книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие
.pdfЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДША ЛЕНИНА КОРАБЛЕС ТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ
И.Б.МАРАЕВА, Н.А.ФЕДОРОВА
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО НАЛШС Учебное пособие
Ленинград |
Т973 |
Учебное пособие содержит начальные сведения о ПОНЯТИЙ и операциях над мнокествшш, о кдассяфягш.- ции н свойствах функций, теорж» прадедов, свойства бесконечно малых, бесконечно бодьних, ограниченных и монотонных функций, теорию непрерывных функцив.
В пособии |
подробно рассматривается |
многочис |
||
ленные примеры, |
облегчающие усвоение |
излагаемого |
||
материала, и приводится больное |
количество |
конт |
||
рольных вопросов и примеров для |
самостоятельного |
|||
ревения. |
|
|
|
|
Пособие предназначено для |
студентов |
Ленин |
||
градского кораблестроительного |
института специаль |
|||
ностей 0553 (гидроаэродинамика), 05Р» |
(судострое |
|||
ние и судоремонт) и для студентов заочного |
ш ве - |
|||
чернего факультетов. |
|
|
|
ЦАРАЕВА
Ирина Борисовна
ФЕДОРОВА Нина Анатольевна
ВВДНШЕ В АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Учебное пособие
Отв.редактор д . т . н . , профессор А.Н.ШЕШОВ Лит.редактор Л.П.ЧЕРНУШИНА
Гвп.ЛКИ. Зак.Р-115. Тир.300. Печ.л.б. Уч . - изд . я . 7,9 .
1Ш 1973 г . M-I9I58. Цена 33 коп.
3
П Р Е Д И С Л О В И Е
Предлагаемое методическое пособие является обработанным
конспектом лекций по курсу математического анализа, |
чвтааме- |
|
го студентам I курса ЯКИ. Несмотря на то, что в |
настоящее |
|
время существует больное количество учебных пособий по кур |
||
су математического анализа, режомйндовать один |
какой-нибудь |
|
учебник, подходящий читаемому курсу, невозможно. |
|
Особенно |
это относится к таким разделам, как теория пределов, |
сравне |
|
ние бесконечно малых и бесконечно больших функции н |
непре |
|
рывность функции. Установившаяся в ЛКИ стиль чтения |
лекция |
по указанным разделам строится на использовании элемевтарнвх понятий теории множеств, окрестностей точек и предельных то
чек множеств. Цель настоящего пособия - помочь |
студентам пер |
||
вого курса овладеть шпат понятиями. |
|
|
|
Большув пользу в этом отношения пособие должно привести |
|||
студентам заочного факультета, не слушавшим лекции по |
мате |
||
матическому анализу. |
|
|
|
Так как раздели математического аваднаа, |
посвященные |
||
дифференциальному и ннтегральаому исчисление функций |
одно! |
||
и нескольких переменных, достаточно хорошо пложена в |
с у - |
||
ществувцих стандартных учебных пособиях, то настоящее |
мето |
||
дическое пособие включает |
в себя только введение в авализ, |
||
т . е . вопроси, связанные с |
элементарными аояяххямш |
теории |
|
множеств, функциональной |
зависимости, теории цределов |
функ |
ция одной переменной, сравнения бескояечяо малых я бесконеч но, больших функций и непрерывности функций.
|
В соответствии с «тки все содержание пособия разбито ва |
|||
б |
гяав |
и -введение, причем в конце жажде! главы |
приведены |
|
контрольные вопросы и примера. Режете STKX примерев |
значи |
|||
тельно |
поможет студентам лучше уяснять теоретический матерн |
|||
ая |
и приобрести навыки использования полученных |
аканий |
для |
ч
реиениж практических задач. Ответы на контрольные вопросы и задачи приведены в конце пособия.
