Переводы чисел из одной системы счисления в другую

Разложим числа по степеням основания.

3450₁₀=3*10³+4*10²+5*10¹+0*10⁰

2А31₁₆=2*16³+А*16²+3*16¹+1*16⁰

254₈=2*8²+5*8¹+4*8⁰

Чтобы перевести десятичное число (23) из десятичной системы счисления в двоичную, следует разложить его по степеням основания (2). Для чего следует выполнить деление числа 23 на двойку, полученное частное (если оно больше 2) снова разделить на 2 и так до тех пор, пока не получим частное меньше 2. Последнее частное является старшей цифрой двоичного числа, так как оно показывает, что 2⁴ содержится 1 раз, 2³ не содержится ни разу, 2² содержится один раз и 2¹ тоже один раз.

23. 2

22. 1 1 2

1. 1 0 5 2

4. 2 2

2 1

23₁₀ =10111₂

Проверка

10111₂=1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰=

16+4+2+1=23₁₀

Перевод чисел из двоичной системы в десятичную

11001010001100111₂=1*65536+

1*32768+0*16384+0*8192+1*4096+

0*2048+1*1024+0*512+0*256+0*128+

1*64+1*32+0*16+0*8+1*4+1*2+1*1=

103527₁₀

11001010001100111₂=103527₁₀

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему следует делить на 8.

Задание

1) Запишите год рождения всех членов вашей семьи в различных системах счисления.

2) Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1001111110111011₂;

б) 11101010111011101₂

Перевод дробной части числа из одной системы счисления в другую

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

• Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;

• Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;

• В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;

• Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Требуется перевести дробное десятичное число 15,25 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 1510=11112 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа: .25 • 2 = 0.50 .50 • 2 = 1.00 Получим 15,25₁₀=1111,01₂ 1111,01₂=1*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2

Задание

Переведите в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы следующие числа:

А) 127,125₁₀

Б)34,8₈

С)А4,65₁₆

Дополнительный код

Преобразование числа из прямого кода в дополнительный осуществляется по следующему алгоритму.

Если число, записанное в прямом коде, положительное, то к нему дописывается старший (знаковый) разряд, равный 0, и на этом преобразование заканчивается;

Если число, записанное в прямом коде, отрицательное, то все разряды числа инвертируются, а к результату прибавляется 1. К получившемуся числу дописывается старший (знаковый) разряд, равный 1.

Пример. Преобразуем отрицательное число −5, записанное в прямом коде, в дополнительный. Прямой код числа −5, взятого по модулю:

101

Инвертируем все разряды числа, получая таким образом обратный код:

010

Добавим к результату 1

011

Допишем слева знаковый единичный разряд

1011

Получили дополнительный код числа 101