Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1266 вузов, 4641 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
Инженерная графика
Файл:

2 семестр / Книги / Поверхности и развертки. Пересечение поверхностей

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
16.07.2023
Размер:
4.17 Mб
Скачать
☆

21

Алгоритм построения недостающей проекции линии

1.Выделяем на заданной проекции линии характерные и промежуточные точки. Среди характерных выделяем очевидные.

2.Строим проекции очевидных точек.

3. При помощи линий каркаса строим недостающие проекции выделенных точек.

4. Определяем видимость линии на всех изображениях.

5. Соединяем полученные проекции точек в логической последовательности (так, как они соединены на заданном виде). Третья проекция линии строится по координатам относительной системы координат (ОСК).

2.ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ

Впрактике часто приходится иметь дело с геометрическими телами, усеченными плоскостями.

Рассмотрим геометрические тела, ограниченные боковой поверхностью и плоскостями (основаниями), занимающими частное положение

–проецирующее и уровня.

2.1. Построение сечений гранных поверхностей

Грани поверхностей являются плоскими многоугольниками, поэтому они будут пересекаться с заданной плоскостью по прямым. В этом случае линией пересечения является ломаная линия.

Различают два способа построения сечения гранных поверхностей плоскостью: способ граней – строятся линии пересечения каждой грани с секущей плоскостью, т.е. определяются стороны многоугольника сечения, способ ребер – строятся точки пересечения ребер гранной поверхности с секущей плоскостью, т.е. определяются вершины многоугольника сечения.

а) Сечение призмы. Рассмотрим случай сечения прямой трехгранной призмы фронтально проецирующей плоскостью Q(Q F). Призма, изображѐнная на рис. 2.1, занимает горизонтально-проецирующее положение.

Линией сечения является ломаная линия – треугольник. Фронтальная проекция линии сечения совпадает с проекцией плоскости Q(Q"), горизонтальная проекция – с горизонтальной проекцией призмы. Выделим характерные точки линии пересечения {1'', 2'', 3''}.

22

Затем определим истинную величину верхнего основания призмы способом замены плоскостей проекций.

б) Сечение пирамиды. Рассмотрим случай сечения трехгранной пирамиды фронтально проецирующей плоскостью R(R F) (рис. 2.2).

Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией плоскости R(R"). Горизонтальную проекцию линии пересечения (точки 1', 2', 3') строим по линиям проекционной связи из условия принадлежности этих точек ребрам пирамиды.

 

 

 

 

z''

 

 

 

 

 

 

 

A

3''

 

 

 

 

 

 

 

 

2''

 

A

 

 

Q''

 

1''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3'A

 

 

 

 

 

 

 

 

z'A

x''

 

 

 

0''=y''

 

 

 

1'

 

 

1'A

 

 

 

 

 

 

0'=z'

 

 

 

x'

 

 

 

3'

x'A

 

 

 

 

 

 

 

y'

 

 

 

 

 

 

 

y'A

2'A

 

y'A

 

 

 

 

2'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1. Сечение призмы

 

 

 

 

 

A S''

z''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2''

3''

 

 

 

 

R''

1''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

x''

 

 

 

0'=z'0''=y''

 

 

 

 

 

 

 

z'A

x'

1'

 

3'

y'A 1'A

3'A

 

 

 

y'

 

 

 

 

 

 

x'A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2'A

y'A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2. Сечение пирамиды

 

 

23

2.2. Построение сечений поверхностей вращения

i''

Пц''

Q1''

Пц'

i'

Рис. 2.3. Сечение цилиндра – окружность

цилиндра [3, 4] (рис. 2.4).

а)

Сечения

цилиндрической

поверхности.

При

пересечении

цилиндрической поверхности плоскостями могут быть получены следующие линии:

1) Окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к оси вращения

Q1 i

(на чертеже

 

i

 

), Q1

– горизон-

Q1

 

тальная плоскость уровня (рис. 2.3).

2) Эллипс, если секущая плоскость не параллельна и не перпендикулярна к оси вращения. Q2 – фронтально проецирующая плоскость, поэтому фронтальная проекция линии пересечения Q2 с поверхностью цилиндра совпадает с фронтальной проекцией плоскости Q2'' и проецируется в отрезок прямой [1",2"], а на горизонтальную плоскость проекций проецируется в окружность, совпадающую с проекцией цилиндрической поверхности. Определяем истинную величину эллипса способом замены плоскостей проекций. Малая ось эллипса равна диаметру

24

 

A z''

 

 

z'''

 

 

 

i''

2''

 

i''' 2'''

Эллипс

 

3''=4''

 

 

 

3'''

 

 

 

 

4'''

 

 

Q '' 1''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1'''

 

 

x''

 

Пц''

 

 

y'''

 

0''

 

 

0'''

 

 

y'A

 

 

 

 

 

Пц'

 

 

 

A

 

 

 

4'

 

 

 

 

 

 

 

4'A

 

 

1'

 

2'

 

2'A

 

 

 

 

z'A

x'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3'

i'=0'=z'

1'A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'

 

x'A

 

3'A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'A

 

 

Рис. 2.4. Сечение цилиндра – эллипс

 

 

3)

Две образующие (прямые), если секущая плоскость параллельна

оси вращения Q3 ll i, Q3 ll F,

Q3 ∩ Пц = l1, l2

(рис. 2.5).

 

б) Сечения конуса. При пересечении конуса плоскостью могут быть

получены следующие линии:

 

 

 

1)

Окружность

(параллель),

если

секущая

плоскость

перпендикулярна к оси вращения конуса: R1

i , R1 ll H (рис. 2.6).

25

Рис. 2.5. Сечение цилиндра –

Рис. 2.6. Сечение конуса–

прямоугольник

окружность

2)Эллипс, если секущая плоскость не параллельна и не перпендикулярна оси конуса, а также не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса, т. е. пересекает все образующие.

Плоскость R2'' − фронтально проецирующая, линия [1", 2"] – большая ось эллипса, линия [3', 4'] – малая ось эллипса (рис. 2.7). На этом же рисунке показана истинная величина сечения на дополнительном виде A.

3)Парабола, если секущая плоскость параллельна только одной

образующей поверхности конуса, R3 ll li, или, иными словами, плоскость пересекает эту образующую в бесконечно удаленной (несобственной) точке. Когда секущая плоскость пройдет через вершину S, парабола выродится в прямую (рис. 2.8).

26

Рис. 2.7. Сечение конуса –

Рис. 2.8. Сечение конуса –

эллипс

парабола

4)Гипербола, если секущая плоскость параллельна двум

образующим конуса, R4 || {l1, l2}. В частном случае секущая плоскость может быть параллельна оси конуса, тогда гипербола имеет две

бесконечно удаленные точки пересечения образующих l1 и l2 с плоскостью R4 (рис. 2.9).

5)В предельном случае, когда секущая плоскость пройдет через вершину S конуса, гипербола выродится в две прямые (образующие конуса l1 и l2) (рис. 2.10).

Рис. 2.9. Сечение конуса –

Рис. 2.10. Сечение конуса –

гипербола

прямые образующие линии

27

в) Сечения сферы. В пространстве линией пересечения сферы с плоскостью всегда будет окружность. Если секущая плоскость занимает положение плоскости уровня, то на параллельную ей плоскость проекций эта окружность сечения будет проецироваться без искажения, а на

перпендикулярную ей плоскость проекций –

в отрезок прямой, равный

по длине диаметру окружности. На рисунке

2.11, а показана

го-

ризонтальная плоскость уровня Т1. Линия пересечения проецируется на горизонтальную плоскость проекций Н без искажения – в окружность (параллель) р', а на фронтальную плоскость проекций F – в отрезок прямой [1", 2"], равный диаметру окружности р.

