Добавил:

FilimonLipin86 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Типовик / 1076

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.06.2023

Размер:

759.08 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

ментальную систему решений. Найд¼м собственные векторы 1; 2, ñî- ответствующие 1, 2. Для каждого составим систему линейных однородных алгебраических уравнений

	A		E	0 1	=	0 0 1	:
				@ A		@ A

Òàê êàê

det(A E) = 0; то система имеет ненулевое решение 1) = 1 = 5

A		1E =	0 4	1	1 , 0 4	1	1	;
			@ 8	2 A ! @ 0		0 A

òî åñòü 4 + = 0 ) 1 = @ A - собственный вектор, соответ-

ствующий числу 1 = 5:

2) = 2 = 1

A		2E =	0 2		1 1 , 0 2			1 1		;
			@	8	4	A ! @	0	0	A


òî åñòü	2 + = 0	)		2	= 0	1		1
		)			@ 2: A
Выпишем общее решение в матричной форме
	X(t) = c1e5t 0 1 1 + c2e t 0 1 1								:
	@	4	A			@	2	A

В координатной форме общее решение имеет вид:

>x(t) = c1 e5t + c2 e t

>y(t) = 4c1 e5t 2c2 e t:

Так же, как и раньше, из начальных условий получаем

c1 =	1	; c2	=	1	:

	3			3

c*) Решим систему операционным методом. Применим оператор Лапласа к обеим частям системы. Пусть изображением искомых функций x(t); y(t)

будут X(p); Y (p) соответственно; тогда, по теореме дифференцирования оригинала, получаем:

x0(t)=pX(p) x(0) = pX(p)

y0(t)=pY (p) y(0) = pY (p) 2:

Система дифференциальных уравнений относительно оригиналов x(t)

и y(t) переходит в алгебраическую систему относительно изображений

X(p) è Y (p):		8(p 1)X(p) Y (p) = 0
8pX(p) = X(p) + Y (p)	)	8(p 1)X(p) Y (p) = 0
>pY (p) 2 = 8X(p) + 3Y (p)	)	>	8X(p) + (p 3)Y (p) = 2:
<		<
>		>
:		:

Решаем полученную систему методом исключения или по правилу Крамера. При p 6= 5; 1 получаем:

X(p) =	2	; Y (p) =	2p 2	:
	(p 5)(p + 1)		(p 5)(p + 1)

Разложим изображения на простейшие дроби и применим обратное преобразование Лапласа:

	1		1		1			1			1				1
X(p) =														e5t				e t
X(p) =		3 p 5					3	p + 1				3		e5t		3		e t
	4		1		2			1			4				2
Y (p) =				+									e5t +				e t:
Y (p) =	3 p 5			+		3 p + 1					3		e5t +		3		e t:
Получено решение задачи Коши:					8x(t) = 3e5t + 3e t
									1						1
					>y(t) =					4	e5t + 2e t:
					<
Задание 1.					>				3		3
					:

В этом задании в каждом варианте даны функция u тр¼х переменных

x; y; z и уравнение в частных производных (e). Проверьте, является ли

функция u решением уравнения (e).

1. u = xz

@2u

(e):

3x ln x

= yz

@y@z

2. u = zx

+y;

2xz ln2 z

= (x2

@2u

(e):

+ y)

@2u

@x@y

3. u = sin(x3y2z);

(e):

+ x6y4u = 0:

@z2

4. u = z tg(x2y);

(e):

@2u

= x2

(u2 + z2):

@y@z

@2u

5. u = z2y arcsin x;

(e):

2 ln z

@2u

@x@y

6. u = xy

(e):

= y3(zy3 ln x + 1)u:

@x@z

7. u = x2yz;

(e):

@2u

= 2zu:

@x@y

@2u

8. u = yz

3z2 ln y

arctg x;

(e):

@2u

@x@z

xy3

9. u = z

3 ;

(e):

= 4y

@x@z

10. u = zx y

2 1;

(e):

= 5x4y3(1 + x5y3 ln z)(u + 1):

