1. Матрицы. Операции над матрицами.

Матрица – прямоугольная таблица чисел, записанная в m строках и n столбцах. Обозначаются большими латинскими буквами. Две М одинак размера называются равными, если они совпадают поэлементно. Элементы М обозначаются буквой аij , где i - номер строки, а j – номер столбца, в кот наход элемент.

Если m=n, то М наз-ся квадратной. Элементы М аij ,у которых i=j образуют главную диагональ.

Единичная(Е) М – квадратная М, у кот на главн диагонали 1, а остальн элементы 0.

М наз-ся нулевой, если все элем=0.

Операции над М:

умножение М на число – М, кажд элемент которой получен умножением соответств эл М на это число.

сумма М А и В одинаковых размеров – М С тех же размеров, кажд элем которой= сумме соответст элементов М слагаемых.

произведение М А на М В существует, если кол-во столбцов столбцов А = кол-ву строк В.если это условие не выполняется, перемножить их нельзя. Произведение Аmхk и Вkхn – М Сmхn, кажд элем которой = сумме произведений соотв элем строки А и столбца В.

св-ва М:

А + В = В + А

(А + В) + С = А + (В + С)

z(AB) = zAB = AzB

z(A + B) = zA + zB

если произвед АВ сущ-ет, то ВА может и не существовать.

если они и сущ-ют, то м/б М-ми разных размеров

а если и одинак размера (если только М-ы квадратные), то АВ≠ВА

произвд двух ненулевых М может = нулевой М. из этого НЕ следует, что А или В нулевые

возведение в степень. Аm = АхАх…хА m раз

транспонирование М – переход от М А к М Ат , в кот строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Св-ва:

(А^т)^т = А

(zА)^т = z(A)^т

(А + В)^т = А^т + В^т

(АхВ)^т = В^т х А^т

2. Определители, их свойства.

Определитель второго порядка квадратной М А – число = разности произведений элементов стоящих на главн диагонали и элем на побочной диагон

Св-ва:

если в О есть нулевая строка/столбец, О = 0

2 одинаковые строки/столбца, О=0

2 пропорциональные строки/столбца, О=0

общий множитель какой-л строки/столбца О можно выносить за знак О

О не изменится, если его транспонировать

О не изменится, если любую строку/столбец умножить на ненулевое число и сложить с соответств элем другой строки/столбца

если поменять местами 2 строки/столбца, О сменит знак на противоположный

разложение О по строке/столбцу: О n-ного порядка = сумме произведений элементов любой строки/столбца и соответсв им алгебраическ дополнениям

правило вычисления О: если в О в какой-л строке/столбце все элем = 0, кроме одного элем, то О = произвед этого ненулевого элем и своего алгебраич дополнения

3. Миноры и алгебраические дополнения.

Минором Мij к элементу Аij наз-ся определитель (n-1) порядка, полученный из данного определителя путем вычеркивания i-той строки и j-того столбца.

Алгебраическое дополнение (Аij) – минор, взятый со знаком (-1)i+j . Таким образом, если сумма индексов – четное число, то минор = алгебр дополнению. А если сумма индексов нечетное число – отличается от минора знаком.

4. Обратная матрица; существование и единственность. Способы нахождения обратной матрицы.

Обратная М – такая, которая будучи умноженной на –А слева или справа дает единичную.

Если у М есть обратная, то она единственная. Необходимое условие сущ-я обратной М: для того, чтобы сущ-ла единственная обратная М необход и достат, чтобы данная М была невырожденной. Квадратн М наз-ся невырожденной, если определитель этой М ≠0. и вырожденной, если =0.

Нахождение по формуле:

А^-1 = (1/|А| х Ат ), где |А| - определитель исходной М, Ат - транспонированная М, составленная из алгебраич дополнения ко всем элементам исходной М.

Нахождение при помощи элементарных преобразов:

Перечень элемент преоб:

1.перестановка параллельн рядов

2.умножение любого ряда на число ≠0

3.прибавлени к элементам ряда соотв элементов параллельн ряда, умноженных на одно и то же число

4.вычеркивание нулевого ряда

1.(А│Е) элем преоб только со строк(Е│А-1)

2.(А_Е) элем преоб только со столбц(Е_А-1)

Матричное реш сист ур-й: Х=А^-1 В. возможно только если число неизвестных=числу ур-й.