Основные понятия алгебры логики

План:

1. Высказывание;

2. Конъюнкция (логическое «И») – логическое умножение;

3. Дизъюнкция (логическое «ИЛИ») - логическое сложение

4. Импликация – логическое следование

5. Эквивалентность – логическое равенство

6. Отрицание (НЕ) – инверсия

7. Сложение по модулю 2

8. Основные законы алгебры логики

9. Условные обозначения логических элементов

1. Высказывание

Одним из исходных, неопределяемых понятий математической логики является высказывание.

Высказывание - это повествовательное предложение, относительно которого можно говорить, истинно оно или ложно. Повествовательное предложение можно записать на обычном языке, на специальных языках математики, химии, физики и т. д. Приведем примеры высказываний.

1) 2³=8.

2) Минск - столица Беларуси.

3) Волга впадает в Черное море.

Первые два высказывания являются истинными, а третье - ложным. Подчеркнем, что вопросительные, восклицательные, побудительные предложения, а также определения не являются высказываниями. Более того, не всякое повествовательное предложение является высказыванием. Так, нельзя считать высказыванием следующие предложения.

1) Тюльпаны самые красивые цветы.

2) Студенты-математики - самые трудолюбивые.

3) Х+5>10.

В самом деле, разным людям нравятся разные цветы и именно их они считают самыми красивыми, поэтому не может быть единого мнения о самых красивых цветах. Истинность третьего предложения также нельзя определить, так как неизвестно, о каком Х идет речь. В математической логике интересуются только истинностью или ложностью высказывания, а не его содержанием (смыслом).

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным и не может быть и истинным, и ложным одновременно. Значения, которые могут принимать высказывания,- истина, ложь - обозначают соответственно И, Л или цифрами 1, 0. В англоязычной литературе используются обозначения True - истина, False - ложь.

Сложные высказывания. Из исходных элементарных высказываний с помощью слов "не", "и", "или", "если…, то", "тогда и только тогда, когда..." можно строить сложные высказывания. Приведенные слова называют логическими связками. Другими словами, над элементарными высказываниями можно выполнять логические операции.

2. Конъюнкция (логическое «и») – логическое умножение

Конъюнкцией (conjunctio - соединение, союз, связь) высказываний А и В называется сложное высказывание "А и В", которое истинно тогда и только тогда, когда А и В одновременно истинны.

Операция конъюнкции обозначается: А∩B; А&В; А*В; А and В; А И В.

Таблица истинности А B A  B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Пересечение множеств

А - множество отличников в классе В - множество спортсменов в классе А  В - множество отличников, занимающихся спортом

Пример. А: 2³=8, В: Минск - столица Беларуси. Тогда конъюнкция А∩B истинна, поскольку А и В одновременно истинны.