книги из ГПНТБ / Аронзон, И. М. Кинематика учеб. пособие для студентов мех. и технол. фак. ин-тов нар. хоз-ва
.pdf
московский
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО х о зя й с т в а
имени Г. В. ПЛЕХАНОВА
И. М. АРОНЗОН, И. И. АНУРЕЕВА
К И Н Е М А Т И К А
(учебное пособие для студентов механического и технологического факультетов институтов народного хозяйства)
Москва 1974
л?
Учебное пособие «Кинематика» составлено сотрудниками кафедры высшей математики и теоретической механики. В ос нову данного пособия положены лекции, которые читались на механическом факультете МИНХа. В графическом оформле нии пособия принимал участие студент механического факуль тета МИНХ А. В. Краснов. В пособии уделено большое место теории плоско-параллельного движения твердого тела и его практическому применению для кинематического исследова ния плоских механизмов, наиболее часто встречающихся в технике. Кроме того, подробно рассмотрена теория сложного движения точки и твердого тела. Кинематика сложного дви жения твердого тела для лучшего усвоения изложена по ана логии с положениями статики, исходя из математической эк вивалентности величин: «сила» и «угловая скорость» как скользящие векторы и «момент пары» и «линейная поступа тельная скорость» как свободные векторы.
В пособии рассмотрены рядовые, планетарные и дифферен циальные передачи в объеме, необходимом для выполнения курсовых и дипломных проектов по теории механизмов и де талям машин.
Главы по кинематике точки и кинематике сложного движе ния написаны Аронзоном И. М., а главы по кинематике твер дого тела — Ануреевой И. И.
В в ед е н и е . Предмет и краткая история кинематики
Кинематика происходит от греческого слова xinematos, что означает движение. Такое название кинематики определяет ее как раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных точек и тел без учета сил, вызываю щих это движение.
Кинематика выделилась в самостоятельный раздел теоре тической механики в первой половине XIX века. Это произо шло под влиянием потребностей развивавшейся машинной техники в связи с необходимостью исследования передачи движения в механизмах.
Основными понятиями, связанными с движением матери альных точек и тел, являются их траектории, скорости и уско рения, а также время. Впервые понятия скорости и ускорения при прямолинейном движении были определены основателем научной механики великим итальянским ученым Галилео Га лилеем (1564—1642 гг.) в его труде «Беседы и математические доказательства о двух новых науках, относящихся к меха нике и местным движениям», изданном в 1638 году в Голлан дии. Галилей установил также закон сложения скоростей
всложном движении.
В1673 году голландский ученый Христиан Гюйгенс впер вые ввел понятие центростремительного ускорения, называе мого в теоретической механике нормальным ускорением. Он же сделал существенный вклад в теорию и практику точного измерения времени на основе исследования движения маятни ка и изобретенных им маятниковых часов.
Понятие ускорения в общем случае движения ввел осново
положник классической механики Исаак Ньютон (1643— 1727 гг.).
В1765 году дейсвительный член Петербургской Академии Наук Леонард Эйлер (1707—1783 гг.) опубликовал «Теорию движения твердых тел», в которой впервые были изложены основные положения кинематики твердого тела.
Всвязи с запросами инженерной практики в XIX веке большое развитие получила кинематика механизмов, в осно
3
ву которой легли работы талантливого русского математика П. Л. Чебышева (1821—1894 гг.).
Содержанием кинематики являются: кинематика точки, ки нематика твердого тела и кинематика сложного движения точки и твердого тела.
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Предмет кинематики точки
Кинематика точки изучает изменение с течением времени положения точки относительно какого-либо тела.
Линия, которую описывает с течением времени точка в пространстве, называется ее траекторией.
Для наблюдателя, следящего за движением точки, траек тория ее .представляется различной в зависимости от того те ла, с которым наблюдатель связан.
Черт. 1
Например, для наблюдателя, находящегося в вагоне, дви жущимся на горизонтальном и прямолинейном участке пути, траектория падающего мяча представляется вертикальной ли нией. Для наблюдателя, стоящего на земле и следящего, за движением вагона, траектория мяча представляется парабо лой (черт. 1). Поэтому для исследования движения точки су щественным является тело, относительно которого рассмат ривается это движение.
В кинематике точки изучаются виды ее траектории, а так же скорости и ускорения этой точки.
4
Гл а в а I. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ИТРАЕКТОРИИ ТОЧКИ
§ (1. Системы отсчета
Было сказано, что в кинематике изучается движение ма териальных точек и тел, то есть изменение с течением времени их положения относительно других тел.
Координатные системы, неизменно связанные с твердым телом, относительно которого исследуется движение, называ ются системами отсчета. Различаются основная и подвижная системы отсчета.
Основной, называется система отсчета, неизменно связан ная с твердым телом, которое условно считают неподвижным. Такая система является условной потому, что в природе от сутствуют неподвижные тела.
Подвижной называется система отсчета, неизменно связан ная с твердым телом, движущимся относительно основной си стемы отсчета. Условимся в дальнейшем для краткости ос новную и подвижную системы отсчета называть соответствен но О.С.О. и П.С.О.
В качестве системы отсчета будем применять прямоуголь ную систему декартовых координат.
Для исследования движения материальных точек и тел в некоторых случаях целесообразным является применение других систем координат, например, полярной, цилиндриче ской, сферической и т. д.
§ 2. Способы задания движения точки
Под способом задания движения точки понимают задание условий, с помощью которых возможно определить положение точки в пространстве в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета.
Рассмотрим следующие способы задания движения точки: а) векторный способ; б) в декартовых координатах; в) естественный способ;
а) Векторный способ задания движения точки.
Для задания движения точки векторным способом необхо
димы О.С.О. Oxyz и уравнение движения точки |
в векторной |
форме |
(черт. 2) |
7= 7(t) |
Выражая радиус-вектор точки в проекциях на оси коор динат, имеем:
г — x i - \ - у j + zk ,
5
где
i = const; j = const; k — const.
Единичные векторы i, j, k постоянны, так как они направ лены по осям О.С.О., принятой условно неподвижной.
Траекторию точки условились называть годографом радиу са— вектора этой точки.
Черт. 2
Годографом любого вектора называют линию, которую описывает конец этого вектора, отложенный из единого центра.
Пример. Дано уравнение движения точки в векторной форме
г — 2ti — З^2 j + 51 k
Определить положения точки в пространстве в моменты вре мени t = tQ= 0 сек и t= tx= \ сек.
Решение. Соответственно уравнению движения точки
г= 2 t i — 3 t 2j - \ - 5 t k
1)в момент времени /—/0 = 0 сек г= Го=0, т. е. точка нахо дится в начале координат О.С.О. — Oxyz;
2) в момент времени t = t\ = 1 сек
г = /у = 2 i — 3 / +- 5 k
6
т. е. точка перешла в пункт траектории |
(2, —3,5). Поло |
жения точки изображены на черт. 3. |
|
б) Способ задания движения точки в декартовых коорди натах.
Для задания движения точки в декартовых координатах необходимы О.С.О. Oxyz и уравнения движения в параметри ческой форме
X = X (t)
y = y(t) |
|
z = z(t) |
(черт. 4) |
Если точка движется в плоскости, то задают О.С.О. Оху и уравнения движения в параметрической форме
х = x(t)
y = y(t)
Для определения траектории точки из уравнений ее дви жения в декартовых координатах исключают время t.
Пример. Даны уравнения движения точки в плоскости
|
х = 4 cost ; |
I/= 3 sin t |
||
(х и у |
в см, время— в сек). |
Найти уравнение траектории |
||
точки в положения |
ее на траектории |
в моменты времени |
||
t = /0= 0 |
сек, |
|
|
|
|
t = t, |
= — сек и |
t = t„ = |
iг сек. |
|
|
2 |
|
|
7
Решение. Из заданных уравнений
х — 4 cos t и у = 3 sin t
находим:
х |
COS t |
, |
И |
у |
= |
. |
, |
---= |
|
|
sin t |
|
Сложим квадраты левых и правых частей обоих равенств. Получим
— + -£ - = 1
42 |
З2 |
|
|
|
Уравнение определяет эллипс с полуосями |
а —4 |
см и в— |
||
3 см. Траектория точки изображена на черт. 5. |
|
|
||
1). В момент времени t= t0 = 0 сек |
|
|
|
|
х = х й — 4 см\ у = у0 — 0. |
|
|
||
Соответственно точка находится в пункте Мо (4,0) |
траекто |
|||
рии. |
|
|
|
|
2) . В момент времени i = t t= |
сек |
|
|
|
х = х г= 0; у = у, = 3 см. |
|
|
||
Соответственно точка находится в пункте Mi |
(0,3) |
траекто |
||
рии. |
|
|
|
|
3) . В момент времени t= ti= n сек |
|
|
||
х — х 2 — — 4 см\ у = у 2= 0. |
|
|
||
8
Соответственно точка находится в пункте Мг (—4,0) траек тории.
Положения точки на траектории в моменты времени to, t\ и U показаны на черт. 5.
в) Естественный способ задания движения точки.
При естественном способе задания движения точки изве стными являются (черт. 6)321
Черт. 6
1)О.С.О. Oxyz;
2)траектория точки или ее уравнение;
3)начало отсчета расстояний «К»;
9