Числовые последовательности.

Предел числовой последовательности

 

Определение 1. Функция, заданная на множестве натуральных чисел со значениями во множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Определение 1'. Числовой последовательностью   называется занумерованное множество действительных чисел.

a₁, a₂, a₃, ..., a_n...

Определение 2. Число А называется пределом числовой последовательности  , если для любого положительного (>0) существует номер N такой, что при всех номерах n>Nвыполняется неравенство  . Последовательность   называется сходящейся к числу А.

Кратко это можно записать так:

.

Пример. Рассмотрим последовательность  1,  ,  ,  , ...,  ... .

Изобразим ее поведение графически.

 

 

 

 

 

 

 

Из диаграммы видно, что с ростом n члены последовательности стремятся к нулю. Покажем, что предел этой последовательности равен нулю с помощью определения предела.

Возьмем в качестве  число  . Найдем номер N такой, что при всех номерах n>N выполняется неравенство  ,

= ,

,

,

.

В качестве N можно взять следующее за числом   натуральное число. Аналогично можно подобрать номер N для произвольного >0.

Определение 3. Числовая последовательность   имеет предел, равный + (-), если для любого числа G>0 найдется номер N такой, что при всех номерах n>N выполняется неравенство a_n>G (a_n<-G).

Пример.  Рассмотрим последовательность

            1, 3, 9, 27...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмем G=1000,

3ⁿ>1000,

n>log₃1000.

Предел функции

 

Пусть функция   определена в некоторойокрестности точки аR за исключением быть может, самой точки а.

Определение. Число А называется пределом функции   при  , если для любого >0 найдется  такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , будет выполняться неравенство  . Кратко это можно записать так:

.

Выясним, что представляет собой геометрически понятие предела функции. Раскроем знаки модуля в неравенствах из определения предела функции:

,                 ,

,      .

Аналогично  .

Геометрически это означает, что какую бы окрестность точки А на оси ОY мы ни взяли, всегда найдется окрестность точкиа на оси ОХ, которую функция переводит в окрестность оси ОY.

          Y                                                                                     

                                                                                      

        A+                                                                                    

           A                                                                                      

        A-                                                                                     

             0         a-       a     a+              X                                

                                                                                           

Бесконечные пределы. Односторонние пределы

 

Определение 1. Функция y=f(x) имеет предел при , равный + (-), если М>0    такое, что при всех х, удовлетворяющих  , выполняется неравенство f(x)>М (f(x)<-М).

Определение 2. Число А называется пределом функцииy=f(x) при   слева, или левосторонним пределом, если >0   такое, что при всех х, удовлетворяющих условно  , выполняется неравенство |f(x)-А|<.

Определение 3. Число А называется пределом функцииy=f(x) при   справа, или правосторонним пределом, если >0  такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство |f(x)-А|<.

 или    - слева,

 или    - справа.

Функция имеет предел в некоторой точке, равный некоторому значению, тогда и только тогда, когда существуют и равны этому же значению оба односторонних предела.

= =А   =А.

 

Пример.

Найти предел функции   при  .

0,                        +,

                                        

Предела функции при   не существует.

Бесконечно малые и бесконечно большие

функции. Их свойства

 

Определение 1. Функция   называется бесконечно малой (б.м.) функцией при  , если ее предел при  равен нулю.

 <=>    , для всех х, удовлетворяющих неравенству  , будет выполняться неравенство  .

Определение 2. Функция   называется бесконечно большой (б.б.) функцией при  , если ее предел при  равен + (-).

Пример. Функция    при     - б.м., при     - б.б., при   не является ни б.б. ни б.м.

Теорема 1 (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция   имеет предел  , то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при  .

Сравнение бесконечно малых функций

 

Пусть   б.м. функции  при  . Предположим, что существует предел их отношения и он равен l.

.

Тогда если:

1)   l=1, то функции   и   называются эквивалентными б.м.;

2)   l - число, l0, то функции   и   называются б.м. одинакового порядка;

3)  l=0, то функция   называется б.м. более высокого порядка, чем  ;

4)  l= , то функция   называется б.м. более высокого порядка, чем  .

Пример 1.  ,   ,

,

 и   - эквивалентные б.м. функции.

Пример 2.   =х³,

=х,

,

,

 - б.м. функция более высокого порядка, чем  .

Основные теоремы о пределах

 

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с,    докажем, что     .

Возьмем  произвольное >0. В качестве  можно взять любое

положительное число. Тогда при 

.

Теорема 2. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

  и   .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A=  - б.м. при  ,

f(x)-B=  - б.м. при  .

Вычитая эти равенства, получим:

 B-A= - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при  , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций

имеет предел при  , то и алгебраическая сумма имеет предел при  , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть  ,   ,    .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

 где   - б.м. при .

Сложим алгебраически эти  равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= ,

где  б.м. при   .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С= .

Теорема 4. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при  , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 5. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при  ,

причем  , то и их частное имеет предел при  , причем предел частного равен частному пределов.

,   .

Признаки существования предела

 

Теорема 1 (теорема о двух милиционерах). Если функцияy=f(x) в некоторой окрестности точки а заключена между двумя функциями   и  , т.е. выполняется неравенство   х, причем эти функции имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y=f(x) при , равный этому же значению.

,

  =>  .

                                                                                 

Теорема 2.  Если функция y=f(x) монотонно возрастет (убывает) в некоторой окрестности  точки а и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел при .

Замечательные пределы

 

Теорема 1. Предел отношения синуса малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, при стремлении величины дуги к нулю равен единице.

.

Непрерывность функции в точке

 

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀.

Определение 1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого   найдется  такое, что при всехх, удовлетворяющих неравенству  , будет выполняться неравенство

.

Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной на множестве АR, если она непрерывна в каждой точке множества А.

Сравнивая определение 1 с определением предела функции, можно получить, что функция y=f(x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда ее предел при  x  х₀  равен значению функции в этой точке:

.

Определение 3. Приращением аргумента называется разность двух значений переменной х и обозначается х. Приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента, называется разность двух значений функции от соответствующих аргументов и обозначается у:

х=х-х_{0 ,}      у=f(x)-f(x₀).

Из определения 1 следует:

   , для   будет выполняться  , т.е.

.

Таким образом, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

Теорема 2. Предел последовательности   при   равен  .

,       .

Непрерывные проценты

 

            Формула сложных процентов имеет вид

,

где Q – сумма вкладов по истечении n периодов, Q₀ – первоначальный вклад, p – процент начисления за период. (Аналогичные формулы используют в демографических расчетах прироста населения и в экономических прогнозах увеличения валового национального продукта.)

Пусть первоначальный депозит Q₀ помещен в банк подp=100% годовых, через год сумма составит

.

Предположим, что через полгода счет закрыт с результатом

,

и эта сумма вновь помещена в качестве депозита в том же банке. В конце года депозит будет составлять

.

Будем уменьшать срок размещения депозита в банке при условии его последующего размещения после изъятия.

При ежеквартальном повторении этих операций  депозит в конце года составит

.

При ежемесячном повторении этих операций  депозит в конце года составит

.

При ежедневном повторении этих операций  депозит в конце года составит

.

При ежечасном повторении этих операций  депозит в конце года составит

и т. д. Последовательность значений увеличения первоначального вклада

имеет предел при n®¥ , равный е.

Доход, который можно получить при непрерывном использовании процентов на проценты, может составить в год не более чем

.

Если р – процент начисления и год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины

,

где  .

Если ввести новую переменную  , то при n  m.

.

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.

Пример. Темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма Q₀ через полгода?

.

Инфляция уменьшит начальную сумму примерно в шесть раз.