1.В математике для решения разных задач очень часто используют разные функции. А знаете ли вы как их можно задавать и в каких случаях надо использовать тот или иной вид? Для начала рассмотрим определение:

Функция считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно узнать соответствующее её значение.Наиболее употребительны три методы:табличный,графический,аналитический. Далее остановимся более подробно на каждом из них.Табличный способ - общеизвестен (таблицы логарифмов, квадратных корней и т. д.). Он сразу дает числовое значение функции. В этом его преимущество перед другими способами. Недостатки: таблица трудно обозрима в целом; она часто не содержит всех нужных значений аргумента.

Графический способ состоит в построении линии (графика) в разных системах координат, например в Декартовой – абсциссы (по горизонтали) изображают значения аргумента, а ординаты (по вертикали) - соответствующие значения функции. Часто бывает, что функция быстро стремится вверх или вниз, поэтом тогда удобнее масштабы на осях брать разными. Преимущества графического способа — легкость обозрения в целом и непрерывность изменения аргумента; недостатки: ограниченная степень точности и утомительность прочитывания значений функции с максимально возможной точностью.Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами, например,y=f(x). Если зависимость между х и у выражена уравнением, разрешенным относительно у, то величина у называется явной функцией аргумента х, в противном случае — неявной. Преимущество здесь в том, что всегда можно вычислить точно значение для любого аргумента. Недостатки, что по самой формуле сложно понять общее поведение функции. Понятие функци-

Сложная функция. Если функция x=(t) дифференцируема в точке t₀, а функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x₀=(t₀), то сложная функция y=f((t)) дифференцируема в точке t=t₀ и ее производная в этой точке находится по формуле

Док-во:

Т. к. функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x₀, то y=f ‘(x₀)x+(x)x.

2.

3.

Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой.

lim (x->a) f(x) = A (A +/- oo) <=> f(x)=A+alpha(x) - бесконечно малая при x->a

сравнение- Пусть     и     – бесконечно малые функции при   . Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении  x  точке  a  можно использовать предел отношения Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то     и     называются бесконечно малыми одного и того же порядка. Особый интерес представляет частный случай, когда  λ = 1. Тогда говорят, что     и    являются эквивалентными бесконечно малыми при   и записывают это утверждение в виде

  Если  λ = 0, то говорят, что     является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с     при    а функция     имеет меньший порядок малости.  Термин “порядок малости” допускает уточнение, если     и     представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что     является бесконечно малой  n-го порядка по сравнению с   . Например, функция      является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с     при  x → 0. Если  λ = ∞, то бесконечно малые     и     как бы меняются своими ролями. В этом случае функция     является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с     при   . 

4.

5.

6.

7.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке).

Для того чтобы, функция у = f(х), определенная в некоторой окрестности точки а, была непрерывна в точке а, необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и   равные друг другу и значению функции в точке а:

f(a-0)=f(a+0)=f(a).

8. Теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций, о непрерывности сложенных функций.

Теорема:

Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций – непрерывны. Доказательство: Докажем для произведения.

Пусть  . Тогда, по теореме о пределе произведения:

Теорема:Пусть функция   непрерывна в точке  , а функция   непрерывна в точке  . Тогда сложная функция  , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке  .Доказательство:

Т.к.   - непрерывна, то  , т.е. при   имеем  . Поэтом (т.к.   - непрерывна) имеем: 

Непрерывность сложной функции

  Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х₀, а функция f (y) непрерывна в точке у₀ = φ (x₀), тогда сложная функция f(φ(x)) непрерывна в точке х₀.   Доказательство. Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z₀) точки z₀ = f (y₀). Тогда в силу непрерывности функции f (y) найдётся такая окрестность V(y₀) точки у₀, что, если у  V(y₀), то значения функции f (y)   U(z₀). Далее, для полученной окрестности V(y₀) в силу непрерывности функции у = φ (x) в точке х₀ существует такая окрестность W(x₀), что если х   W(x₀), то значения функции у = φ(x)  V(y₀). Следовательно, для произвольной точки х   W(x₀) следует z = f (φ(x))  U(z₀). Что и требовалось доказать.   Это можно записать ещё и так

.

Указанное выше свойство можно сформулировать в виде правила замены переменной: пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х₀, а функция f (y) непрерывна в точке у₀ = φ(x₀), тогда

9.

10.

1) Физический смысл производной.  Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная   – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке .  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная  – скорость в момент времени .  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то   – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени . 2) Геометрический смысл производной.

Пусть   – некоторая кривая,  – точка на кривой  .

Любая прямая, пересекающая   не менее чем в двух точках называется секущей.Касательной к кривой  в точке   называется предельное положение секущей   ,  если точка   стремится к  ,  двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке  существует, то она единственнаяРассмотрим кривую y = f(x)  (т.е. график функции  y = f(x)).  Пусть в точке  он имеет невертикальную касательную  .  Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент  k).

По определению углового коэффициента  , где  – угол наклона прямой   к оси  .

Пусть  – угол наклона секущей к оси ,  где   . Так как   – касательная, то при 

 ⇒   ⇒     .

Следовательно,

Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке).  Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде

 

12.

13.

14.

15. производне элемент.функций

Таблица произво=

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Дифференцирование сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

16.  Дифференциал функции

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства:  где α – бесконечно малая в окрестности   функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x₀ + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить: 

Линейную функцию   называют дифференциалом функции f в точке   и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке   равна 1, то есть   Поэтому пишут: 

Приближенное значение функции вблизи точки   равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: 

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Модель 3.3. Дифференциал функции

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx

Свойства дифференциаловВыражение производной через дифференциалы:  где индекс "х" при y' показывает, что производная берется по аргументу х. В то же время дифференциалы dy и dx можно брать по любому аргументу.Выражение дифференциала через производную:    Используя его, можно записать свойства дифференциалов, используя свойства производной. 1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала: 

2. дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций  3. дифференциал произведения  4. дифференциал дроби (дифференциал частного)  5. дифференциал сложной функции   где d g(x), в свою очередь, можно дифференцировать дальше.