книги из ГПНТБ / Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем

РОСТОВСКИЙ-НА-ДОНУ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

Ю. Н. Музыченко

РАСЧЕТ ПЛАСТИНЧАТО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Издательство Ростовского университета

1974

В В Е Д Е Н И Е

Книга посвящена некоторым численным методам расчета пла­ стин и пластинчато-стержневых систем.

Вопросам усовершенствования и реализации численных мето­ дов расчета конструкций в связи с быстрым развитием вычисли­ тельной техники уделяется в настоящее время большое внима­ ние как в нашей стране, так и за рубежом [21, 23, 24, 28, 47, 49, 50, 51].

Наибольшую популярность приобретают весьма удобные для составления алгоритмов расчета на ЭЦВМ методы конечных

входящих в той или иной комбинации в исходные дифференци­ альные уравнения, их аналогами, выраженными через дискрет­ ные значения функции в узлах сетки ['16, 19].

При втором способе используется вариационный метод выво­ да сеточных уравнений как более общий и обладающий возмож­ ностью учитывать сложные краевые условия. Однако и он огра­ ничен пределами точности аппроксимации производных обычны­ ми конечными разностями [1, 3, 13, 27].

Этот шособ расширил возможности метода сеток, сделав осуществимым решение многоконтактных задач и расчет многосвязных областей [13, 27].

Вместе с тем конечно-разностные уравнения,можно вывести и третьим способом. При этом выбирается та или иная функция (обычно в виде алгебраического или тригонометрического поли­ нома), которая точно или приближенно удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению не только в самом узле, но и в окрестности узла сетки или, во всяком случае, позволяет судить о поведении функции за пределами данного узла.

Полученные последним способом конечно-разностные опера­ торы будут иметь свои специфические особенности, хотя в неко­ торых случаях они могут совпадать с теми, которые получены обычным путем (формальной заменой производных). Чтобы

3

убедиться в этом достаточно сравнить конечно-разностные опе­ раторы, -составленные для -случая изгиба пластины в декарто­ вых и п-олярных координатах [20].

Действительно, о-бычн-ое сеточное уравнение изгиба пластин, полученное для прямоугольной сетки, -соответствует -равномерно- распределенной нагрузке по всей -зоне, примыкающей к данно­ му узлу, чегс нельзя сказать о -конечно-разностном аналоге, составленном для дифференциального уравнения изгиба, запи­ санного -в полярных координатах. Чтобы получить равноценное уравнение, необходимо учесть -соответствующий равномерно-рас­ пределенной нагрузке тригонометрический полином.

По мере усложнения внешней распределенной нагрузки не­ обходимо выбирать и подходящие аппроксимирующие функции. При это-м имеем различные по структуре и точности конечно-

разностные операторы [20, 35, 37, 39, 40, 42, 53].

Сущность этих уточненных конечно-разностных операторов иллюстрируется сначала на -стержневых системах, а затем на пластинах.

На примере расчета стержней показывается, что для опреде­ ленного вида сложных распределенных нагрузок можно полу­ чить по уточненным конечно-разностным уравнениям точные ре­ шения, -в то время как обычные конечно-разностные уравнения (при -одном и том же числе узлов) -дают значительную -погреш­ ность, особенно ощутимую inp-и небольшом числе узлов сетки.

Уточненные -конечно-разностные уравнения обладают еще од­ ним преимуществом. При их использовании предоставляется возможность удовлетворять граничным условиям не только то­ чечно (в узлах -сетки), как это делается обычно, по. и точно (вдоль всей линии) или сразу в нескольких точках контура, рас­ положенных между основными узла-ми сетки вдоль какой-либо произвольной линии, проведенной в пределах рассматриваемой сеточной области, взятой у да-нно-го узла. Это позволяет при ми­ нимальном числе узлов обеспечивать высокую степень точности, а следовательно, и решать задачи со сложными граничными условиями.

Уточненные конечно-разностные уравнения -могут быть ис­ пользованы также -при расчете пластин переменной жесткости, при решении нелинейных -задач (физическая -и геометрическая нелинейность), при расчете плит по уточненной теории. В част­ ности, последнему вопросу в работе уделено достаточно внима­

ния [44].

В -настоящее время находит широкое -применение и метод ко­ нечных элементов. Сущность этого метода заключается в том,

4

Г л а в а I.

УТОЧНЕННЫЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН

§ I. Расчет стержней

При решении задач строительной 'механики методом конеч­ ных разностей производные, входящие в дифференциальноеуравнение изгиба и в уравнения, описывающие граничные усло­ вия, заменяются конечными разностями, что приводит к системеалгебраических уравнений. Сами дифференциальные уравнения при этом удовлетворяются дискретно.

Различные краевые условия, содержащие производные от искомой функции, также выражаются в конечных разностях, од­ нако характер загружения в окрестности контура не,отражается в этих уравнениях. Иначе говоря, выбираемая (об&чно в виде полинома) аппроксимирующая функция не удовлетворяет основ­ ному дифференциальному уравнению. , ■

Если устранить это противоречие, то значительно снизится погрешность. При этом в ряде случаев можно получить точные решения с минимальным числом узлов, как это, например, на­ блюдается при использовании уравнений трех моментов в строи­

6

Будем искать решение этого уравнения в виде полинома

i=8

i=0

Здесь а,- — параметры, значения которых найдем, удовлетво­ рив уравнению (1.1) в сечениях 1, 2, 3, 4.

Запишем теперь условие (1Л) для центрального узла 0:

Подставив вместо четвертой производной ее значение, най­ денное из (1.2), после простых преобразований получим

6w0 - 4(Wl + w8) -f w2 + w4 = —1— [474 q0 +

Здесь q! — ординаты, эпюры, нагрузки в выбранных сечениях. Отметим, что сана нагрузка изменяется по закону кривой чет­ вертого порядка.

В частном случае,' при q = const, уравнение (1.4) совпадает с обычным уравнением метода конечных разностей, которое имеет вид:

El

При выводе граничных условий рассмотрим участок 3—0—

— 1—2 стержня (см. рис. 1) длиной 3h, а функцию прогибов за­ дадим в виде полинома

Параметры полинома, входящие в (1.6), найдем, удовлетво­ рив дифференциальному уравнению (1.1) и выразив их через дискретные значения прогибов в сечениях 0, 1, 2, 3.

7

Рассмотрим несколько частных случаев граничных условий: I. Жесткое защемление.

Из условия равенства нулю угла поворота и прогиба в сече­ нии 0, имея в виду (1.6), найдем значение законтурной ординаты линии прогибов:

8

Заметим, что от условий, записываемых в конечных разно­ стях, уравнения (1.7; 1.10; 1.13; 1.14) отличаются последним чле­

ном, учитывающим характер загружения стержня в зоне опирания.

Пример. Рассмотрим балку постоянного сечения, шарнирноопертую по концам и загруженную распределенной нагрузкой, изменяющейся по закону квадратной параболы (рис. 2).

w 3

Определим прогиб в середине балки, решив задачу в уточ­ ненных и обычных конечных разностях.

Разобьем ось балки на четыре участка. Для сечений 0 и 1 получаем

9