книги из ГПНТБ / Ефимов, Н. В. Введение в теорию внешних форм. (Внешние дифференциальные формы в евклидовом пространстве)
.pdfМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М .В. ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
Ф АКУЛЬТЕТ
Н.В. ЕФИМОВ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВНЕШНИХ ФОРМ
(Внешние дифференциальные формы в евклидовом пространстве)
Издательство Московского университета - 1974
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ .
\
Н.В. ЕФИМОВ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВНЕШНИХ ФОРМ
(Внешние дифференциальные формы в евклидовом пространстве)
•I
Издательство Московского университета - 1974
|
МоскоЬс кий государственный университет |
|
им. М .В. Ломоносова, 1973 |
. 4 '/ |
Гос. публичная |
научно-тѳхнич»с»ая |
|
библиотека с ССР |
|
|
ЭКЗЕМПЛЯР |
|
ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА, |
т о ?
ЧЧ- 9 5
Подписано |
к печати 2.1.1974 г. |
Л-50004 |
|
Формат 60 |
X 90 І Д 6 |
Объем 7,25 п., . |
Тираж 500 экз. |
Заказ 1009 |
|
Цена 40 коп. |
Отпечатано на ротапринте Института механики МГУ
ГЛАВА I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРУ ВНЕШНИХ ФОРМ
|
|
* |
|
|
|
. § I. Условия по поводу обозначений |
|
|
|
|
|
Альтернатор |
|
|
п° I. |
Б дальнейшем нам часто придется записывать суммы про |
|||
извольного числа слагаемых. Поясним обозначения , которыми мы |
||||
будем пользоваться для краткости таких записей. |
|
|
||
Если все слагаемые |
занумерованы по порядку ; |
^ |
j .. . |
|
. . ., |
, то любое из них мы будем писать в виде |
|
(читает |
|
ся Ü. |
с нижним индексом) г, ). Сумма всех слагаемых в этом слу |
|||
чае будет |
обозначаться |
; таким образом: |
|
|
п° 2. Далее мы будем иметь дело также с системами величин,
• которые помечены несколькими индексами (например, ). Как правило, у нас будут встречаться суммы таких-величин с отождест вленными индексами, которые называют индексами суммирования,
например,
+ . ■ - t а
или
-г/' __
- 2
Обычно один аз индексов суммирования пишется сверху, другой-сни-
зу. Во втором из предыдущих примеров имеются два индекса сумми рования. Они независимы, соответственно чему обозначены разными буквами.
п° 3. Если индексов много, то их обозначают одной буквой
3
с подиндексом. Например, |
с/ сх ••• сь |
|
|
|||
^ |
••V СК ~ ^ ^>" чV |
|||||
|
|
|
||||
есть краткое обозначение некоторой системы величин в числе |
to.‘ |
|||||
Пусть |
|
другая аналогичная система величин, |
|
|||
t/ljt. (7к |
|
|
|
|
||
Тогда.например, |
|
|
|
|
||
а |
* * " |
«*■-£> |
|
|
|
|
а |
н . . . |
f |
ч- а |
l*/> |
+ |
|
|
|
|||||
|
|
-ѣ |
||||
|
|
|
|
(<СЛ' |
|
|
|
|
и и ... n. |
|
|
|
|
|
~f~ |
ß. |
h н ... ГЬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
означает |
сумму всевозможных произведений |
oj-,Ll:"LK на 4 , £ , •■/к |
( в каждом слагаемом оба сомножителя имеют один и тот же набор индексов).
