Типовик / Типовик, 3 модуль
.pdf
Задача 13. |
= √3 |
, |
Вычислите длину петли кривой |
||
|
= − . |
|
|
Рис.13 |
|
|
|
||
Решение.Найдём пределы интегрирования. Обе функции |
|
и |
||||
определены при всех значениях параметра |
. Кроме того, |
(–)чётная( и) |
||||
неотрицательная, а |
меняет |
знак |
и нечётная. Поэтому( ) |
кривая |
||
расположена в правой( |
полуплоскости) |
, симметрично относительно оси |
||||
абсцисс. Определим точки самопересечения кривой: |
|
|
||||
|
( |
) = |
( |
), |
|
|
|
( |
) = |
( |
). |
|
|
√3 = √3 ,
−= − .
Решение системы даёт единственную точку самопересечения кривой, а
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
границами√3,0 |
при |
значениях |
параметра |
= ±1 |
Таким |
образом, |
||||||
именно |
|
|
|
. |
||||||||
|
интегрирования являются значения параметра |
= −1, |
= 1. |
|||||||||
Длину дуги вычисляем по формуле: |
|
|
|
|||||||||
= |
+ |
= |
|
|
|
= |
(1+ 3 |
) |
= 4. |
|||
|
2√3 |
+ (1 − 3 ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
Раздел 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Задание 13.Нахождение несобственных интегралов:
а) по бесконечному промежутку интегрирования, б) от неограниченной на отрезке функции.
А.Напомним, что несобственные интегралы по бесконечному промежутку
определяются |
|
посредством |
|
предельного |
перехода.Ограничимся |
||||
рассмотрением непрерывных на промежутке функций. |
|
||||||||
Если функция ( |
) непрерывна на промежутке [ ,+∞), то |
||||||||
|
( |
) |
|
|
промежутке |
(−∞, ] |
, то |
||
Если функция |
|
|
непрерывна( ) |
|
( |
) |
|||
|
|
на= lim→ |
|
|
|||||
Если функция непрерывна на( всей) |
числовой оси, то |
|
|||||||
= lim→ |
( |
) |
|
||||||
|
|
|
( ) = |
( ) + |
|
|
( ) , . |
||
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, если же предел не существует или бесконечен, то интеграл называют расходящимся.
Пример 1. Найдите значение несобственного интеграла или установите
его |
По определению ∫ |
cos |
|
|||
|
. |
|||||
|
расходимость: |
|
|
|||
Решение. |
|
= |
lim→ |
несобственного интеграла имеем |
||
cos |
cos |
= lim→ sin | = lim→ (sin − sin0) |
||||
|
|
= |
lim→ sin |
|
|
|
Так как этот предел не существует, несобственный интеграл расходится.
39
Пример 2. Найдите значение несобственного интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
Решение: |
По определению несобственного интеграла |
имеем |
||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
||||||||||||||||||||||||
|
ln |
|
= lim→ |
|
|
ln |
= |
= ln |
|
|
|
= |
|
1 |
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= − |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
lim→ |
− |
ln |
+ |
1 |
|
|
|
= |
lim→ |
− |
ln |
|
|
+ |
lim→ |
|
− |
1 |
|||||||
1 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
4 |
|
||||||||||||
|
|
= |
lim→ |
|
− |
|
4 |
+ |
lim→ |
|
− |
4 |
+ |
4 |
|
= |
4 |
|
|
|
||||||
Для нахождения значения исходного интеграла мы применили формулу
интегрирования |
по |
частям |
|
Лопиталя |
, |
а |
также |
|
воспользовались |
|
|
правилом |
∫ |
| − ∫для |
отыскания |
||
|
|
= |
||||||
пределаlim → |
− |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. Найдите значение несобственного интеграла
( +1)( +4)
Решение: Подынтегральная функция чётная, поэтому можно воспользоваться свойством несобственных интегралов по симметричному промежутку от чётных функций
|
|
|
|
|
( |
|
+1)( |
|
+4) |
= 2 |
|
( +1)( |
+4) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
+1 |
− |
|
+ 4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
lim→ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
2 |
+1 |
|
+4 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
3 |
lim→ |
|
arctan |
− |
3 |
lim→ |
2 |
arctan |
2 |
= |
3 |
2 |
− |
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
= |
2 |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
4 |
6 |
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Б. Значения несобственных интегралов от неограниченных в окрестности некоторой точки функций также определяются посредством предельного перехода.