а

б

Рис. 2.11. Сечения сферы:

а – Т1 || H;

б – Т2 F

Если секущая плоскость Т2 занимает фронтально-проецирующее положение, то на фронтальную плоскость проекций F линия сечения (окружность) будет проецироваться в отрезок прямой [1", 2"], равный по длине диаметру окружности, а на горизонтальную плоскость проекций – в эллипс, большая ось которого равна диаметру окружности сечения (рис.

2.11, б).

г) Сечения открытого тора. В зависимости от положения секущей плоскости на поверхности открытого тора получаются разные линии, которые объединены общим названием «Кривые Персея» (рис. 2.12).

Если секущая плоскость R1 проходит через ось вращения тора, то в сечении получаются две окружности. Если секущая плоскость R2 касается горла тора (Pmin), то в сечении получается лемниската Бернулли (от

28

латинского слова lemniskata – «лента»). Когда секущая плоскость касается криволинейной оси тора, то получается в сечении овал Кассини. При снижении секущей плоскости вдоль координатной оси получаются овалы.

p''min

i''

l''

pmax''

 

 

pmin'

 

 

l'

 

 

 

 

R1'

 

i'

 

 

R2'

 

 

 

 

R3' 1'6'

2'

7' 3'

4'

8'5'

R4'

9'

10'

11'

 

 

 

 

pmax'

 

 

 

Окружность l (R1)

2''

4''

Лемниската

3''

 

Бернулли (R2)

1''

 

5''

7''

 

Овал Кассини (R3)

 

 

6''

 

8''

10''

 

Oвал (R4)

9''

11''

Рис. 2.12. Сечения открытого тора

29

3. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Развертка поверхности представляет собой плоскую фигуру, которая получается путем совмещения данной поверхности с плоскостью. Каждой точке на поверхности соответствует вполне определенная и единственная точка на развертке и наоборот. Теоретическая развертка не учитывает толщины поверхности.

На чертежах приходится выполнять построение разверток поверхностей деталей, усеченных плоскостями. Это необходимо для раскроя листового материала, из которого изготавливаются детали. К таким деталям относятся части водоводов, вентиляционных устройств и т.д.

Поверхности, которые могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок называются развертывающимися. Поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью, относятся к

неразвертывающимся.

К группе развертывающихся поверхностей относятся только линейчатые поверхности.

Для неразвертывающихся поверхностей строят приближенные развертки, аппроксимируя их (заменяя) несколькими развертываемыми поверхностями (цилиндрическими или коническими) (рис. 3.1). Точность выполнения приближенной развертки зависит от количества развертываемых поверхностей, которыми заменяют неразвертываемую поверхность.

 

 

i K4

 

 

 

K3

 

 

 

K2

 

 

 

K1

 

 

 

Ц2

 

 

 

Ц1

 

K2

K4

K3

K1

 

 

 

 

i

 

Ц2

Ц1

Рис. 3.1. Развертка поверхности самопересекающегося тора

30

3.1. Построение развертки поверхности призмы

Призма ограничивается боковой поверхностью (боковыми гранями) и плоскостями верхнего и нижнего основания (рис.3.2). Боковые грани являются горизонтально проецирующими плоскостями, плоскость верхнего основания – фронтально проецирующая, нижнего – горизонтальная плоскость уровня. Развертка поверхности состоит из развертки боковой поверхности и оснований призмы.

Для построения развертки боковой поверхности призмы необходимо:

1) совместить все грани призмы с плоскостью чертежа. Для этого мысленно разрежем боковую поверхность призмы по ребру [11,1], и будем последовательно совмещать с плоскостью развертки боковые грани

призмы (рис. 3.2, а);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

определить

истинную величину верхнего

основания призмы

{1, 2,

3} (построить дополнительный вид

по

направлению А

перпендикулярному верхнему основанию).

 

 

 

 

3)

к развертке боковой поверхности призмы пристроить еѐ верхнее

основание, взятое с

 

дополнительного вида А

и нижнее основание

(рис. 3.2, б).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 3.2. Развертка усеченной призмы

Соседние файлы в папке Книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности