Введение в математику
.pdf
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2n |
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1) |
an = |
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; |
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||||
n + 1 |
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||||||||||
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3n + 2 |
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|||||
2) |
an = |
|
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; |
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|||||
5n2 1 |
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|||||||||||
3) |
an = |
|
( 1)n+1 |
; |
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||||||||
4n3 7 |
3n; |
||||||||||||
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|||||||
4) |
a |
|
= |
|
2n 1 |
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|||||||
n |
7n + 2 |
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|||||||||||
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||||||||||
5) |
an = |
|
3 5n |
; |
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||||||
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3 |
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||
6) |
an = |
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( 1)n |
. |
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||||||
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32n 1 |
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3.13 Зная несколько первых членов последовательности fang, написать формулу ее общего члена:
1)ln42; ln54; ln66; ln78; : : :;
2)1; 52; 82; 112 ; : : :;
3)3; 3 5; 3 5 7; 3 5 7 9; : : :; 2 4 8 16
4) 13; 18; 131 ; 181 ; : : :.
3.14 Исследовать следующие последовательности на ограниченность, если общий член последовательности задан формулой:
1)an = 2 n2;
2)an = 5n;
3)an = sin n;
4)an = ( 1)nn2.
3.15 Исследовать следующие последовательности на монотонность, если общий член последовательности задан формулой:
1) an = 3n + 2;
1
2) an = n2 1; p
3) an = [ n];
71
( 1)n
4) an = n3 + 1.
3.16 Используя определение предела доказать, что:
1) |
lim |
5n 1 |
|
= 5; |
|||
|
n!1 n 2 |
|
|
|
|
||
2) |
lim |
3n |
|
= |
3 |
; |
|
4n + 1 |
|
||||||
|
n!1 |
4 |
|||||
3) |
lim |
2n2 + 1 |
= 2. |
||||
|
|||||||
|
n!1 n2 + 2 |
|
|
|
|
3.17 Используя определение, доказать, что следующие последовательности бесконечно малые:
1) |
1 |
|
; |
|
|
||
3n + 2 |
1
2) pn + 1 .
72
Ответы к задачам
1.1 A [ B = f 2; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g, |
A \ B = f3; 7g, An B = f 2; 0; 1; 4; 9g, |
||
Bn A = f2; 5g. |
1.2 A = f 1; 3; 5; 15g, B = f2; 3; 5; 7g, C = f2; 4; 6; 8g, |
||
A [ B = f 1; 2; 3; 5; 7; 15g, |
|
A [ C = f 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 15g, |
|
B \ C = f2g, |
(A [ C) \ B = f2; 3; 5g. |
1.3 A = f 7; 0; 7; 14; 21; 28; 35g, |
|
B = f1; 3; 5; 7; 9; 11; 13g, |
A [ B = f 7; 0; 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 14; 21; 28; 35g, |
||
A \ B = f7g, Bn A = f1; 3; 5; 9; 11; 13g. |
1.4 A [ C = [ 1; 2), A \ B = [ 1; 0), |
||
(A [ B) \ C = [0; 1]. |
|
|
1.5 A [ B = [0; +1), A \ B = (1; 3).
1.6 A [ B = [0; 5), A [ C = ( 2; 3], B \ C = ?, (A \ B) [ C = ( 2; 0] [ (1; 3].
1.7 A \ B = f0g, A [ B = ( 1; 0] [ [2; +1), A [ B = ( 1; 1] [ [2; +1).
1.8 A [ B = ( 1; 1], A \ B = ?, A [ B = (1; +1).
73
1.9 |
|
|
|
|
A = f2; 4g, |
|
B = (8; +1), |
|
|
|
C = f2; 1; 0; 1; 2g5, |
A \ C = f2g, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C = (1; 11] [ [3; +1), |
A [ B = |
4; 1; 16 |
; 2; 3 , |
B \ C = |
f3g, |
A \ C = ?. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A [ B = f2; 4g [ |
(8; +1) |
, |
B \ C = ?. |
|
|
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1.10 |
|
A = 4; 1 |
|
, |
|
B = f1; 2; 3g |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
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|
6 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.11 81 покупатель. 1.12 8 |
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человек. |
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|||||
2.1 |
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1) |
|
|
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|
z1 + z2 = 5 + 4i, |
|
z1 z2 = 9 + 2i, |
|
z1 z2 = 17 19i, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z1 |
= |
11 |
|
23 |
|
2) z1 + z2 = 2 6i, |
|
z1 z2 = 8 2i, |
z1 z2 = 23 14i, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
i; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 |
50 |
50 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z1 |
= |
7 |
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
213 |
|
19 |
|
|
|
|
17 14i; |
|
|
|
|
|
96 |
|
153 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i. |
2.2 |
|
1) |
|
|
|
+ |
|
|
i; |
2) |
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i; |
|||||||||||||||||||||||||
|
z2 |
29 |
|
29 |
|
|
85 |
|
85 |
|
|
|
29 |
29 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
10 |
10i. 2.3 |
1) |
|
cos 0 + i sin 0; |
2) |
p2 |
cos 4 |
+ i sin |
4 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
193 |
|
|
29 |
+ i sin 23 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 6 |
+ i sin 6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
4 |
cos |
23 |
4) |
|
|
2 |
2.4 |
1) |
r = 1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 2) |
|
|
|
|
|
|
p |
|
, |
|
|
|
|
; 3) |
|
|
15, |
|
|
|
5 |
; 4) |
|
|
|
7, |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' = |
|
|
|
' = |
|
3 |
r = 2 |
' = |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
' = 2 |
|
r = 2 2 |
|
4 |
|
r = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2.6 |
|
1) |
|
; |
2) |
3 |
|
|
i |
. 2.7 1) |
|
|
3 |
|
|
i |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
!0 = 2 |
+ |
2, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
16 + 16 3 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
!1 = |
3 |
|
i |
|
|
|
|
i; 2) !0 = 1 + i, !1 = 1 + i, !2 = 1 i, !3 = 1 i; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
, !2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
!0 = p4 2 cos |
8 |
+ i sin 8 |
, |
|
!1 = p4 2 |
cos |
78 |
+ i sin |
78 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
, |
||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
!0 = p3 2 |
|
cos 9 |
+ i sin 9 |
, |
|
|
|
|
|
!1 = p3 2 |
79 |
+ i sin |
79 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
!2 = p3 |
2 |
cos |
5 |
|
|
|
+ i sin |
|
5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
2.8 1) x1 = 2 3i, x2 = 2 + 3i; 2) x1 = |
3 |
|
i |
, |
x2 = |
3 |
+ |
i |
; |
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
3) x1 = 3i, x2 = 3i; 4) x1 = 3 + i, x2 = 2 + i; 5) x1 = 1 + 2i, x2 = 1 i.
2.9 |
|
|
1) f(z) = g(z)(z3 + 2) 8z + 10; |
2) |
f(z) = g(z)(z2 4z + 1) 5z; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
f(z) = g(z)(2z2 z + 1) 4; |
|
|
|
4) |
|
|
f(z) = g(z)(z2 + 5) + 15; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
f(z) = g(z)(z3 3z2 + 8z 18) + 50z + 11; |
6) f(z) = g(z)(2z2 + 6z + 9). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.10 |
|
1) 3, |
ò. |
|
ê. |
f(z) = (z 2)3(z + 5); |
2) 2, ò. ê. |
|
f(z) = (z + 3)2(z2 4); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
простой корень, т. к. |
|
f(z) = (z + 1)(z2 5z + 6); |
4) |
|
простой |
|
êî- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ðåíü, |
|
ò. |
|
x |
ê. |
|
|
|
f(z) = (z 5)(z3 2z2 1). |
2.11 |
|
1) |
|
(x + 1)(x + 4); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
3) |
|
x |
|
|
|
x |
|
; 4) x |
|
|
|
x); 5) |
(2x + 1)(4x + 3); |
|||||||||||||||||||||||
|
( |
|
9)( |
|
16) |
|
( |
|
|
3)(3 + 2) |
|
|
( + 3)(8 |
|
2 |
|
|
|
2(x + 1) |
5; |
||||||||||||||||||||||||||||
6)2(x + 1)(5 x; |
). |
5) |
|
|
|
|
|
(x + 3) 20 |
|
|
x 2 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.12 1) |
|
|
|
|
|
; |
2) |
|
|
|
|
|
|
; |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
4)3 3(x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
71(x 7)2 7; |
|
|
6)12 (x 2)2; |
7) |
|
7 5(x 2)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
8)(x + 4)2 11. |
|
|
|
2.13 |
|
1) |
z2 = 3 i, |
z3 = 3 + i; |
2) |
z2 = 2 i, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z3 = 2 + i; |
|
3) z2 = 1 2i, |
z3 = 2 i, |
z4 = 2 + i; |
4)z2 |
= 1 + i, z3 |
= 6. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.14 1) |
(z 3)(z + 3)(z 3i)(z + 3i) |
; 2) |
(z + 2)(z 1 |
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 i) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 i)(z 1 + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
(z + 4)(z + 3i)(z 3i); |
|
|
|
4) |
|
|
|
(z 1)(z 1 3i)(z 1 + 3i). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2.15 1) (x 1)(x 2)(x 3); |
2) (x2 + 4)(x 3)(x + 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.1 1) (1; +1); 2) |
1; 13 |
|
[ 13; +1 ; |
3) (1; 3) [ ( 3; 3) [ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[(3; +1); |
|
|
|
2; +1 ; 5) |
|
|
|
|
|
|
6) (1; +1); |
|
7) [ 3; 1]; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4) |
( 5; 2] [ [3; +1); |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
8) |
4; |
2 |
[ |
2; +1 ; |
|
|
9) |
(1; 3) [ (3; +1); 10) |
|
(1; 2) [ ( 2; +1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
f(3) = |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 3.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(1) = 0 |
|
|
|
|
f(t + 1) = t2 + 2t + 3 |
|
|
|
S(h) = h 25 h |
|
|
3.4 1) общего вида; 2) нечетная; 3) четная; 4) общего вида; 5) общего вида;
6) |
нечетная; 7) нечетная; 8) общего вида. 3.5 1) периодическая, T = ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
2) |
периодическая, T = 3 ; |
3) |
периодическая, T = 2 ; |
4) |
|
непериодическая; |
||||||||||||||||||||||||
5) |
непериодическая; |
6) периодическая, T = 2 . 3.6 |
1) |
|
f(g(x)) = 32px+1, |
|||||||||||||||||||||||||
g(f(x)) = p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
( |
|
( )) = 5 sin |
|
|
|
8 sin |
|
|
( |
( |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
32x + 1 |
|
|
f(f(x)) = 32 32x , |
|
|
|
g(g(x)) = |
3 p3 |
|
+ 1; |
||||||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||
2) |
f(g(x)) = sin(5x2 |
8x), |
g f x |
|
|
2 x |
|
|
|
x, |
f f x)) = sin(sin x), |
|||||||||||||||||||
g(g(x)) = 5(5x2 8x)2 8(5x2 8x) = 125x4 400x3 + 280x2 + 64x. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f 1(x) = |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
f 1(x) = |
1 |
|
|
1); |
||||||||||||
3.7 |
1) |
|
|
|
; |
2) |
|
|
|
log7(x |
||||||||||||||||||||
|
5 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
f 1(x) = tg x + 3; |
4) |
|
|
f 1(x) = |
x2 + 4 |
; |
|
5) |
|
|
f 1(x) = |
3x 2 |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 1(1x) = arcsin1 |
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
3.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
x 2 |
x1 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(x 2) |
3(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4(x 1) |
2(x + 1)2 |
4(x + 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 3x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
(x + 2)2 ; |
|
|
|
5) |
|
|
|
|
|
|
x x2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4(x2 + 3) 4(x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x + 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
x 2 |
3(x 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(x + 1) |
3(x2 x + 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
|
4x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
10) x 2 + |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9(x2 + 2) |
|
|
9(x 4) |
|
|
(x 4)2 ; |
6(x 1) |
|
|
|
2(x + 1) |
3(x + 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(x + 2) |
|
6(x 1) |
2(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
x2 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
; |
14) |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
3.12 |
1) |
|
|
|
|
|
a1 = 1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
x + 1 |
x2 + 1 |
|
x |
|
3 |
x + 2 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 3) a1 = |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 = |
|
|
, an+1 = |
|
|
|
; 2) a1 = |
|
, a2 = |
|
|
|
, an+1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
n + 2 |
4 |
|
19 |
5n2 + 10n + 4 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
, a |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n+2 |
|
|
|
|
|
|
; 4) a |
|
= |
|
|
1 |
|
, a |
|
|
|
= |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
729 |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
729 |
2 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n3 + 12n2 + 12n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16777216 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
= |
|
2n + 1 |
|
3n+3; 5) a |
|
|
= |
|
2 |
, a |
|
= |
|
7 |
, a |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
2 5n |
|
; 6) a |
|
|
|
= |
|
1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7n + 9 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n+1 |
|
|
|
|
|
( 1)n+1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 = |
1 |
|
, |
|
|
an+1 = |
|
. |
|
3.13 |
1) |
an |
|
|
|
= |
|
|
|
ln(2n) |
; |
|
2) an |
|
= |
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
32n+2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) an = |
3 5 : : : (2n + 1) |
|
|
|
|
an = |
. 3.14 1) ограниченная сверху; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
; |
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
5n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2) ограниченная снизу; 3) ограниченная; 4) неограниченная. 3.15 1) строго возрастающая; 2) строго убывающая; 3) возрастающая; 4) не является монотонной.
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Литература
1.Зайцев В. П. Математика: Часть 1: учебное пособие / В. П. Зайцев, А. С. Киркинский. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2011. 175 с.
2.Зайцев В. П. Математика: Часть 2. Введение. Функции одного аргумента. Предел и непрерывность функции. Дифференцирование функции одного аргумента. Приложения производных. Функции нескольких переменных: учебное пособие / В. П. Зайцев, А. Э. Гейнеман. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2007. 221 с.
3.Киркинский А. С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие / А. С. Киркинский. М.: Академический Проект, 2006. 256 с.
4.Киркинский А. С. Математический анализ: учебное пособие / А. С. Киркинский. М.: Академический Проект, 2006. 526 с.
5.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. М.: Айрис пресс , 2007. 608 с.
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