![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Лекция по теории систем 8
.docЛекция №8. Решение уравнений состояния во временной обдасти
Рассмотрим решение матричного уравнения состояний во временной области:
с вектором началь-ных
условий для переменных состояния
.
Для решения этой
задачи воспользуемся принципом
суперпозиции, позволяющим нало-жить
два решения: общее решение однородного
уравнения и частное решение неоднородного
уравнения:
.
Как и раньше, будем
искать решение однородного уравнения
в виде
,
где С –
вектор произвольных постоянных.
С учетом начальных
условий:
,
- матричная экспонента, которая
определяется разложением в матричный
степенной ряд:
.
Обозначим:
,
тогда
.
Функцию
определяют как фундаментальную
матрицу системы.
Будем искать
решение неоднородного уравнения в виде:
.
Заметим:
.
Поэтому
и,
.
Теперь решение неоднородного уравнения
можно записать так:
,
а полное решение уравнения соответственно
.
Замечание1.
При решении учтено, что
Замечание2. Для
фундаментальной матрицы
легко устанавливаются следующие
свойства:
;
;
.
Подставим найденное решение уравнения динамики в уравнение выхода, получим:
или
Полученное решение определяет решение уравнений состояния (динамики и выхода) во временной области.
Задача 1. Запишите соотношения, связывающие фундаментальную матрицу и весовую функцию исследуемой системы.
Задача 2.
Как представить реакцию системы в виде
интеграла свертки с учетом слагаемого
.
Определение начальных условий при переходе от описания системы в макроподходе к описанию системы в микроподходе
При переходе в микроподход необходимо определить начальные условия для переменных состояния, которые соответствуют начальным условиям, заданным при описании системы линейным дифференциальным уравнением:
.
Мы должны установить однозначное
соответствие между этими начальными
условиями и вектором начальных условий
для переменных состояния (только для
простоты выкладок положим
):
.
Для решения этой
задачи воспользуемся уравнением выхода,
в котором сохраним только общее решение
однородного уравнения и в которое
подставлено решение уравнения состояния
:
.
В этом решении
есть искомый вектор начальных условий
для переменных состояния.
Итак, после
подстановки в уравнение выхода получим:
.
Напомним, что
- есть фундаментальная матрица системы,
задаваемая соотношением:
.
Нам потребуются производные этой матрицы:
;
;
.
Заметим, что при
,
где
E –есть единичная матрица. Поэтому
;
;
.
Если теперь в
решении
последовательно определить производные
и положить
,
то получим:
. (*)
Легко заметить,
что полученная конструкция представляет
собой систему линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) относительно элементов
вектора
.
Таким образом, при поиске начальных условий для вектора переменных состояния по начальным условиям линейного дифференциального уравнения n - порядка необходимо решить СЛАУ вида (*)
Пример. При n=2 имеем:
В скалярной форме система уравнений примет вид: