Глава 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Функции нескольких переменных

При изучении различных проблем естествознания приходится рассматривать переменные величины, зависящие от многих других переменных величин. Для исследования такого рода зависимостей используются функции нескольких переменных.

1.1. Область определения функции нескольких переменных. Частное и полное приращение

Переменная величина z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре допустимых значений х и у соответствует единственное значение z.

Обозначения функции двух переменных: z=f(x, y), , z=F(x, y), z=z(x, y) и т.п.

Значение функции z=f(x, y) при х=а и y=b обозначается f(a, b).

Совокупность значений х, у называют точкой М(х, у), а функцию двух переменных – функцией точки и пишут z=f(M).

Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в пространстве.

Частные приращения функции z=f(x, y) определяются формулами:

а полное приращение – формулой

.

Линией уровня функции z=f(x, y) называется геометрическое место точек плоскости Оху, в которых данная функция принимает одно и то же значение, т.е.

f(x, y)=C. (1.1)

Переменная величина u называется функцией трёх переменных величин x, y, z, если каждой тройке значений x, y, z соответствует единственное значение u.

Аналогично определяется функция n переменных .

Множество всех точек, в которых определена функция n переменных, называется областью определения функции.

1.2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность

Число а называется пределом функции z=f(x, y) в точке , если при любом существует , такое, что для всех точек М(х, у), отстоящих от меньше, чем на , выполняется неравенство

.

Обозначения предела функции:

, .

Для того чтобы функция f(M) имела предел в точке , необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности точек имеющей пределом , существовал предел , причём значение должно быть одно и то же для всех последовательностей, сходящихся к .

Аналогично определяется предел функции трёх и более переменных.

Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке , если выполняется равенство

,

которое можно переписать так:

или

,

где - расстояние между точками и .

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в данной области.

Если в некоторой точке N(x, y) не выполняется условие непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции z=f(x, y).

Нарушение условий непрерывности функции z=f(x, y) может происходить как в отдельных точках, так и в точках, образующих некоторую линию (линия разрыва).

2. Производные и дифференциалы

Здесь рассматриваются частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных, которые имеют разнообразные применения. В частности, полный дифференциал используется в приближённых вычислениях.