книги из ГПНТБ / Прикладная математика [сборник статей]

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

Тульский политехнический институт

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Т П И

Тула - 1974

Сборник состоит из двух частей. Первая часть сборника посвящена изучению моделей и объектов, возникающих в теории управления сложными системами, производственными процессами и в ряде смежных направлений.

Работы второй части сборника связаны с задачами акусти­ ки, газодинамики и теории интегральных преобразований.

В сборнике нашли отражение некоторые из направлений, развиваемых кафедрой прикладной математики Тульского поли­ технического института в сотрудничестве с организациями Тулы, Ленинграда и других городов. >

Сборник рассчитан на специалистов в области управления, математической физики,' прикладной математики и специалистов смежных наук.

V

*

Научный редактор докт.физ.-мат.нау^,профессор П.И.Цой.

Редакционная коллегия: Е.Т.Раненков,В.М .Чернов,й.С.Султанов.

Ответственный за выпуск А.Я.Федоров,

© Тульский политехнический институт, 1974.

- 3 -

Ч а с т ь I

КИБЕРНЕТИКА

E.T.PASEHKOB

ИНВАРИАНТНЫЕ. МНОЖЕСТВА И УСТОЙЧИВОСТЬ СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Симметричные динамические системы находят значительное применение во многих областях техники (в регулировании, при создании мощных технологических систем, в энергетике я т . д . ) . Известно, что свойства симметрии системы позволяют во многих случаях упростить анализ, однако существующие в ‘настоящее время методы исследования симметричных динамических, систем ■базируются на теории линейных представлений групп и в разра­ ботанной форме применимы лишь к'линейным системам* [ l] .

В данной статье предлагается подход к исследованию симметрич­ ных систем, отличный от изложенного в работе [ ij и основан­ ный на теории инвариантов. Этот подход применим к самому ши­ рокому классу динамических систем и позволяет в ряде случаев существенно упростить задачу исследования симметричной нели­ нейной системы, обладающей свойством инвариантности относи­

Не затрагиваем здесь симметрию в квантовой механике, посколь­ ку квантовая механика представляет собой самостоятельный предмет.

- 4

Предполагается, что система (I) имеет единственное ре­ шение во всей области допустимых начальных значений.

Из условия инвариантности системы ( I) относительно группы^,, вытекает:

1 . Оператор / j является симметрической функцией перемен­ ных хг , х 5 , . . . , х п :

f i (xv h /.(x1, . . . , x a ) ; t h f i (.x1,xl ,...,xn ;t),(Z)

ную теорему теорий симметрических функций и учитывая соотноше­

Если же операторы/у не являются целыми функциями назван­ ных переменных, то будем рассматривать лишь такие динамические

- 5 -

системы, которые допускают представление в форме (4 ), Обзор­ ным классом подобных систем служат системы, допускающие по­ линомиальную аппроксимацию в норме, введенной в пространст­

дем обозначения, после чего получим симметрическую форму за­ писи системы

инварианты, будем в квадратных скобках указывать число подси­

рением эквивалентной системы с размерностью фазовою прост­

X i = - X j - i O O S i g r i х / - lO O s ig n ( 2 ,2 Jfy -0,5 6 i [ 5 ] ) ( / = l , 2 , . . . , f l ) , ( 1 7 )

Из выражения (17) следует, что показатель связности си­ стемы (16) равен двум. В соответствии с теоремой 3 для ис­ следования устойчивости системы (16) в большом достаточно исГ следовать устойчивость в большом системы порядка тпк = 2;

х 1= -^ --Ш 0 sig n x 1 -100sigT i(l,7x1- 2 r !2);

Методом фазовой плоскости устанавливается, что система (18) устойчива в большом. Значит устойчива и исходная систе­ ма (1 6 ).

В заключение заметим, что операторы / могут включать неоднозначные нелинейности типа гистерезиса и т .п .

числительная техника. Вып. 5 . Киев, "Наукова думка", 1969.

- 9 -

2. Раженков Е.Т. Автореферат канд. диссертации "Некоторые вопросы теории и расчета нелинейных многомерных симметричных CAP". 1 ., ЛЭТИ, I97A.

А.Е.КОСТИН

О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЕВКЛИДОВА РАССТОЯНИЯ ШЭДУ ПАРАМИ БЛИЖАЙШИХ СЛУЧАЙНЫХ ТОЧЕК

В ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ

В единичном квадрате произвольно выбирается точек, координаты которых подчиняются равномерному закону распреде­ ления на единичном отрезке. На множестве выбранных случайных точек задается метрика в виде евклидова расстояния. С каждой точкой выборки можно сопоставить случайную величину D , представляющую собой расстояние от данной точки до ближайшей к ней другой точки в выборке. Необходимо найти закон распре­ деления случайной величины д , использовав размер N -выбор­ ки в качестве параметра.

Для решения поставленной задачи найдем закон распределе­ ния евклидова расстояния между любой парой случайных точек, причем сначала не будем накладывать ограничения на размерность пространства.

Допустим, что в единичном л -мерном кубе выбраны две случайные точки

будучи функцией от случайных величин, есть также случайная величина с некоторым законом распределения.