запоминания) довольно большого числа утверждений и формул, а также практических навыков, приобретаемых в ходе решения задач. С этой точки зрения теория рядов в принципе мало чем отли чается от тех частей математического анализа, которые составляли предмет предыдущих разделов курса высшей математики: дифференциального и интегрального исчис лений. В этом смысле теория рядов никаких особцх труд ностей при своем изучении доставлять не будет. Кроме того, у нас на протяжении курса будет достаточно воз можностей обращать внимание на аналитическую (так сказать, на «формульную») сторону вопроса и отраба тывать типичные приемы рассуждений и вычислений.

Однако ряды при своем изучении доставляют труд ности еще и другого характера, связанные с необычно стью самого объекта изучения, каковым является ряд. Дело в том, что ряд, по существу, является «суммой бесконечного числа слагаемых». Поставленное же в ка-

1 / 211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