Изложенный материал снабжен больаин количеством приме
ров и графическими иллюстрациями. Некоторые |
доказательства, |
|||
аналогичные приведенным в пособии, читателю |
|
рекомендуется |
||
проводить самостоятельно. Студентам заочного |
факультета |
и |
||
общих |
потоков дневных факультетов по разрешению |
лекторов |
||
можно |
опустить доказательства некоторых теорем, |
особенно |
в |
теории пределов. При этом необходимо внимательно отнестись к
формулировкам соответствующих теорем |
и разобраться |
в сущнос |
||
ти а использовании утверждаемых ими положении. |
|
|||
Авторы выражают глубокую благодарность |
ответственному |
|||
редактору проф. А.Н.Шебалову, а также |
всем членам |
кафедры, |
||
ознакомиваинся с пособием и сделавшим |
ценные |
критические з а |
||
мечания. |
|
|
|
|
Все замечания читателей |
просьба |
направлять на |
кафедру |
|
прикладной и вычислительной |
математики ЛКИ. |
|
|
5
ВВ Е Д Е Н И Е
Вкурсе математического анализа используется терминоло гия, связанная с понятием множеств и некоторых операций над ним». Поэтому, прежде чей изучать основной курс, надо позна
комиться с некоторыми вводными понятиями и обозначениями.
I . Понятие множества
Понятие множества является одним из таких первичных по»
нятий, определить которые |
невозможно. |
Ведь'всякое определе |
|
ние строится на каких-либо |
понятиях, |
которые считаются |
из |
вестными. Например, окружность определяется как геометричес кое место точек, расстояния которых до одной точки, называе мой центром окружности, постоянно. В этом определении счита ется известным понятия расстояния и точки. Но дать определе ние точки невозможно, так как нельзя выразить это понятие через более простые. Само понятие геометрического места так
же |
не |
|
поддается определенно, фактически |
- |
это |
множество |
т о |
||||
чек |
на |
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М н о ж е с т в о м |
будем считать |
мыслимую |
совокуп |
||||||
ность различных элементов лвбой природы, объединенных |
неко |
||||||||||
торым |
|
общим признаком, |
позволяю*км судить |
о |
принадлежности |
||||||
любого |
элемента этому |
множеству. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Например, можно рассматривать множество студентов |
дан |
||||||||
ной группы, множество точек на отрезке прямой ливни, |
|
мно |
|||||||||
жество |
цедыз чисел и т . д . |
ЕСЛИ элементами |
множества |
является |
|||||||
числа, то оно называется числовым (например, множество |
всех |
||||||||||
правильных дробей). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Обозначается множества обычно больиимн буквами |
X |
« У |
, |
||||||
2, |
, |
а |
их элементы - такими же маленькими |
буквами х |
, |
у. |
, |
||||
* |
. |
Иногда множества |
обозначают - | х ] |
, |
|
, ^ а . } . |
2акуэ |
6 |
|
|
зналась нужно читать следующим |
образок: шюхесгво |
элементов |
х , множество элементов ^ |
и т . д . |
|
Принадлежность какого-нибудь элемента данному множеству
обозначается значком |
е |
, |
а непринадлежность |
-' е |
|
или ф. . |
||||||||
Например, |
если |
X |
|
- множество |
рациональных |
чисел, то у е X , |
||||||||
а зс ^ X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Множество |
У |
|
называется |
|
п о д м н о ж е с т в о м |
|||||||||
ыножества |
X |
, если |
каждый |
элемент |
i j e l |
принадлежит |
мно- |
|||||||
зеству |
X |
. Например, |
множество рациональных |
чисел является |
||||||||||
подмножеством |
множества всех вещественных чисел. Тот |
" |
факт, |
|||||||||||
что множество |
У |
является |
подмножеством |
множества |
X |
, |
обо |
|||||||
значается |
значком |
С |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
У с X . |
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно,.само |
множество |
X |
также |
является |
своим |
под |
||||||||
множеством. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Б |
теории |
множеств |
вводится |
понятие |
пустого |
множества. |
||||||||
П у с т ы м |
|
называется множество, |
не содержащее |
ни |
одного |
|||||||||
элемента. Оно обычно |
обозначается буквой |
А . Например, |
мно |
жество всех вещественных чисел, квадрат которых отрицателен,
является |
пустым множеством. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Два |
множества |
X |
|
и |
У |
называются |
р а в н ы м и , |
||||||
веха каждый элемент |
х |
е |
X |
принадлежит |
У |
, |
а каждый |
эле |
|||||
мент у е |
Ч |
принадлежит |
|
X , |
т . е . равными |
называются |
мно |
||||||
жества, состоящие из одних и тех же элементов. |
Обозначение |
||||||||||||
равенства |
множеств |
следующее: |
Х = У |
. Очевидно, |
равенство |
||||||||
множеств |
равносильно требованию |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
X |
с |
Ч |
|
|
и |
Ч с |
X . |
|
|
|
|
Множество называется |
к о н е ч н ы м , |
|
если |
последо |
|||||||||
вательной |
нумерацией его элементов можно исчерпать |
все |
эле |
||||||||||
менты множества. В противном-случае |
оно называется |
бесконеч |
|||||||||||
ным. Например, множество студентов в данной |
группе |
является |
|||||||||||
конечным, |
а множество всех точек на отрезке |
числовой оси |
от |
||||||||||
О до I - |
бесконечным. Множество всех натуральных чисел - |
так |
|||||||||||
же бесконечно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. |
Простейшие |
операции |
над множествами |
|
|
|||||||
О б ъ е д и н е н и е м |
множеств |
X |
и |
Ч |
называется |
7 такое множество, которое состоит яз sees элементов ынокееяв X и у и только из них„ Обозначавшее объединение множеств символом и :
|
|
|
|
|
X и У . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Например, |
если |
X - |
множество |
всех |
рациональных чисел, |
||||||||||
а |
У - |
всех иррациональных чисел, |
|
то |
их |
объединенной |
||||||||||
является множество всех вещественных чисел. Приведем |
|
еце |
||||||||||||||
один пример |
объединения |
ннояеетв: |
если |
Х = П 2,3,5 } , |
||||||||||||
Ч = [ г Л , 6 , 8 } 8 |
ю Х и Ч = { 1 , ? , З Л , 5 , 6 , 8 } . ' |
|
|
|
||||||||||||
|
П е р е с е ч е н и е м |
мнояеетв X я Ч называется |
||||||||||||||
такое множество, |
которое состоит из элементов, |
принадлежащих |
||||||||||||||
одновременно и множеству |
X |
и мнонеству |
У , |
и |
только из |
|||||||||||
них. Пересечение |
множеств |
обозначают |
символом |
с\ |
г |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
X п У . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Например, |
если |
Х = { 4 , 2 , 3 , 5 ] |
|
, |
4 = ^ , ^ , 6 , 8 . } , |
го |
|
||||||||
|
|
|
|
|
X п |
У = { 2 } . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если множества |
X ~ и Ч |
не имеют общих |
элементов, |
то |
|||||||||||
их пересечение представляет собой пустое множество. В |
»том |
|||||||||||||||
случае |
говорят, что множества не пересекавтеа. |
|
|
|
||||||||||||
|
Р а з н о с т ь » |
множеств |
X |
и |
У |
называется |
мно |
|||||||||
жество, |
состоящее |
яз тех элементов |
|
множества |
X |
, |
которые |
|||||||||
не |