Если функция |
|
( |
)непрерывна на ( |
, |
]и lim → |
,( |
( ) = ±∞, то |
|
|||||||||
|
|
|
( |
) |
( ) |
= lim→ |
, |
) |
|
( |
) |
> 0). |
|
|
|||
Если функция |
|
непрерывна на |
[ |
и |
lim → |
|
( ) = ±∞ |
, то |
|
||||||||
Если |
функция |
|
|
( |
) |
= lim→ |
|
|
|
( |
) |
,( |
> 0). |
|
|
||
|
|
|
|
|
непрерывна на |
|
отрезке |
всюду, за исключением |
|||||||||
точки |
|
|
, |
и(хотя) |
бы один из односторонних[ , ] |
пределов функции |
( ) |
||||||||||
в этой |
точке бесконечен, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( , |
) |
|
|
|
( ) |
= |
|
( |
) |
|
+ |
( |
) . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Несобственный интеграл называют сходящимся, если его значение существует и конечно, и расходящимся в противном случае.
Пример 1. Найдите значение несобственного интеграла или установите его расходимость.
Решение: Функция f(x) |
1 |
непрерывна при 1 x 0 и |
0 x 2 и имеет |
|
x |
||||
|
|
|
||
бесконечные односторонние пределы в точке x 0. Тогда |
|
|||
2 |
dx |
|
0 |
dx |
|
2 |
dx |
lim |
0 |
dx |
lim |
2 |
dx |
limln |
|
x |
|
|
limln |
|
x |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 x |
1 x |
0 |
x 0 |
1 x |
0 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ln lim ln 2 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
dx |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Несобственные интегралы |
|
и |
|
расходятся, значит, расходится и |
|||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
исходный интеграл.
41
Пример 2. Найдите значение несобственного интеграла. |
||||
1 |
|
dx |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1 x) |
||||
0 |
|
|
|
|
Решение: Функция |
|
|
|
непрерывна при |
0 < < 1 |
и |
имеет |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
бесконечные |
односторонние пределы |
. |
Тогда, |
|||||
|
( ) = |
|
( ) |
|
|
|||
чтобы упростить запись решения, заменим сумму двух пределов одним |
|||||||||||||||
|
|
|
|
→ 0 и |
(0+0) = |
(1 −0) |
= +∞ |
||||||||
пределом с двумя условиями |
→ 0 ( > 0, |
> 0). |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= lim→ |
|
|
|
= lim→ |
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(1 − ) → |
|
(1 − |
) → |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
− |
− |
||||||||
|
|
= lim→ arcsin(2 −1)| |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= limarcsin(2− 2 −1) − lim arcsin(2 − 1) = . |
|||||||||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
.→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
42
Часть 2. ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание1.Проинтегрируйте методом внесения под знак дифференциала.
1. |
sin x dx |
16. |
(1 ctg3x) dx |
|
|
|
|
2 cosx |
sin2 x |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 3 x3dx |
|||||||||||
3. |
|
|
arcsin |
3 |
x |
dx |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 x2 |
|||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
(lnlnx) dx |
|
|||||||
|
|
|
xlnx |
||||||||
5. |
|
|
|
xdx |
|||||||
|
cos2 (2x2 1) |
||||||||||
6. |
|
|
|
x |
|
dx |
|||||
|
|
2 x4 |
|
||||||||
7. |
|
|
e3x dx |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 e6x |
|
|
|
|
|
|
||||
8.(4x 1)dx
x2 2
9.e3cosx sinxdx
10.e 3
x 1 dx
x
11.10 ln2 x
x dx
17.(3x 3 x )dx
3x 3 x
18.(arccosx 1)dx
1 x2
19.5 32x 3 dx
5x
20.2 arcctg2x
1 x2 dx
21.dx
1 x2 arccos2 x
22.etgx 2
cos2 x dx
23.e2sinxcosxdx
24.e
2x 1dx
2x 1
25.x2 2x 1 e x3 3x2 3x 4dx
26. |
1 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
dx |
x |
4 |
x |
3 |
8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
27. |
ln(2x 5) 1 dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 1 lnx |
|
|
|
x 2,5 |
|
|
||||||||||||||
13. |
arctg |
|
|
|
dx |
28. |
|
|
sinx |
dx |
||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3cosx |
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
14. |
|
|
cosx dx |
29. |
(3x 1)dx |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 2sinx |
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
||||||||||||
15. |
ectgx 1 |
30. |
x3 ln(x4 1)dx |
|||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin2 x |
|
|
|
x4 1 |
|
|
||||||||||||||
Задание2.Найдите интеграл от тригонометрической функции:
1. |
sin |
4 3x |
dx |
16. |
|
|
|
2 |
|
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
3 |
dx |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
sin3x cosxdx |
17. |
cos4x cos5xdx |
||||||||||||||||||||||||
3. |
sin5 2x cos2xdx |
18. |
|
sin3(x 1)dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2(x 1) |
|
|
||||||||
4. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
sin2xdx |
19. |
sin2 3x cos2 3xdx |
||||||||||||||||
cos2x |
|||||||||||||||||||||||||||
5. |
sin |
|
x |
|
|
2x |
20. |
sinx sin6xdx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
x |
|
|
x |
|
21. |
3 |
|
cosxdx |
||||||||||||||||
sin4 |
cos |
dx |
sinx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
sin3 |
4x |
dx |
22. |
sin2(2x 1) cos2(2x 1)dx |
||||||||||||||||||||||
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
8. |
cosx cos3xdx |
|||||||||||
9. |
|
|
cos |
5x |
|
|
dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 sin5x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
10. |
cos |
2 |
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|||||
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
sin3x cos2xdx |
|||||||||||
12. |
|
cos3 2x |
|
dx |
|
|||||||
|
sin 2 2x |
|
||||||||||
13. cos3 2x dx
14. sin7x sin5xdx
15. sin5 x cos3 xdx
Задание3. Найдите интеграл:
23. |
sin |
|
x |
|
cos |
|
5x |
dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
24. |
cos3 |
|
x |
sin2 |
|
|
x |
dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
6 |
6 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
25. |
cos5 |
x sinxdx |
||||||||||||||||
26. |
cos |
x |
cos |
x |
|
dx |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
||||||||||
27. |
sin |
x |
cos |
3x |
dx |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||
28.sin3 5x cos3 5xdx
29.cos4 2xdx
30.cos4 x sin2 xdx
1. |
|
(3x 2)dx |
|
|
16. |
|
|
|
(4x 1)dx |
|
|
||
|
2x2 4x 16 |
|
|
|
|
9x2 3x 2 |
|
||||||
2. |
|
|
(x 2)dx |
|
|
17. |
|
|
|
(2x 5)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
4 2x 2x |
2 |
|
||||
|
|
|
3x 6x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
|
(7x 5)dx |
|
|
18. |
|
|
(3x 2)dx |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 2x x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 2x 3 |
|
||
4.(2x 3)dx
x2 5x 2
5.(2 3x)dx
3 2x 5x2
6.(5x 1)dx
4x2 x 3
7.(7 3x)dx
x2 4x 2
8.(2 x)dx
4 6x 4x2
9.(1 6x)dx
5x2 x 6
10.(2 3x)dx
6x2 2x 1
11.(6x 1)dx
3x2 4x 2
12.(4x 1)dx
4 x 3x2
13.(4x 3)dx
2x2 x 6
14.(4 x)dx
1 4x 5x2
15.(3 x)dx
3x2 6x 4
19.(3 x)dx
1 6x 7x2
20.(5 x)dx
2x2 2x 1
21.(1 3x)dx
1 x 2x2
22.(2 x)dx
3x2 2x 5
23.(2x 1)dx
7x 3 2x2
24.(7x 6)dx
x2 4x 2
25.(3x 1)dx
x2 x 2
26.(x 1)dx
2 5x 3x2
27.(2x 5)dx
3 x 2x2
28.(5 x)dx
3x2 2x 1
29.(x 4)dx
1 3x 4x2
30.(6x 1)dx
2 3x 2x2
Задание4. Найдите интеграл от дробно-рациональной функции:
1. |
(2x |
3 |
3x |
2 |
3)dx |
16. |
|
x(x 1)dx |
|
|
(x 2)2 (x2 3x 5) |
||||||
|
(x 1)2(x2 2x 5) |
|
||||||
|
|
|
||||||
2.(x4 x 1)dx
(x 1)3(x2 2)
3.(x4 3x3 x2 5x 2)dx
(x 1)(x4 1)
4.(x2 8x 22)dx
(x 2)2 (x2 x 3)
5.2(x2 2x 4)dx
x3(x2 4)
6.x4 4x2 2x 1
(x 1)(x4 1)
7.(x2 2x3 11)dx
(x 1)2 (x2 4x 5)
8.(x3 4x2 x 2)dx
x3(x2 1)
9.(5x3 10x2 8x 15)dx
x2(x 3)(x2 4x 5)
10.(x3 7x 2)dx
(x 1)2 (x2 2x 5)
11.(x3 6x2 2x 4)dx
x3(x2 2)
12.(x4 5x2 9x 4)dx
x(x 1)2 (x2 2x 2)
17.(x3 7x2 5x 10)dx
x3(x2 5)
18.(4x4 5x2 21x 10)dx
x2(x 2)(x2 2x 5)
19.(x2 10x 1)dx
(x 1)2(x2 2x 5)
20.(x3 4x2 6x 2)dx
x2 (x 1)(x2 2x 2)
21.(x4 23x2 32x 18)dx
x(x 3)2 (x2 2x 2)
22.x(x 4)dx
(x 2)2 (x2 3x 8)
23.(3x3 9x2 8x 1)dx
(x 2)2(x2 2x 3)
24.(2x3 6x2 10x 9)dx
(x 1)2(x2 3x 5)
25.(x2 6x 1)dx
(x 1)2 (x2 2x 3)
26.(3x3 7x2 9x 3)dx
(x 1)2(x2 2x 3)
27.(x4 8x2 8x 4)dx
x(x 1)2(x2 4)
13. |
(2x3 x 7)dx |
28. |
|
(x2 18x 20)dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(x 2)2 (x2 3x 8) |
|
||||
(x 1)2(x2 x 5) |
|||||||||
14. |
(x3 5x2 3x 6)dx |
29. |
|
(2x3 3x2 3)dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x3(x2 3) |
(x 1)2 (x2 2x 5) |
||||||||
15. |
(8x2 6x3 3x 40)dx |
30. |
|
2x(x3 6x 12)dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
x(x 2)2(x2 4x 5) |
|
|
|
(x 2)(x4 16) |
|
||||
Задание5. Найдите интеграл от иррациональной функции:
1. |
|
6 |
x 3 |
1 |
16. |
|
x |
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 3 |
|
|
|
2 2x 1 |
|
|||||
x 3 |
x 3 |
|
|
||||||||||
2.x 1
x
x 1dx
3.5 x 1
x 1 2 
xdx
4.2 x
x 6dx
5.6 
x 4
x
x3 7x 64
x3 dx
6.4 x
x2 
x 1dx
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
|
|||||
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
3 2 x 1 |
||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xdx |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5x 6 |
|||||||
17. |
x |
|
|
3x 2 |
10 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3x 2 7 |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
18. |
6 |
|
|
|
|
dx |
||||||||
x 2 |
||||||||||||||
|
(x 2)2 |
|
|
|
|
|||||||||
x 1 |
|
|||||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
dx |
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
xdx
5 x 1 x3
21.x3 x 2
x 3
x 2 dx
22.dx
2
x 5 3
x 5 4
x 5
23.15 x 3
x 3 2 
xdx20.
