Математика / Теория / 2 предел
.doc
Лекция 2.
Теория предела.
Числовые последовательности.
Опр. Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется числовой последовательностью.
Т. е., если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :
1 2 3 … n … - аргумент
… … - члены последовательности.
- общий член последовательности. Чтобы задать числовую последовательность, необходимо указать формулу ее общего члена. Примеры числовых последовательностей:
: 2, 4, 8, ….., ,…,
: , , , …, , … и т.д.
Предел числовой последовательности.
Рассмотрим числовую последовательность . Изобразим ее на числовой оси.
Очевидно, что члены последовательности убывают по величине, но при этом положительны и не равны нулю. При достаточно больших номерах члены последовательности будут сколь угодно близкими к 0. В этом случае говорят, что 0 является пределом данной числовой последовательности.
Опр. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер N, зависящий от , что для всех членов последовательности с номерами n>N, верно неравенство: .
Если последовательность имеет предел, равный А, то она называется сходящейся к числу А (в противном случае – расходящейся). Кратко это можно записать так: . (Или так: ).
Используя логические символы, определение предела числовой последовательности можно записать так:
.
Смысл определения состоит в том, что при достаточно больших номерах все члены последовательности (начиная с некоторого), будут заключены в - окрестности предельной точки, какой бы узкой она ни была.
Замечание. Числовая последовательность может иметь предел, равный , а может не иметь предела вообще.
Пример. ; .
Предел функции.
Предел функции в точке.
Односторонние пределы.
Пример.
Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .
Опр. 1. Точка А называется пределом функции y=f(x) при , если для любой последовательности точек , сходящейся к , последовательность значений функции сходится к А. В этом случае пишут: =А, или при .
Это определение называют определением предела по Гейне (нем. математик XIX в.)
Замечание. Если точка , то предел , если он существует, равен значению функции в данной точке . (См. рис.1)
Опр. 2. Если при стремлении к x принимает лишь значения, меньшие (большие) , и при этом , то говорят об одностороннем пределе слева (справа ).
Пример.
Утверждение. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела функции в данной точке.
Существует и другое (равносильное) определение предела функции, в котором используется понятие окрестности. Оно называется определением по Коши.
Опр. 3. Число А называется пределом функции y=f(x) при , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для всех x, удовлетворяющих условию , верно неравенство .
В символической форме это определение записывается так:
.
Вопрос. Где здесь окрестности? Раскрыть скобки в неравенствах.
Опр.3 можно также сформулировать в следующем общем виде:
Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут =А, если .
Геометрический смысл данного определения 3 заключается в следующем: какую бы (даже сколь угодно малую) окрестность точки А на оси Оу мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки на оси Ох, являющаяся ее прообразом.
Бесконечные пределы.
Общее определение предела позволяет дать определение и для случаев, когда или А являются несобственными точками, т.е. .
Опр. 4. Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут =А, если:
.
Опр. 5. Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут =А, если:
.
Самостоятельно: сформулировать определение предела при .
Опр.6. Говорят, что функция y=f(x) имеет предел при , равный и пишут , если:
.
Самостоятельно: сформулировать определение предела, равного .
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их связь.
Опр. Функция называется бесконечно малой при функцией, если ее предел при равен нулю:
=0 .
Опр. Функция называется бесконечно большой при функцией, если ее предел при есть несобственное число:
= .
Пример. Функция является: БМ при ; ББ при ; не является ни БМ, ни ББ при .
Теорема 1. (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция
y=f(x) имеет предел , то разность между функцией и значением ее предела есть бесконечно малая при .
Док-во. Имеем:
=А .
Надо доказать, что -А)=0, т.е.
. Очевидно, что это условие выполнено. ▲
Следствие. Если функция y=f(x) имеет предел , то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой при функции : .
Теорема 2 ( о связи БМ и ББ функций). Если есть БМ Ф, и в некоторой окрестности точки , то функция есть ББ Ф. Если есть ББ Ф, то функция есть БМ Ф.
Доказать самостоятельно, используя определение предела.
4. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.
Свойства бесконечно малых функций.
1. Алгебраическая сумма конечного числа БМ Ф есть БМФ при .
2. Произведение БМ Ф на ограниченную в некоторой окрестности точки функцию (в т.ч. на постоянную, на другую БМ) есть БМ Ф.
3. Частное от деления БМ Ф на функцию, предел которой отличен от нуля, есть БМ Ф.
Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух БМ Ф из-за его неопределенности: он может быть равен как конечному числу, так и .
Докажем, например, свойство 1.
Пусть и есть БМ Ф. Докажем, что функция также есть БМ Ф.
По условию для любого , а значит, и для найдутся такие числа и , что :
если , то
(1)
если , то
(2)
Если в качестве взять минимальное из и , т.е. , то для всех х, удовлетворяющих условию будут верны оба неравенства (1) и (2). Складывая их почленно, получим:
.
Используя первое неравенство треугольника, перейдем к более сильному неравенству:
.
Итак, мы нашли , такое, что при всех выполняется неравенство . Это и означает, что функция есть БМ Ф. ▲
Свойства бесконечно больших функций.
1. Произведение ББ Ф на функцию, предел которой отличен от 0, есть ББ Ф.
2. Сумма ББ Ф и ограниченной функции есть ББ Ф.
3. Сумма ББ Ф одного знака есть ББ Ф того же знака.
4. Частное от деления ББ Ф на функцию, имеющую конечный предел, есть ББ Ф.
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть и - БМ Ф. Предположим, что существует предел их отношения, равный некоторому значению А (собств. или несобств.), т.е.
. Тогда если:
А – число, не равное 0 или 1, то функции и называются БМ одинакового порядка.
А=0, то функция называется БМ более высокого порядка малости, чем и обозначают: (о малое).
Пример:
, - БМ при х→0,
А= , то функция называется БМ более высокого порядка малости, чем .
А =1, то функции и называются эквивалентными БМ , обозначается: ~ .
Свойства эквивалентных БМ
1. ~ ↔ ~ (рефлексивность)
2. ~ , ~ ↔ ~ (транзитивность)
3. ~ → эквивалентные БМ отличаются друг от друга на БМ высшего порядка малости.
4. Под знаком предела в отношении или произведении БМ можно заменять эквивалентными БМ. Например,
.
, .
Таблица эквивалентности БМ для
~
~
~
~
~
~
~ lna
ln(1+ )~
~ p
Пример.
.
Замечание. Те же понятия имеют место для ББ величин, только термин «порядок малости» заменяется на термин «порядок роста».