п°4. Кроме индексов суммирования могут быть индексы,кото
рые в суммировании не участвуют; их называют свободными. Обоз начение свободных индексов должно быть унифицировано во всех
членах соотношений, |
включающих суммы, например, |
|
Z |
а . < = У 4 - * . |
ш |
Здесь свободный индекс и |
слева и справа обозначен одной и той же |
||||
буквой |
С- |
. Соотношение |
(I) |
означает наличие нескольких равен |
|
ств, общее число которых |
іъ |
. Они получаются последовательно |
|||
при d |
= |
z |
, Л- |
• |
|
п° |
5. |
В некоторых случаях мы будем писать суммы, совсем |
|||
не употребляя индексов. Например, |
|||||
|
|
|
А - |
... + А /... |
Такая запись означает, что нас интересует только сам факт нали чия некоторой суммы, одно из слагаемых которой обозначено
4
буквой |
|
А . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пи 6. Мы сразу же проиллюстрируем все сказанное на примере |
||||||||||||||||||||
сумм, |
в которых участвует |
так называемый |
альтернатор. |
, |
|
|||||||||||||||
Альтернатор |
обозначается символом |
р- е, с, ... |
|
|
||||||||||||||||
£ |
' , |
, |
|
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимают |
значений У, |
|
|
|||||
и определяется следующими условиями: |
0- 4 |
• |
■4 |
— |
X |
j |
||||||||||||||
о |
■ |
|
± |
|||||||||||||||||
если |
/ |
|
/ |
|
с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ / Л - " / * |
|
|
|
|||
с, |
|
‘ 1 ’ « |
|
есть некоторая перестановка значений индек |
||||||||||||||||
сов |
|
|
|
|
|
, считая, что все эти значения различны; при |
||||||||||||||
этом берется |
-ft! , если указанная перестановка четная, и - і. - |
|||||||||||||||||||
еолй нечетная. Во всех |
остальных случаях |
|
оО*" ■ 7 |
|
. — |
@ |
||||||||||||||
(т.е. если |
среди |
значений |
|
|
... |
|
- |
|
J/Jx |
|
|
|
||||||||
С, ^ |
Ск |
или среди значений |
||||||||||||||||||
Ji Jz |
• J k |
' |
есть одинаковые» а также |
если среди значений |
||||||||||||||||
4 4 ' " |
|
4 |
есть такие каких нет среди |
|
|
|
и наоборот). |
|||||||||||||
Пример. Пусть А |
|
- |
|
|
|
квадратная/7 x ft - матрица. |
|
|||||||||||||
При к - |
|
ft= Z |
рассмотрим сумму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
C,L |
|
|
|
|
|
|
^ И |
|
|
|
Г\'* |
|||
ѣ |
= |
|
X . |
г ; |
|
4? |
|
' |
Я. |
= у1.1 |
|
& |
|
/3. // XX |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 X |
|
4 с |
|
|
V |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Kz */*. |
* |
J-/Z Q/3 Ъ я |
|||||
Имеем |
|
|
|
|
|
Ъ |
^ |
4 |
„ |
|
а |
„ - * |
п |
. « л , = |
М |
А . |
|
|||
Вообще при |
k |
- f t |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
у |
|
|
|
|
|
LK |
|
|
|
|
|
|
|
а .- - Р* |
44 . |
|
||||
|
|
|
/ |
а • • • И- |
|
4С. |
|
Л С л |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ft С. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Точно |
также ■ / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
1 |
... м. |
a cff |
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
||||
п° 7. |
В частности, при |
|
к ~/ |
и при любом |
/г.- альтернатор |
|||||||||||||||
|
|
|
представляет собой |
|
символ Кронекера |
сГ- = |
/ |
, если |
5
. |
. |
а ( |
P если |
■ |
|
• 6 суммах этот символ действует |
|||||||||
C ~ j |
* Ö ■ - О |
c j=-i |
|||||||||||||
как тождественный |
оператор, |
например, |
j |
|
L |
• |
• |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
§ 2. |
Сопряженные линейные пространства |
|
|
|
||||||||||
п° I. |
Пусть |
L, |
и |
L |
ж |
- два действительных линейных про |
|||||||||
|
|||||||||||||||
странства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть с каждой парой элементов |
Ü. £ |
I |
|
. ж |
t= L, |
сопо |
|||||||||
ставлено действительное |
число; |
обозначим |
его через |
{ <г?, х ) . |
|||||||||||
Определенную тем самым на L |
х |
Z |
функцию (&,х) мы назовем сверт |
||||||||||||
кой, если |
соблюдены следующие условия. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1. Линейность по первому |
аргументу |
|
|
|
|
|
||||||||
|
(*■6, + / 5 а г ,х ) |
- |
|
(я,, * ) + / 3 |
|
|
х ) |
|
|||||||
для любых |
|
6 |
|
у |
Я, , |
|
€r L |
* X |
€- |
£ |
|
|
( $ . |
||
как |
обычно, |
обозначает множество действительных чисел). |
|
||||||||||||
|
2. Линейность по второму аргументу |
|
|
|
|
|
|||||||||
для любых |
|
ot'fi |
|
/ R |
J |
С |
/L ^ |
X , , X Z |
<£ Z . |
|
|||||
|
3. Невырожденность по первому аргументу: |
|
|
|
|
||||||||||
если |
С (Z,x) = О |
при данном |
6L и при любом |
X |
& Z |
, то |
|||||||||
^ |
@ |
* |
Сгде |
$ |
* |
нулевой |
элемент в |
|
|
). |
|
4.Невырожденность по второму аргументу:
если |
(<Я, X ) = |
О при любом |
^ |
£ |
Z |
|
и при данном |
X |
, то |
|||||
,Х- |
|
Ѳ (где |
&- нулевой элемент в |
|
Z ). |
|
|
|
|
|||||
L |
Если на |
L |
* L свертка задана, |
то линейные пространства |
||||||||||
и |
L |
|
мы будем называть |
сопряженными друг другу; |
легко |
|||||||||
видеть, что отношение сопряженности двух линейных пространств |
||||||||||||||
является взаимным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
п° 2. |
|
Предположим теперь, |
что |
/ |
и |
/, |
- конечномер |
||||||
ное пространства одной и той же размерности |
= |
/L |
.Выберем в |
|||||||||||
/ |
и |
/ * |
какие-нибудь базисы; |
|
обозначим их |
соответственно |
||||||||
L, |
/, |
|
||||||||||||
через |
-£/} ■ ■■; |
а также |
|
\..v |
|
|
^ Z , £ ^ é |
Z ). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*7 |
|
|
|
6
Для произвольных |
элементов |
А € |
|
/ * |
X |
6- L |
|
напишем разложе |
||||||||
ния: |
|
f |
|
|
|
*L |
|
|
|
/.■ |
|
|
|
|
|
|
А . - |
а , е |
|
-& |
|
|
|
|
+■-■■ +'*' |
^ 0 |
(Х) |
||||||
і - ,.. |
|
^ |
|
|
|
^ |
||||||||||
здесь |
А і } ..., |
|
- |
координаты |
элемента |
# |
^ |
,< |
, X ^ |
.j |
. |
|||||
|
£ |
2L |
|
|
||||||||||||
- координаты |
элемента |
X £r L . Ьслёдствие |
(I) |
имеем следующее |
|
|||||||||||
общее выражение |
свертки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
с » . * ) |
= |
х |
. с г |
: ' |
* |
) ъ |
* |
< |
/ |
•* |
1 |
|
121 |
|||
Из (2) |
видно, |
что свертка будет |
определена на |
, если |
||||||||||||
L |
* |
*-/ |
мы зададим матрицу сверток базисных элементов, т.е, матрицу чисел
(e^j £j) . Легко усмотреть, что для обеспечения обоих условий невырожденности (з) и (4) пункта п° I необходимо и достаточно,
чтобы эта матрица была невырожденной; таким образом
Dei (е 1£.)ф-0. . |
CJ) |
|
п° 3. В некоторых специальных базисах |
£ |
.—s |
■& J |
* матрицу |
|
j £ -) можно сделать единичной. Вместе |
с тем упростится выоа- |
жение (2). Существование таких базисов и степень произвола в их выборе устанавливает следующая теорема.
|
Т е о р е м а . |
Пусть |
на |
Z |
■* / |
как угодно |
задана |
|||
свертка ( А ух ) |
и в / |
как угодно задан базис |
& н \ |
|||||||
тогда в Z найдется единственный базис |
^ ^ ,.ѵ ^ |
такой, что |
||||||||
|
ft' |
|
d |
' |
|
(J ^ |
|
|
(4) |
|
где |
|
|
|
|
|
|||||
o ' - сивмол Кронекера |
. Роли |
/ |
и |
^ |
можно |
обменять. |
||||
|
<7 |
|
|
|
|
теоремы вытекает из следую |
||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|||||||||
щего очевидного утверждения: |
для любого набора чисел <Х^. ,v X |
|||||||||
найдется единственный вектор |
U. |
|
и |
такой, |
что |
|
||||
( ß * а |
) = tX *'} |
. . . , |
|
~ |
od*' |
|
. Чтобы убедиться |
|||
в этом разложим искомый вектор |
А. |
по данному базису |
|
|||||||
|
Я /f |
+ |
"I Jj |
|
|
|
|
. Мы подучим для |
||
|
|
А. |
|
|
|
|
||||
X , |
---- А |
систему уравнений первой степени с главной |
?
матрицей |
/ •'V'^' /'Ъ'' |
Л |
; полученная система однозначно разрешима |
|||||||||
С -в , -£■ ) |
||||||||||||
вследствие |
о |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3). |
|
|
■f |
2 |
Л |
|
|
|
|
|||
‘ Беря теперь в качестве |
|
|
|
|
|
|||||||
|
у |
j ..y °i |
набор чисел Z Q .•y 'O |
|||||||||
найдем по предыдущему вектор |
Сс . Положим |
= и. |
. Аналогично |
|||||||||
по набору |
О, ■/, О-, , . |
О |
найдем |
и т.д. Полученные |
векто |
|||||||
ры |
|
|
|
|
|
удовлетворяют равенствам (4). Из этих |
||||||
же равенств следует, что векторы |
€Z}, , ^линейно |
независимы. |
||||||||||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О п р е д е л е н и е |
. |
Два базиса, |
из которых |
один принад |
||||||||
лежит пространству Z , другой - пространству Z |
|
, называют |
||||||||||
ся взаимными или дуальными, |
если они удовлетворяют равенствам (4). |
|||||||||||
Б дальнейшем мы будем взамные базисы обозначать более простым |
||||||||||||
образом |
без пометки тильдой. Соответственно имеем |
|
|
|
||||||||
, |
|
- |
(< |
1 / |
|
|
|
|
|
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
é Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п° |
4. |
Если разложения |
(I) даны по взаимным базисам, то |
|||||||||
|
|
( а , х ) = . |
|
|
|
|
-h |
|
|
|
|
(6) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Выражение |
(6) |
следует из (2) |
|||||||||
и С5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п°, 5. |
Будем исходить |
теперь из данного линейного простран |
||||||||||
ства L |
, предполагая его, как и раньше действительным и |
/г. - |
||||||||||
мерным. Обозначим через |
|
|
произвольную линейную форму в про |
|||||||||
странстве |
Z , т.е. действительную функцию точки |
ЛГ é Z |
, удов |
|||||||||
летворяющую условию линейности |
|
|
|
|
|
|
||||||
О. ( о / х Z- / З х |
") - |
X |
а ( х ' } + / в а |
С х "), |
|
(7) |
||||||
для любых |
с^уб érR. , |
x', X ' ' Z |
|
|
|
|
|
Во множестве всех линейных форм пространства Z естествен но вводятся линейные операции. Именно, если. Я., é — две произ вольные формы, Л и . - любые действительные числа, то в качестве
8
формы Х<Х+^и-& |
берется функция, значение которой на произволь |
|
ном векторе X é |
Z определяется равенством |
|
( Л а 7‘-/L4-é) ( х ) = Xci{x)-f-/st-é(x) . |
(8) |
Линейность такой функции непосредственно усматривается из (7) и
(8)» |
. je |
На этот раз обозначим через Z |
линейное пространство, эле |
ментами которого являются всевозможные линейные формы, данные на
/, а линейные операции определены согласно (8). Заметим, что
нулевым |
элементом в |
L |
служит форма |
& |
', которая равна нулю |
||||||||||||
на любом |
X |
é Z |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко показать, |
что |
/ |
|
* |
имеет размерность |
п. , равную раз |
|||||||||||
^ |
|
|
|||||||||||||||
мерности |
іі |
. В этой целью достаточно |
сделать координатное пред |
||||||||||||||
ставление линейных форм в каком-нибудь базисе |
>-V |
: |
|
||||||||||||||
А С * ) = А |
|
|
-t . . . -h |
|
= |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
- |
|
|
|
|
.. |
+ |
|
|
|
|
|
(9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
• Равенство (9) устанавливает линейный |
|||||||||||
изоморфизм между |
|
Z, |
и |
|
Ң - |
мерным координатным пространством |
|||||||||||
/К_ |
(при котором форме |
& & L |
соответствует набор чисел |
|
|||||||||||||
С |
у . . |
0 И ) |
& |
) |
|
- Отсюда следует, что |
Z * |
само |
|||||||||
К . |
- |
мерно. |
Вследствие |
доказанного имеем предложение: |
любая |
||||||||||||
система линейно независимых форм |
Z |
|
., |
|
|
|
|
||||||||||
X. é- L |
. взятых в |
числе |
|
/і |
|
, составляет базис в |
Z |
; |
|||||||||
такам образом, всякая форма |
|
|
é- L |
|
имеет единственное раз |
||||||||||||
ложение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а . ( х . ) = |
|
|
|
|
|
|
... -+ |
|
|
|
|
|
( Ю ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
п° |
6. |
Назначим свертку двух произвольных |
элементов |
a |
& L |
||||||||||||
и Xé-l. |
, полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(<яу х ) |
= а ( х ) , |
|
|
di) |
|||||||
т.е. в |
качестве |
|
х ) |
|
мы берем сейчас число, |
равное значению |
9