принадлежат |
множеству |
У |
. Обозначение |
разности |
следув- |
||||||||||
щее |
\ |
: |
|
|
|
X \ У . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Например, |
если |
X = {1,2,3 ,5 } , |
а |
У = { г д , е , 8 } |
, |
то |
|||||||||
Х \ У |
5 } . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Все введенные над множествами |
|
операции можно |
|
символи |
|||||||||||
чески пройдяюстрировать следующим |
образом: |
если |
обозначить |
|||||||||||||
схематично каждое |
из множеств |
кругами и заштриховать |
множест |
|||||||||||||
во, |
получающееся |
в результате |
проведенной операции, то |
ри |
||||||||||||
сунки, |
примут |
следуваий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1) |
объединение |
множеств |
X *-» У |
(рис. I , 2 ) ; |
|
|
|
||||||||
|
2 ) |
пересечение |
множеств |
X г\ У |
(рис. 3, *) » |
|
|
|
||||||||
|
3) |
разность |
множеств |
X \ Ч |
(рис. 5» б)„ |
|
|
|
|
|||||||
|
Например, |
покажем на рис. 7 справедливость |
следующего |
|||||||||||||
соотноиения: если |
Х с У |
, т о |
|
Х п У = Х . |
|
|
|
|
8
Рис. 7 |
Рис,8 |
1
3 . Числовые множества и их границы |
9 |
|
|
Есяв алеввахаш мяоавства явлввгся вещественные |
чясла, |
хо для какого чнслового множества козао ввести подокне гранвд»
Число М |
наамваетеа |
в е р х н е й |
|
г р а н и ц е й |
м н о - |
||||||||||||||
s в |
с |
т в |
а |
X |
, |
если |
для |
всех |
элементов |
а г е Х |
|
выполняется |
|||||||
неразество |
х<*М |
, Например, дяп ыногас?ва всех |
отрицатель» |
||||||||||||||||
ных чисел |
верхняя |
граница |
- |
это |
двбое |
положительное число |
или |
||||||||||||
0. |
Вообще, |
всяк М |
- верхняя |
граница множества, |
то |
ледов |
число |
||||||||||||
М( — И |
также |
является |
его |
верхней |
границей. |
Множество |
мо |
||||||||||||
жет а не иметь ни одной верхней |
границы. |
|
Например, |
множест |
|||||||||||||||
во |
всех |
положительных чисел верхней границы не имеет. |
|
||||||||||||||||
|
|
Число |
N |
|
называется |
н и ж н е й |
|
|
г р а н и ц е й |
||||||||||
м н о ж е с т в а |
|
1 |
, |
если дла |
всех |
элементов |
|
х е к |
|||||||||||
выполняется неравенство |
х » |
н |
. Например, |
для |
|
|
множества |
||||||||||||
всех |
положительник чисел |
нижняя |
граница |
- |
любое |
отрицатель |
|||||||||||||
ное число или 0. |
Вообще, |
если |
N |
- |
нижнее граница |
мно |
|||||||||||||
жества, то любое число N, |
N |
также |
явля ется |
его |
нижней |
||||||||||||||
границей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Множество |
называется |
|
о г р а н и ч е н н ы м |
с в е р - |
|||||||||||||
х |
у, |
если |
оно |
имеет |
хотя |
бы одну верхнею |
г р а н т у . |
Аналогич |
|||||||||||
но, |
множество |
называется |
|
о г р а н и ч е н н ы м |
с |
н и- |
|||||||||||||
з |
у, |
если |
оно |
имеет |
хотя |
бы одну нижнюю г р а н т у . |
Множество, |
||||||||||||
ограниченное и сверху |
и снизу, |
называется |
|
|
о г р а н и |
||||||||||||||
ч е н н ы м . |
Например, |
множество |
всех |
правильных |
дробей |
||||||||||||||
ограничено |
снизу |
нулем, |
а |
сверху единицей, т . е . это |
ограни |
||||||||||||||
ченное множество |
(рис. |
9 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
Рис. 10 |
|
||
Если |
множество |
ограничено |
снизу числом |
Ц , а |
сверху |
|||
числом |
М , |
то,обозначив за |
К |
наибольшее |
из чисел |
|м| |
||
и |N| |
, |
для |
любого |
элемента |
множества х |
получим: |
|
X Ч М as К ,
I » N » - К ,
т . е . - к « х « К , ч т о можно записать в виде