9.1 x 1
1 3
x 1dx
10.(1 
3x
x)2 dx
11.2 3 x
(6
x 23
x 
x)
xdx
12.x 25
(x 25)2 
x 1 dx
13.6 x
x 18dx
14.1 6
x 23
x
x 2
x3 3
x4 dx
15.3 x 5 2
1 3
x 5dx
24.dx
4
x 3 1 
x 3
25.4 x 3 1
2 4
x 3dx
26.
x(1 3
x)15dx6 5
x
27.3x
1 2x 4
1 2x dx
28.dx
4
x 1 33
x 1 4
x 1
29.x 1 dx
3 x 1 x 1 3
30.4 x 7
(x 7)2 
x 3 dx
Задание 6. |
Найдите интеграл от |
иррациональной функции, используя |
|||||||||||||||
тригонометрические подстановки: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
x4 |
|
|
|
|
16. |
x3 |
|
|
dx |
|||||||
|
4 x2 |
dx |
9 x2 |
|
|||||||||||||
2. |
x3 |
(1 x2) |
32 dx |
17. |
|
(x 2)2 |
|
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 x2 )3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
|
|
|
|
|
|
18. |
|
|
|
x2 |
|
|
||||
|
|
x2 |
25 3 |
dx |
|
|
|
|
dx |
||||||||
|
|
|
|
(2 x2 )32 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
||||||||
4.x3
9 x2 5 dx
5.
x23 2 dx
x
6.x2
(16 x2 )32 dx
7.x3 
4 x2 dx
8.dx
(x2 6)3
9.x 1
(9 x2 )52 dx
10.dx
x 
(x2 3)5
11.x4
(1 x2 )3 dx
12.
x2 5 4 dx
x
13.dx
x
(5 x2)3
14.x2 
4 x2 dx
19. |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(4 x2 )3 |
|||||||||||
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
dx |
||||||
|
|
|
|
x 3 |
||||||||
21. |
x2 |
|
|
|
||||||||
|
9 x2 |
dx |
||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 x2 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||
23.dx
(x2 6)3
24.x3
(25 x2 )3 dx
25.dx
x3 
(x2 1)3
26.x5 
x2 1dx
27.x3 
dxx2 16
28.(1 x)2 
4 x2 dx
29.9 x2
x2 dx
15. |
|
x3 |
|
|
30. x3 |
|
|
|
|
dx |
x2 2dx |
||||
|
|
|
|||||
(9 x2 )3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Задание 7. Проинтегрируйте тригонометрические функции методом подстановки:
1. |
|
cosx sin x |
dx |
16. |
|
cos3 x |
dx |
|
|||||||
|
1 sin x 2 |
|
sin x 5 |
||||
2.cosxdx
1 cosx sin x 2
3. |
1 sin x cosx 2 |
|
|
|
dx |
4.1 sin x dx
cosx 1 cos x
5.sin xdx
1 sin x 2
6.cosxdx
(1 cosx)(1 sin x)
7.dx
4 3cos2 x 5sin2 x
8.1 sindx 2 x
9.3sin x 2cosx 1
sin x 3sin2 x dx
10. |
|
3sin x 2cosx 1 |
|
|
|
dx |
|
|
sin x sin2x |
||
17.dx
sin2 x(1 cos x)
18.(1 sin x)dx
(1 sin x)2
19.cos2 xdx
(1 sinx cosx)2
20.(4 7tgx)dx
2 3tgx
21.6sin2 xdx
3cos2x 4
22. 1 cosx |
3 |
|
|
cosxdx |
|
23.sin xdx
5 3sin x
24.1 sin x
1 cosx sin xdx
25.5tgx 2
2sin2x 5 dx
11.(1 cosx)2 dx
1 sin x
12.1 sin x
sin2x 2sin xdx
13.dx
sin2x 4sin x 4sin2 x
14. dx 2
sin x cos x
15.dx
sin2 x 3sin x 4
26. |
2 tgx |
|
dx |
sin x 3cos x |
2 |
||
|
|
|
27.cos2 xdx
sin2 x 4sin xcos x
28. |
7 |
3tgx |
|
dx |
sin x |
2cosx |
2 |
||
|
|
|
29.dx
cosx(1 cosx)
30.5tgx 2
2sin2x 5dx
Задание 8. Найдите значение интеграла методом интегрирования по
частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
4 |
|
|
|
|
|
16. |
1 |
2 ln |
1 x |
|
|
|
|
|
xlnxdx |
dx |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 x |
||
2. |
|
|
|
|
|
|
17. |
|
|
|
|
|
2 |
xsin2 |
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
xdx |
|
xarctgxdx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
0 |
|
|
|
|
|
18. |
12 |
|
|
|
|
|
(x2 x)ex dx |
|
|
arccos2xdx |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
4. |
|
2 |
|
|
|
|
19. |
2 |
|
|
|
|
|
xctg2xdx |
|
(x2 1)e2x dx |
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
xdx |
|||||||
|
4 |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
||||||||
6. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 x2)e x dx |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 (sin3x 2)dx |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 x2)sin xdx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin5xdx |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
arcsin |
x |
dx |
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(2x 1)dx |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 xdx |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
e ln xdx |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 |
|
|||||
14. |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(lnx)dx
1
20. |
|
|
x |
|||||
|
x2 cos |
|
|
dx |
||||
|
|
|||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
21. |
1 |
arccosxdx |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 x |
||||||
22. |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
(x2 x 1)e3x dx |
|||||||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 2x)e x dx |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
24. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
xcos2 xdx |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
25. |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
xtg2xdx |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
26. |
14 |
|
|
|
|
|
||
|
arctg4xdx |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
27. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xcos(x 4)dx |
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
||
28. |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ln(2x 3)dx |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
29. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2)sin3xdx |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
15. |
1 |
30. |
1 |
|
xln(x 1)dx |
|
xe3x 2 dx |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
3 |
Задание 9. Найдите значение интеграла методом замены переменной в определённом интеграле:
1. |
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
1 |
||||||||
|
2/ |
3 x |
|
x |
|||||||
2. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
|
arcsin |
|
dx |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
1 x |
||||
3. |
5 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3x 1 |
||||||||
|
1 |
|
|||||||||
4.
3
x3 
4 x2 dx
0
5. |
ln5 |
e |
x |
|
|
|
|
|
e |
x |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ex 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x x) |
|
|
||||||||||||||||||
|
1 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
2 |
|
|
|
|
|
x |
4 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3/2 |
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. |
ln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 e2x dx |
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 x |
|
|
|
|
5x 1 |
||||||||||||||||||
10. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2/2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. |
0,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(x 1) |
|
x |
2 |
1 |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
16. |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
8/3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
17. |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
x 1dx |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
1)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
16) |
|
|
4 x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
(x |
2 |
|
x 1)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x2 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
22. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
4 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
25. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 sinx cosx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
26. |
2sinx sin3 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
cos2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12. |
3 |
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
27. |
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x(x 1) |
|
|
|
|
|
|
(4 |
|
1)10 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
ln3 |
3e2x 2ex |
||||||||||||||
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e2x ex 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. |
/4 |
tgxlncosxdx |
29. |
4 |
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2sin2 x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
8 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
30. |
1 |
|
|
|
|
|
xdx |
||||||||||||
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 2x x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задание 10. Найдите площадь области, ограниченной кривыми, заданными в декартовых координатах
2. |
= |
|
|
|
|
|
|
, = 0, |
= 2. |
|
||||||||||
1. |
= 5sin |
, |
|
= 5cos . |
|
|||||||||||||||
3. |
|
|
||||||||||||||||||
4. |
= |
|
ln |
, |
|
= |
|
|
|
ln . |
= 0. |
|
||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
= |
|
cos |
, |
|
= 2 |
, |
|
|
|||||||||||
6. |
= |
|
, |
− 4 |
+4 |
, |
|
= 0. |
|
|||||||||||
7. |
= |
|
|
|
|
|
= − , |
− |
= 1. |
|
||||||||||
8. |
= 3(3− ), + = 9. |
|
||||||||||||||||||
9. |
= 0, = ( − 4) , = 16− . |
|||||||||||||||||||
10. |
= |
3, |
|
|
|
+ |
|
= 4. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
