5. Частные производные и дифференцируемость |
31 |
Дифференциал функции многих переменных
Пусть функция u = f (x1, ... , xm) дифференцируема в точке M. Тогда ее приращение в этой точке можно представить в виде
u = |
∂u |
(M)Δx1 |
+ ... + |
∂u |
(M) |
xm + |
|
|
|
|
|||||
∂x1 |
∂xm |
|
|||||
|
|
|
|
|
+ (α1 |
x1 + ... + αm |
xm) , |
где αi → 0 при { x1 → 0, ... , |
xm → 0}, αi = 0 при |
x1 = ... = |
=xm = 0, i = 1, ... , m.
Обе суммы, заключенные |
в |
круглые скобки в пра- |
|||
вой части |
равенства, |
являются |
бесконечно |
малыми при |
|
{ x1 → 0, ... , xm → 0}. |
При |
этом первая сумма является |
|||
линейной |
относительно |
x1, ... , |
xm частью |
приращения |
функции, а вторая сумма — бесконечно малой более высокого
порядка, чем линейная часть, при { x1 → 0, ... , xm → 0} . Определение. Дифференциалом (первым дифференциалом)
функции u = f(M) в точке M называется линейная относительно x1, ... , xm часть приращения функции в точке M:
du = |
∂u |
(M)Δx1 + ... + |
∂u |
(M) xm. |
|
|
|||
|
∂x1 |
∂xm |
Дифференциалом независимой переменной xi будем называть приращение этой переменной:
dxi = xi, i = 1, 2, ... , m.
Выражение для дифференциала функции в точке M запишется теперь так:
|
|
|
|
|
j |
||
du = |
∂u |
(M)dx1 + ... + |
∂u |
(M)dxm = |
m |
∂u |
(M)dxj. (9.13) |
|
∂x1 |
∂xm |
=1 |
∂xj |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 4 (об инвариантности формы первого дифференциала). Формула (9.13) остается в силе, если x1, ... , xm яв-
ляются не независимыми переменными, а дифференцируемыми функциями каких-то независимых переменных. Доказательство. Пусть u = f(x1, ... , xm) — дифференцируемая функция, а xj = ϕj(t1, ... , tk) — дифференцируемые функции
32 Гл. 9. Функции многих переменных
независимых переменных t1, ... , tk (j = 1, ... , m). Тогда, используя формулу (9.12), можно записать цепочку равенств:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||||
k |
∂u |
|
|
|
k |
m ∂u ∂xj |
|
m |
|
∂u |
k |
∂xj |
|
||||||||
du = i=1 |
∂ti |
dti = i=1 |
j=1 |
∂xj |
∂ti |
dti = j=1 |
∂xj |
i=1 |
∂ti |
dti = |
|||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂xj |
|
|
∂xj |
|
|
∂u |
|
|
|
||||||||
= j=1 |
|
|
|
|
|
dt1 |
+ ... + |
|
dtk |
= j=1 |
|
dxj. |
|
|
|||||||
|
∂xj |
∂t1 |
∂tk |
∂xj |
|
|
Первое равенство в этой цепочке написано в соответствии с определением дифференциала функции, во втором равенстве используется формула (9.12), третье равенство получено путем изменения порядка суммирования и, наконец, в последнем равенстве использовано то, что дифференциал функции xj = ϕj(t1, ... , tk) выражается (согласно определению дифференциала функции) формулой
dxj = |
∂xj |
dt1 + ... + |
∂xj |
dtk. |
||||
|
∂t1 |
∂tk |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
|
|
|
j |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
du = |
m |
∂u |
dxj, |
(9.14) |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
=1 |
∂xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть формула (9.13) имеет место и в том случае, когда x1, ...
... , xm — дифференцируемые функции каких-либо независимых переменных. Лемма 5 доказана.
Замечание. Отличие формулы (9.14) от формулы (9.13) состоит в том, что в формуле (9.13) dxj = xj — приращение переменной xj, а в формуле (9.14) dxj — дифференциал функции xj = ϕj(t1, ... , tk), поэтому, здесь, вообще говоря, dxj = xj. Таким образом, формула (9.14) показывает, что сохраняется форма (вид) выражения для дифференциала функции, а содержание
(наполнение) этой формулы изменяется. Пример. Пусть u = xy. Тогда
du = y · xy−1 · dx + xy · ln x · dy —
дифференциал данной функции в точке (x, y). В точке (1, 1) du = = dx; в точке (1, 0) du = 0 (отметим, что это не число, а функция аргументов dx и dy, равная тождественно нулю).
6. Геометрический смысл дифференцируемости функции |
33 |
Правила дифференцирования
Пусть u и v — дифференцируемые функции аргументов x1, ...
... , xm. Тогда:
1. |
d(cu) = c du (c = const), |
||||
2. |
d(u ± v) = du ± dv, |
||||
3. |
d(uv) = v du + u dv, |
||||
4. |
d |
u |
= |
v du − u dv |
(v = 0). |
|
v |
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
||
Докажем, |
например, |
формулу 4. |
Введем функцию w = |
, |
|||||||||||||
v |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
она является сложной функцией аргументов x1, ... , xm. В силу |
|||||||||||||||||
леммы 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw = |
∂w |
|
du + |
∂w |
|
dv = |
1 |
du |
|
u |
dv = |
vdu − udv |
, |
|
|||
∂u · |
|
|
− v2 |
|
|||||||||||||
|
|
∂v |
· |
|
v |
|
v2 |
|
что и требовалось доказать.
§ 6. Геометрический смысл дифференцируемости функции
I. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Напомним, что для функции одной переменной y = f(x) из дифференцируемости в точке x0 следует существование касательной к графику функции в точке (x0, f(x0)).
Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y), (x, y)D. Ее графиком является поверхность
S= {N (x, y, f(x, y)) , (x, y) D}
впрямоугольной системе координат Oxyz (рис. 9.10). Пусть
N0(x0, y0, z0) S, z0 = f(x0, y0). Проведем через точку N0 плоскость P . Пусть N(x, y, z) — произвольная точка на поверхности
S, z = f(x, y); NN1 P , N1 P .
Определение. Плоскость P , проходящая через точку N0 поверхности S, называется касательной плоскостью к поверхности S в этой точке, если при N → N0 (N S) расстояние ρ (N, N1) является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем ρ (N, N0), то есть
lim ρ (N, N1) = 0.
N→N0 ρ (N, N0)
(N S)
2 В.Ф. Бутузов
34 |
Гл. 9. Функции многих переменных |
|
Рис. 9.10. |
Так как ρ (N, N1) = sin NN0N1, то из написанного предель-
ρ (N, N0)
ного равенства следует, что NN0N1 → 0 при N → N0. Теорема 17. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в
точке M0(x0, y0), то в точке N0(x0, y0, z0), где z0 = f(x0, y0), существует касательная плоскость к графику этой функции.
Доказательство. Пусть N(x, y, z) S, z = f(x, y). Положим x −
− x0 = x, y − y0 = y, z − z0 = f(x, y) − f(x0, y0) = z. Так как функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M0, то ее
приращение |
z можно представить в виде |
||||||||||
|
|
|
z = |
∂z |
(M ) x + |
∂z |
(M ) y + o(ρ), |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∂x |
0 |
∂y |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
где ρ = ρ(M, M ) = |
(Δx)2 + (Δy)2 . Введем обозначения: |
||||||||||
|
∂z |
|
∂z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M0) = A, |
|
(M0) = B и перепишем условие дифференциру- |
|||||||
∂x |
∂y |
||||||||||
емости в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − z0 = A(x − x0) + B(y − y0) + o(ρ).
Рассмотрим плоскость P , заданную уравнением
Z− z0 = A(x − x0) + B(y − y0),
идокажем, что она является касательной плоскостью к поверхности S в точке N0(x0, y0, z0).
6. Геометрический смысл дифференцируемости функции |
35 |
Плоскость P проходит через точку N0(x0, y0, z0) и имеет вектор нормали n = {A, B, −1}. Нам надо доказать, что
ρ(N, N1) → 0 при N → N0 (N S), где NN1 P , N1 P.
ρ(N, N0)
Пусть N2 — точка пересечения прямой NM с плоскостью P .
Точка N2 имеет координаты (x, y, Z = z0 + A(x − x0) + B(y − y0)), поэтому ρ(N, N2) = |z − Z| = o(ρ). Так как ρ(N, N1) ρ(N, N2) (перпендикуляр меньше наклонной), а ρ(N, N0) ρ(M, M0) = ρ,
то
|
ρ (N, N1) |
|
|
ρ (N, N2) |
|
= |
o(ρ) |
→ 0 при N → N0, |
||
|
ρ (N, N0) |
ρ (M, M0) |
|
ρ |
||||||
|
|
|
|
ρ (N, N1) |
|
|
|
|||
и, следовательно, |
|
|
→ 0 при |
N → N0 (N S). Теорема |
||||||
|
ρ (N, N0) |
|||||||||
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, плоскость, заданная уравнением
Z − z0 = ∂x∂z (M0)(x − x0) + ∂y∂z (M0)(y − y0),
является касательной плоскостью к поверхности S (графику
фукнции z = f(x, y)) в точке N0(x0, y0, z0). |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вектор |
|
n = |
∂z |
(M0), |
∂z |
(M0), −1 |
называется |
вектором |
||||||||
|
∂x |
∂y |
||||||||||||||
нормали к поверхности |
S |
в точке |
x |
, y , z |
). |
|
|
|
|
|||||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
N0( 0 |
0 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
уравнением z = x2 + y2 |
|
|
||||||||
1. Пусть поверхность S задана |
(это |
|||||||||||||||
параболоид вращения). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда точка |
N0(1, 2, 5) S; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M0(1, 2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂z (M ) = 2, |
∂z (M ) = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂x |
0 |
|
∂y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение касательной плоскости к |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
данной поверхности в точке N0: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Z − 5 = 2(x − 1) + 4(y − 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. Пусть поверхность S задана урав- |
|
Рис. 9.11. |
|
|
||||||||||||
нением z = |
x2 + y2 (это кониче- |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ская |
поверхность, рис. 9.11). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке |
(0, 0) |
функция не |
дифференцируема, |
и в |
точке |
O(0, 0, 0) касательная плоскость к поверхности S не существует.
2*
36 Гл. 9. Функции многих переменных
|
Возьмем точку N0(0, 1, 1) S. Так как |
∂z |
(0, 1) = 0, |
|
∂z |
∂x |
|||
(0, 1) = 1, то уравнение касательной плоскости к поверхности |
||||
∂y |
||||
|
|
|
S в точке N0 имеет вид Z − 1 = y − 1 или Z = y. Эта плоскость содержит образующую конуса.
II. Производная по направлению и градиент
Частная производная ∂u∂x характеризует скорость изменения
функции по направлению оси Ox. Скорость изменения функции по произвольному направлению характеризуется производной по этому направлению.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
функция |
u = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= f(x, y, z) = f(M) |
опре- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
делена в окрестности точ- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ки M0 R3. Проведем че- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рез точку M0 какую-нибудь |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
прямую L и выберем на ней |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
одно |
из |
|
двух возможных |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
направлений, оно характе- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ризуется единичным векто- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.12. |
|
|
|
|
|
|
|
ром |
l (рис. 9.12). Пусть |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M — |
произвольная |
точка |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
из указанной окрестности, |
|||||||||
лежащая на прямой L. Через M0M обозначим величину направ- |
|||||||||||||||||
−−−0 → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ленного отрезка M M, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M0M = −−−0 → |
|
|
|
|
−−−0 → ↑↑ |
|
|
|
|
||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↑↓ |
|
|
|
||
|
M M |
|
, |
|
если M M |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−−0 → |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−−−0 → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M M |
|
, |
если M |
M |
|
|
l. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f(M) |
− |
f(M0) |
|
|
||||||
Определение. Если существует |
|
lim |
|
|
|
|
|
, то он на- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M→M0 |
M0M |
|
|
|
(M L)
зывается производной функции u = f(M) в точке M0 по направ-
лению l и обозначается |
∂u |
(M ) |
или |
u→− (M ) |
. |
|
|||
|
|
||||||||
−→ |
|
|
|
|
|
||||
|
∂l |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
l |
по направлению и част- |
|||||
Установим связь между производной |
|||||||||
ными производными функции в данной точке M0. |
|
||||||||
Пусть M (x , y , z ), M(x, y, z) L, |
l = |
|
|
cos α, cos β, cos γ , |
|||||
0 0 0 0 |
|
|
|
→− |
{ |
|
} |
||
|
|
|
|
|
M0M = t. Тогда x = x0 + t cos α, y = y0 + t cos β, z = z0 + t cos γ,
(−∞ < t < ∞) — параметрические уравнения прямой L.
6. Геометрический смысл дифференцируемости функции |
37 |
На прямой L:
u= f(M) = f(x, y, z) =
=f(x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) =: ϕ(t) —
сложная функция одной переменной t, в частности f(M0) = ϕ(0). Поэтому
∂u |
(M0) = |
lim |
f(M) − f(M0) |
= lim |
ϕ(t) − ϕ(0) |
= |
dϕ |
(0), |
|
∂l |
dt |
||||||||
|
M→M0 |
M0M |
t→0 |
t |
|
|
если этот предел существует.
Если функция u = f(x, y, z) дифференцируема в точке M0, то по правилу дифференцирования сложной функции получаем:
|
|
|
dϕ |
(0) = |
∂u |
(M ) |
dx |
(0) + |
∂u |
(M ) |
dy |
(0) + |
∂u |
(M ) |
dz |
(0), |
||||||||||||
|
|
|
dt |
∂x |
|
∂y |
dt |
∂z |
dt |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 dt |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||||||||||||
а поскольку для любого t, в том числе и для t = 0, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
= cos α, |
|
dy |
|
= cos β, |
dz |
|
= cos γ, |
то |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂u |
(M ) = |
∂u |
(M ) cos α + |
∂u |
(M ) cos β + |
∂u |
(M ) cos γ. (9.15) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∂l |
0 |
∂x |
0 |
|
|
|
|
∂y |
0 |
|
|
|
|
∂z |
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (9.15) имеет простой физический смысл: она показывает, что если функция u = f(M) дифференцируема в точке
M0, то в этой точке скорость изменения функции по заданно-
→−
му направлению l является линейной комбинацией скоростей изменения этой функции по направлениям координатных осей
(то есть линейной комбинацией частных производных ∂u∂x, ∂u∂y
и |
∂u |
), причем коэффициентами этой линейной комбинации вы- |
||||||
|
||||||||
|
∂z |
|
|
|
|
|
→− |
|
ступают координаты |
cos α |
, |
cos β |
, |
cos γ |
|||
|
|
|
единичного вектора l , |
задающего направление; эти коэффициенты являются весовыми множителями, показывающими, какую долю вносит каждая частная производная в производную (скорость) по направлению
|
{ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
{ |
|
|
} |
|
l = |
cos α, |
cos β |
, |
cos γ |
. В частности, если |
l |
= |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1, 0, 0 , то есть |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
→− |
совпадает с направлением оси |
Ox |
, то из формулы |
||||||||||
направление l |
|
|
||||||||||||||
(9.15), как и следует ожидать, получаем |
∂u |
(M ) = |
∂u |
(M ). |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂l |
0 |
|
|
|
∂x |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
Гл. 9. Функции многих переменных |
Определение. Градиентом дифференцируемой функции u = = f(x, y, z) в точке M0 называется вектор
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
grad u(M0) = |
|
|
|
(M0) · i + |
|
|
(M0) · j + |
|
|
(M0) · k, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где i, j, k — единичные векторы осей координат. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Правую часть формулы (9.15) можно теперь записать в виде |
||||||||||||||||||||||||
скалярного произведения векторов |
grad u(M0) |
|
→− |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
l : |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
(M ) = |
|
|
|
|
|
|
l |
, |
|
(9.16) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
grad u(M0) · →− |
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(M ) = grad u |
|
|
|
|
l |
|
|
cos ϕ = |
|
grad u |
|
cos ϕ = |
Пр |
grad u(M0) |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
| · |
−→ |
· |
| |
| · |
|
|
||||||||||||||||||
|
∂l |
ϕ |
0 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
(9.17) |
||||||||||
где |
|
— угол |
|
|
|
|
|
|
|
векторами |
|
grad u(M0) |
|
и |
→− |
(рис. 9.13), |
|||||||||||
|
|
между |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
Пр grad u(M0) — проекция вектора grad u(M0) на направление |
|||||
|
l |
|
|
|
|
l . |
|
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (9.17) получаем: |
||
|
|
|
∂u |
(M0) max = |grad u(M0)| |
|
|
|
∂l |
|||
|
|
(при ϕ = 0), Таким |
образом, |
||
|
|
вектор grad u в точке |
M0 по- |
||
|
Рис. 9.13. |
казывает направление наиболь- |
шего роста функции u = f(M) в этой точке, а |grad u| есть скорость роста функции u = f(M) в точке M0 в этом направлении.
Отсюда следует, что вектор grad u однозначно определяется самой функцией u = f(M) и не зависит от выбора системы
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл градиента |
|
||||||
Поверхность S, |
определяемая |
уравнением f(x, y, z) = |
||||||
= c = const, |
называется |
поверхностью уровня |
функции |
|||||
u = f(x, y, z). |
Можно |
доказать, |
что |
вектор grad u |
в точке |
|||
M0 поверхности уровня S коллинеарен вектору нормали к |
||||||||
поверхности S в этой точке. Покажем это на примере. |
|
|||||||
Пример. u = x2 + y2 + z2. |
|
|
|
|
|
|
||
S : x2 + y2 + z2 = c > 0 |
— |
поверхностью уровня данной |
||||||
функции является сфера радиуса |
√ |
|
. |
|
|
|||
c |
|
|
|
|
|
6. Геометрический смысл дифференцируемости функции |
39 |
|||||||||||||||||||
|
Пусть |
|
|
c |
= |
|
14. |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
||||||||
M(1, 2, 3) |
S. |
|
|
В |
|
точке |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|||||||||
grad u = |
{2, 4, 6}. |
|
Убедимся |
|
в |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
том, |
что |
grad u(M) |
|
n , |
|
где |
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| −→ |
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
||
— вектор нормали к поверхности |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
S |
в |
точке |
|
M. |
|
В |
самом |
|
деле, |
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
r |
|
= |
{ |
1, 2, 3 |
} |
|
(рис. |
|
|
9.14), |
|
|
|
|
|
|||||||
−→ |
|| →− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 r , |
|
|
|
|
|
||||||
а |
так |
как |
grad u(M) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
то |
|
|
grad u(M) |
|
|
r , |
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
поэтому |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|| −→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad u(M) || −→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Физические примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.14. |
|
|||||||||||
|
Электростатическое поле, то |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
есть электрическое поле неподвижных зарядов, можно описать с |
|||||||||||||||||||||||
помощью скалярной функции u(M) — потенциала электриче- |
|||||||||||||||||||||||
ского поля. Поверхности уровня u(M) = c — эквипотенциаль- |
|||||||||||||||||||||||
ные поверхности. Напряженность электрического поля выража- |
|||||||||||||||||||||||
ется формулой |
|
|
|
|
E = |
|
|
grad u(M). |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В частности, потенциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
электростатического |
|
поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
точечного заряда e, поме- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
щенного в начало коорди- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
нат, имеет вид u(M) = k e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где M — точка с коорди- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
натами (x, y, z) (рис. 9.15), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
r = |
|
x2 + y2 + z2 , |
посто- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
янная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k зависит от выбора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
системы единиц. Для на- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
пряженности электрическо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.15. |
|
|||||||||||||
го поля получаем выраже- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ние: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E (M) = |
− |
grad u(M) = |
ke |
|
∂r |
∂r |
∂r |
|
||||||||||||
|
|
|
|
r2 |
∂xi + ∂y j + ∂z k = |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ke |
|
x |
y |
|
|
|
|
z |
|
ke |
· r, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= r2 |
r i + r |
j + r |
k = r3 |
|
|
|
|
|
где r = xi |
+ yj |
+ zk. |
Поле тяготения точечной массы m, находящейся в начале
координат, описывается ньютоновым потенциалом u(M) = γ
m
r
40 |
Гл. 9. Функции многих переменных |
→−
(γ — гравитационная постоянная). Сила F (M), с которой масса m притягивает единичную массу, помещенную в точку M(x, y, z), выражается формулой
|
|
→− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− r3 |
· →− |
|
|
|||
|
|
F (M) = grad u(M) = |
|
|
|
γm |
r , |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|||
где r = xi + yj + zk, r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Замечание. Если в |
каждой точке |
M |
|
области |
G |
задан вектор |
||||||||||
→− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
в области G задано векторное поле |
||||||||||||||
a (M), то говорят, что |
|||||||||||||||||
→− |
|
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (M). Векторное поле вида |
|
a (M) = grad u(M) называется по- |
тенциальным, а функция u(M) называется потенциалом этого
векторного поля. Рассмотренные электростатическое и гравита-
−→ −→
ционное поля E (M) и F (M) — потенциальные векторные поля.
Понятие производной по направлению и градиента можно ввести для функции любого числа переменных m 2.
Рис. 9.16. Рис. 9.17.
При m = 2 имеем: u = u(x, y),
∂u∂l (M) = ∂u∂x (M) cos α + ∂u∂y (M) sin α,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где α — угол между вектором l и осью Ox (рис. 9.16), |
|||||||||
|
|
|
|
∂u |
|
|
∂u |
|
|
grad u(M) = |
∂x |
(M) |
· i + |
∂y |
(M) · j. |
||||
Пример. u = x |
2 |
3 |
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
+ y |
. Найти |
|
(M), если M(1, 2), а вектор l |
|||||
|
∂l |
составляет угол в 30◦ с осью Ox (рис. 9.17).