Механика
.pdf- ,
, , .
- . ,
,
. !
: " " . # " , -
" . " ". $ ,
" , "
,
" .
%, " . &
". $ " "
" " .
" - " " ". $
' :
1) |
( ' : ( ); |
" ( 5-8 . ); ' . ( 9-11 . ) |
|
2) |
II & - ) ' |
' ( %* )
3) ! # - '
" ( ( )
, '
. #
, '
. " " '
.
# ( )
6 :
+,-.&%#. |
|
II |
(,/+ 0%&.+%#. % *(.(. %!%#. |
III |
|
1,#(/%2,*( % +.3&,(%!+ |
||
1&4 |
|
|
$(%#. |
|
IV |
.( +&.5% 50,/&.5%!%#. |
|
|
: |
* %. . # .1-3 |
|
|
|
# .1-3 |
0 : |
5, 0 # |
|
!: |
% %.,. ! |
+,-.&%#.
%, ' ', 4 :
1)#
2)0
3)! '
4)#
31.#
1.1+ '
0 . $
' ,
' " ".
' ' 6 -
" (.((). ",
' " .
+ - , "
" ' . $ " 6 " !
" * ) ( , ' " ');
".
. - , ) " ( )
' .
# ' " , ' ,
, " . # ",
, , .
. $
. % "
).
|
|
|
|
( |
|
Z |
|
|
|
. $ |
|
|
|
|
' 1 |
||
|
|||||
|
|
1 |
|
2 . 1, |
|
|
|
|
, |
' |
|
|
|
r1 |
, , |
||
|
|
2 |
|
' . ( - |
|
|
|
r2 |
, ). |
||
|
|
|
Y |
$ ' |
|
X |
' , |
||||
|
|
|
|
: |
|
. % , .
, ",
. $ ' , "
, - , . !
' , .
".
.
1). * (
- ).
|
a |
b |
|
|
a + b = c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
b = c - a |
|
|
|
|
|
c |
|
a + b = b + a - |
||||
|
|
|
|
|
½ ½=½a + b½ - |
||||
2). 7 |
|
||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
a |
b = aa |
|
|
|
|
|
||||||
|
a > 1 |
|
b |
b |
|
a < 1 |
½b½ = ½ a a½ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3). $) |
|
- , |
||||||||||
|
A |
|
|
|
B |
|
, |
|
|
|
||
|
|
a |
|
) |
|
|
|
|||||
|
|
X |
|
|
Ax = ½A½Cosa |
|
|
|
||||
|
Ax |
|
|
|
Bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx = ax + bx c = a + b |
|
|
|
4). $ ) ' . |
|
|
|
|||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
' : |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Az |
|
|
|
|
|
A º (Ax , Ay, Az) |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
A = Ax ex + Ay ey + Az ez , " ex , ey , ez |
- ( |
||||
|
|
ez |
|
|
|
|
) : |
|
|
|
||
|
|
|
ey |
Ay |
|
Y |
½ex½=½ey½=½ez½ = 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
5). * . |
|
|
|
|||
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|||||
|
Ax |
|
|
|
A B = ½A½½B½ Cos ( A,B). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. : |
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- A B = B A |
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
) - (A B) C = A (B C) |
|
α |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
, A B = 0 , Cos(A,B) = 0, |
|
|
B |
. 6). + A.
0 " )
" " |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A = |
= |
|
A e |
|
+ A |
e |
|
+ A e |
z ) |
= |
( |
A |
2 e |
2 + A2 e2 |
+ A2 e2 |
+ A A |
e |
e |
|
+...... . |
|||||
A |
|
x |
y |
|
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( x |
|
y |
|
z |
|
|
x |
x |
y y |
z z |
x y |
x |
|
) |
|
|||||
( ex2 = ey2 = ez2 =1, exey = eyez = exez = 0, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = A2 |
+ A2 + A2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7). A B - , [AB] |
|||||||||||||||||||||||||
A×B |
|
: [AB] = AB Sina n, " |
|
|
|
|
|
|
A B - ' , a - " , n -
A B. & n ,
A,B,n : |
|
|
|
n , |
|
A |
|
" . |
|
|
|
, ' |
|
|
B |
n |
|
||
. |
|
|
|
8). / - - , ,
'
|
|
|
. ," |
||
Z |
|
|
) ' : |
||
|
|
||||
z |
A |
|
r = x ex + y ey + z ez ; |
||
|
r |
|
|
|
|
|
y |
Y |
r = ½r½ = x2 + y2 + z2 |
||
X |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
1.2 *: " |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
. |
# , , |
||||||||||||||||||
. , ' |
||||||||||||||||||
, ; " v = S / |
t |
|||||||||||||||||
. , " |
||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
< v > = S / |
t. - |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
S1 |
|
|
|
|
, ' |
|||||||||||||
|
|
|
|
). 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
" , " |
|||||||||||||
|
α |
|
|
|
" . , tgα = |
S / |
t. |
|||||||||||
|
|
|
|
( |
t. $ |
|||||||||||||
|
t1 |
|
t |
t |
v1 = |
S1 / |
t1 - |
t1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
( " |
|
lim |
|
S |
= v |
- |
" |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t→0 |
t |
|||||||||||
. |
, |
. |
|
|||||||||||||||
Z |
S |
|
|
|
, |
, |
' . |
|||||||||||
|
|
|
|
v = lim t→0 |
r |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" . % v = dr/dt - |
|||||||||||||
r1 |
r |
|
|
|
- . ) ' |
|||||||||||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
r2 |
|
Y |
|
|
|
|
|
||||||||||
X |
|
|
v = vx ex + vy ey + vz ez, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vx =dx/dt, |
vy = dy/dt, |
vz = dz/dt. |
|
|
|
|
|
||||||
! - r(t), |
|
|||||||||||||||||
. & " : v(t) |
||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
ti << 1 ( ). ( " |
||||||||
|
vi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
= |
vi |
ti |
( |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' " "). |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t1 t2, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
N |
|
|
|
|
||
|
t1 |
ti |
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
S |
|
Si |
= vi ti . |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
ti, |
|
|
|
. |
( |
||||||||||||
|
|
|
N |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, S = lim t→0 vi |
ti |
= v(t)dt |
|
" |
||||||||||||||
|
|
i=1 |
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
& " |
|
||||||||||||||||
, " t1 t2. |
|
|
|
|
|
( ,
- " . 0 " " .
" .
ω |
|
|
1, |
|
|
||||
|
|
|
, ' ’, |
|
|
|
|
. ! |
|
v2 |
|
v1 |
dt . " dj. |
|
’ |
|
( " |
" |
|
|
dϕ |
ω = dϕ . & |
||
|
|
R |
||
|
|
|
|
dt |
|
|
r |
. |
|
O |
|
2 , |
||
|
|
|||
|
ϕ ω.
" . %, ω = ddtϕ . &
" . 0 ", " dj ,
v dt = R dj , " v = R dj/dt = w R. & ' '
" ( ), " v = ω × r = ω × R
1.3 7.
, , . ,
, " - .
:
a = lim t→0 Dv / Dt = dv/dt, a = |
d dr |
. $ a ) ' : a = ax ex + ay ey |
|
|
|
||
|
|||
|
dt dt |
|
+ az ez. 0 ", , - " ,
,
ev = v / v |
= τ ( " )): |
|||||||||||||||||
v = v τ. ( " |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dv |
d(vτ) |
dv |
dτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a = |
dt = |
|
dt |
= dt t + v dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
/, ' ' '. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1). $ : τ = Const |
|||||||||||||||||
a = dv/dtτ. |
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
τ(t) |
: a = dv/dt = 0 v = Const, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" a = v dτ/dt. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ : |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
Dt |
|
Djn* |
|
|
|
|
|
|
|
|
Δϕ |
|
|
τ(t) |
|
|
= lim |
Dt |
= lim |
Dt |
= wn = |
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
R |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
t→0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Δϕ |
' ' |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τ |
" |
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
τ(t+ |
t) |
½τ(t)½=½τ(t+Dt)½=1. ( , |
|
): a = v2/R n.
$ ,
: ) ' " )
:
|
|
|
|
|
dv |
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a = a |
τ |
+ a |
n |
= |
τ + |
n = a |
τ + an n ; a = a2 |
+ a2 . |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
R |
|
τ |
|
|
τ |
n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
v2 |
|
|
||||
$ τn = 0 |
aτ = dt |
; an = |
|
= w2 R. |
|
|
||||||||||
R |
|
|
1.4/'
%, r(t),
. , ' (
- )
. ! a(t) , '
, : r0 v0. 7 :
a = dv/dt, dv = a dt v = a dt + C1. ,
) - dC1 / dt = 0. %
v½t=0 = v0. 0, , v = dr / dt,
r = v dt + C2.
r(t) = |
a dt dt’ + C1 t + C2. '. % |
' |
r|t=0 = r0, , |
.
( ) g: a = g = Const. ( " v = g dt + v0 = v0 + g t r = r0 + v0 t +g t2/2.
3 2. 0 .
1.5 % ) , I &.
, " 6, , ' '
( , " " ), "
. " "
" ' ' :
* - " * - !.
- , - ). ( ,
-
" ,
".
% , . ' '
, " " v0,
' r0. " |
|||||||||||||||
. % , r = r0 + r’. $ |
) |
|
|
||||||||||||
dr |
= v = |
dr0 |
+ dr′ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
v = |
v0 + v’. $ |
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||
|
K |
|
K’ z’ |
|
: |
|
|||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
A |
a’ = |
a - a0. |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
" |
6 |
|
K’ |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r’ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
6 #, |
|||||
|
|
|
|
|
r0 |
|
O’ |
y’ |
K’. $ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
O |
x’ |
|
y |
|
": ) ). |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
% ) |
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" "
. ' ' ' " 6
(a0 = 0).
7 ) ' ( %* ) &
) :
, .
5, %* . * , "
" , ) (a0 = 0).
2 " ' )
' . $ !
%*.
1.6 $) 3.
0 %* ) 3:
.
, ' ,
« » , , |
|||||||||
. ' %* , |
|||||||||
'. |
|
|
|
|
|||||
( |
|
|
|
) |
|
||||
|
|
|
|
|
3 - 3. |
||||
# |
y |
K’ |
y’ |
|
$ |
|
|||
A |
' .. %* - # |
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
#’, " |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r |
|
r’ |
" V , ’ |
||||
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
' '’ . ( " " |
||||
|
|
V t → |
|
x’ |
" |
1.5 |
|||
y |
|
y’ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r’ = r - V t t’ = t. ,
':
v’ = v - v0, " a’ = a. 3,
" :
x′ = x − Vt |
|
|
|
y′ = y |
|
|
& ' ' , |
|
|
z′ = z |
|
|
|
|
|
t′ = t |
|
|
|
, ' %* () - 1 -
' *).
, ' ' %*,
, '. , , , t=0
. #,
' ' . & ' ' . ( "
: ) (
). % , " ' , "
., . " |
tA - |
|||||
|
, " " |
|||||
A |
.. |
( |
||||
? |
t0 |
" |
||||
|
. . |
|||||
|
||||||
tA |
' ' |
|
|
|
||
− |
t = t0 + |
tA/2 , " |
tA = 2 lOA/c . , , |
|||
O |
" |
|||||
tB |
||||||
' ', |
" |
|||||
? |
||||||
|
|
|
|
|||
B |
||||||
|
( ) |
|
'.
,
, ' ' &. ( , v << c ,
) 3 . $ "
+ ", 6 ',
) . %,
- ( x, y, z, t ) - '. -
" , - . /
ct |
ct |
' |
|
, |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
": |
x |
ct. |
|
||
|
|
|
|
|
|
) . % |
|||||
|
|
|
|
|
|
' |
: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
' ( ) |
||||
|
45o |
|
|
|
|
( ), " |
|||||
|
|
|
|
|
|
" " ( ' |
|||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
!). |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
x |
$ |
' - |
||||
|
|
|
|
|
|
" , " |
' .
1.7 +, , II &.
" 1.5 I &. % " , %*
. 0 "
- . $ , ' " ' . +
« » " ,
, " .
, ' '
" - , . ,
" , . 7 '
. + ,
. , ' '
, ' ( ):
m1 |
= |
a2 |
. ( , ' , |
|
m2 |
a1 |
|||
|
|
" . ( " m1a1 = m2a2 = F. * II &:
, m a = F .
. ( -
) p =m v , " a = dv/dt,
ma = mdv = d(mv) = dp = F. p - , dt dt dt
F - ' ( ), ' . *
, ' . ( ) '
*%:
[ m ] = " , [ ] = / 2 , [ F ] = & = " / 2.
, & ) '
' .
1.8 *, III &.
" " " ' . , 2
1 F21, 1 2 F12. (
& ,
, , ,
.
+ " " :
1 |
2 |
F12 + F21 = 0. |
|
|
F21 # , %*. # |
F12 |
|
", ', " ' |
|
. |
( . &
) '
, ", . !
( ) . ( ' :
1)3 ) ( )
2)" ( )
3)5 - ( ;
" )
4)5 - ( ' ) ';
)
& ' " ) (
) " ( ", , #). /
.
.) * " ) " . 0 "
", ' '
' :
m1 |
m2 |
F12 |
F21 |
q1 q2: F = k
F = γ m1m2 ; γ-
r 2
" ) , m1 m2 -
' ,
" ) , ' &.
) # ,
q1q 2 . ,
r 2
( ' ).
0 ' ,
', .
- F = m g, " m - , g - "
.
! - , )
: F = - κ r.
" , "
' " " : F = k N, " k - ) ,
' ', N - "
() ). * F "
. # ", ' , (
) " , " F max = k N. C , " "
( , ' " ): F = - β v, " - ), ' " .
) . & ' '
.
! ' '
1.9 ! ' .
. $ - , II
& : dpdtx = Fx ; dpdty = Fy ; dpdtz = Fz
, ) ( , y) Fy = 0,
py = const. ", '
) py . $ ' )