, |
= 3. |
|
||||||||
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
12. |
= |
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
= 9, |
> 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
13. |
= |
|
, |
|
= |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
14. |
= 0, |
|
|
|
|
= . |
|
|
+ |
|
= 4. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
15. |
= 0, |
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. |
= 2 , |
|
= 4 |
− . |
= 0. |
|||||||||||||||
17. |
= ( |
+1) , |
|
|
|
|
|
= ( − 1) , |
||||||||||||
|
= 0, |
|
|
|
|
= 0, |
= 2, |
|
= ( |
− 1) . |
||||||||||
19. |
|
− |
= 1, |
|
= 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
18. |
|
− |
|
|
= 1, |
|
= 0,. |
|
= 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
21. |
= 8 , |
|
= |
8 |
|
> |
.0 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
22. |
= 2 |
, |
|
= |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
23. |
+ |
|
|
= 16 , |
|
|
= 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
24. |
= |
|
|
|
|
− |
, |
|
|
= 2 . |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
25. |
= |
|
√ |
, |
|
= 0, |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
26. |
|
= −1, |
= 1, |
= √ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
27. |
= |
|
|
|
ln |
, |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
28. |
= |
|
|
|
− 6 |
|
+11 |
− 6, |
|
|
|
= 0. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
29. |
= |
|
√ |
|
|
|
, |
|
= 0, |
= |
|
1, |
= |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
30. |
= |
|
|
|
|
|
|
, = 0, |
= |
|
|
, |
= − . |
||||||||||||||
|
= |
|
|
|
cos |
, |
|
= 0, 0 ≤ |
|
≤ |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Задание11. Найдите длину кривой, заданной в декартовых координатах
1. |
= |
|
|
|
|
− |
|
ln |
, 1 ≤ |
≤ . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
= ln |
, |
|
|
≤ |
≤ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
= 1 − lncos |
, 0 |
≤ |
≤ |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. |
= 1+lncos |
, 0 |
≤ |
≤ |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. |
= ln(1 − |
|
|
), 0 ≤ |
≤ |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6. |
= arccos |
|
|
|
, 0 ≤ |
≤ 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
= √1 − |
|
|
+arcsin |
,0 ≤ |
≤ |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8. |
= √1 − |
|
|
+arccos |
,0 ≤ |
≤ |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9. |
= |
|
|
, 0 ≤ |
≤ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10. |
|
|
|
+ |
|
|
|
= 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11. |
|
= |
|
|
|
, 0 ≤ |
≤ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
12. |
= |
( |
) |
, |
0 ≤ |
≤ 2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13. |
= 6cos |
, |
|
|
|
|
≤ |
≤ |
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
14. |
= arccos |
|
|
,−1 ≤ |
≤ 0. |
||||||||||||||||||||
15. |
= 2− |
, ln√3 |
≤ |
|
|
≤ln√8. |
|||||||||||||||||||
16. |
= |
|
|
, 0 ≤ |
≤ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
17. |
= ln , √3 |
≤ |
|
|
|
|
≤ √8. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
18. |
= 1− lncos |
|
, 0 ≤ |
|
|
≤ |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
19. |
= ln |
|
, 1 ≤ |
≤ 6. |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
20. |
= 1+lncos |
|
, 0 ≤ |
|
|
≤ |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
21. |
= |
|
|
+6, ln√8 |
≤ |
≤ ln√15. |
|||||||||||||||||||
22. |
− 2 = 4 ,−1 ≤ |
≤ 0. |
|||||||||||||||||||||||
23. |
= |
|
+ |
|
ln |
|
, 1 ≤ |
|
|
≤ . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
24. |
= 4sin |
|
,− |
|
|
|
≤ |
≤ . |
|||||||||||||||||
25. |
= |
|
cos |
, − |
|
|
|
≤ |
≤ 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
26. |
= |
|
sin |
, 0 ≤ |
≤ |
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
27. |
= |
|
− |
|
|
, −1 ≤ |
|
|
≤ 1. |
||||||||||||||||
28. |
= |
|
|
|
|
|
|
|
,−1 ≤ ≤ 1. |
||||||||||||||||
29. |
= 1− lnsin |
, |
|
≤ |
≤ |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
30.= 1+lnsin , ≤ ≤ .
Задание12. Вычислите
1.а) Площадь внутри астроиды
|
= 2 cos , |
= 6 |
|
б) Длину дуги первого витка |
спирали Архимеда |
. |
|
= 2 sin . |
|
2.а) Площадь фигуры, ограниченной кривыми
r 6sin3 , |
r 3 |
r 3 . |