@x@z

11. u = (3z +2 1)(5x2+y3) 1; (e):

(3z + 1)

@ u

= ((150x3 + 30xy3) ln(3z + 1) + 30x)(u + 1):

@x@z

@2u

12. u = zx

cos y;

(e):

= 5x4 cos y(1 + x5 cos y ln z)u:

@x@z

@2u

13. u = yx +1 ctg z;

(e):

y sin 2z

+ 2(x3

+ 1)u = 0:

@y@z

14. u = x(yz);

(e):

@2u

= yz ln x(zyz ln x ln y + z ln y + 1)u:

@y@z

15. u = xzy

+3;

(e):

= (y4

+ 3)u:

@x@z

@2u

16. u = xz

(e):

3z2 ln x u = y

@2u

@y@z

4x3 ln2 z u = 0:

17. u = zx +y;

(e):

@x@y

@2u

18. u = sin(x3y2z);

(e):

+ 3x5y4z2u =

@x@z

19. u = z tg(x2y);

(e):

@2u

= 2x4u(u2 + z2):

@y2

u = z2y arcsin x;

@2u

20.

(e):

= z

@2u

@x@z

= uy6 ln2 x:

21.

u = xy

(e):

@z2

22.u = x2yz;

(e):

= (1 + z ln y)u:

@y@z

@2u

u = yz

23.

arctg x;

(e):

= y

@2u

@x@y

24.

u = z4exy

;

(e):

= 8uxy:

@y@z

u = zx5y2

25.

(e):

@2u

= 2x5y(1 + x5y2 ln z)(u + 1):

@y@z

5x2

+y3

26.

;

(e):

u = (3z + 1)

(3z + 1)

@2u

= ((45x2y2 + 9y5) ln(3z + 1) + 9y2)u:

@y@z

27.

u = zx5 cos y;

(e):

@2u

+ x5 sin y(1 + x5 cos y ln z)u = 0:

@y@z

@2u

28.

u = yx +1 ctg z; (e):

sin 2z

+ 4x ln y u = 0:

@x@z

29.

u = xyz ;

(e):

y ln y

= z

@2u

30.

u = xzy

+3,

(e):

= 4y3 ln z u:

@x@y

Задание 2.

Âэтом задании в каждом варианте даны функция z двух переменных x и y и область D: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

z в области D:

1. z = x2 2x + y2 4y + 3, область D задана неравенствами

2 x 0 è 0 y 3:

2. z = x2 + 2x + y2 4y + 4, область D задана неравенствами 0 x 2

è 0 y 3:

3. z = x2 + 2x y2 + 4y, область D задана неравенствами 0 x 2 и 0 y 3:

4.z = 2x2 8x + y2 2y + 8, область D задана неравенствами

0 y 4x x2 1:

5.z = x2 2x + y2 + 4y + 6, область D задана неравенствами x2 2x 3 y 0:

6.z = x2 4x y2 + 2y 4, область D задана неравенствами

4 x 0 è 0 y 2:

7. z = x2 + 4x + y2 2y + 4, область D задана неравенствами 1 x 2

è 0 y 2:

8. z = x2 2x y2 4y 6, область D задана неравенствами

2 x 0 è 4 y 0:

9. z = x2 4x 3y2 + 6y + 8, область D задана неравенствами

4 x 0 è 0 y 2:

10. z = 4x2 + 8x + y2 + 4y + 7, область D задана неравенствами

4 x 0 è 0 y 2:

11. z = x2 2x + y2 4y + 1, область D задана неравенствами

0 x 2 è 0 y 3:

12. z = x2 + 2x + y2 4y + 3, область D задана неравенствами

0 x 2 è 0 y 1:

13. z = x2 + 2x y2 + 4y, область D задана неравенствами 0 x 1

è 0 y 1:

14. z = x2 + 6x + 2y2 4y + 8, область D задана неравенствами

4 x 0 è 0 y 2:

15.z = x2 + 2x + y2 4y + 5, область D задана неравенством x2 + 2x + 1 y 4:

16.z = x2 + 6x y2 6y 17, область D задана неравенством

(x 3)2 + (y + 3)2 4:

17.z = x2 + 6x + y2 2y + 9, область D задана неравенствами

4 2x 2 è 0 y 2:

18. z = x2 2x y2 4y 3, область D задана неравенствами

2 x 0 è 4 y 1:

19.z = x2 2x y2 + 6y + 8, область D задана неравенствами x + 12 + (y 3)2 1:

20.z = 4x2 + 8x + y2 + 4y + 8, область D задана неравенством

(x + 1)2 + y + 22 1: 4

21. z = x2 2x + y2 + 4y + 3, область D задана неравенствами

0 x 2 è 0 y 1:

22. z = x2 + 2x + y2 4y + 4, область D задана неравенствами

0 x 2 è 0 y 3:

23. z = x2 + 2x y2 + 4y, область D задана неравенствами 0 x 2

è 1 y 3:

24. z = 4x2 16x + y2 2y + 16, область D задана неравенством

(x 2)2 + y 12 1: 4

25.z = x2 2x + y2 + 4y + 6, область D задана неравенствами x2 2x 3 y 0:

26.z = x2 6x y2 + 2y 9, область D задана неравенствами

4 x 0 è 0 y 2:

27. z = x2 + 2x + y2 2y + 1, область D задана неравенствами

2 x 0 è 0 y 2:

28. z = x2 2x y2 4y 6, область D задана неравенствами

2 x 0 è 4 y 0:

29. z = x2 6x y2 + 2y + 8, область D задана неравенствами

4 x 0 è 0 y 2:

30. z = 2x2 + 8x + 2y2 + 4y + 9, область D задана неравенством

(x + 2)2 + (y + 1)2 1:

Задание 3.

Укажите тип дифференциального уравнения первого порядка. В зада- чах a, b, d найдите общее решение уравнения.В задаче c найдите решение задачи Коши.

1. a) (xy + x3y)y0 = 1 + y2; b) y xy0 = x sec xy ;

c) (x2	+ 1)y0 + 4xy = 3; y(0) = 0;
d*) y0	+ y = xp		.
		y

2. a) (x + 4)dy xydx = 0; b) (y2 3x2)dy + 2xydx = 0;

c) y0 + y tg x = sec x; y(0) = 0; d*) y0 + 2y = y2ex.

3. a) y0	= (2x	1) ctg y;

b) (x + 2y)dx xdy = 0;
c) (1	x)(y0 + y) = e x, y(0) = 0;

d*) xdy + 2ydx = 2xpy sec2 x dx.

4. a) sec2 x tg ydx + sec2 y tg xdy = 0; b) (x y)dx + (x + y)dy = 0;

c) xy0 2y = 2x4; y(1) = 0; d*) y0 = y4 cos x + y tg x:

5. a) (1 + ex)ydy eydx = 0; b) (y2 2xy)dx + x2dy = 0; c) y0 = 2x(x2 + y); y(0) = 0; d*) xydy = (y2 + x)dx:

6. a) (y2 + 3)dx ex ydy = 0; x

b) y2 + x2y0 = xyy0;

c) y0 y = ex; y(0) = 1; d*) xy0 + 2y + x5y3ex = 0:

7. a) (1 + y2)dx (y + yx2)dy = 0;

b) xy0 y = x tg

;

c) xy0

+ y + xe x2 = 0;

y(1) =

;

d*) y0

8. a) y0 = (2y + 1) tg x;

b) xy0 = y

xe(x 1y);

c) y0 = 2y

x + ex;

y(0) =

d*) (2y2x ln x y)dx = xdy:

9. a) 2xyy0 = 1 x2;

x + y

b) xy0 y = (x + y) ln

;

c) x2y0 + xy + 1 = 0;

y(1) = 0;

d*) 2y0

10. a) (1 + ex)yy0 = ex;

b) xy0

= y cos(ln

);

c) xdy = (e x y)dx;

y(1) = 1;

d*) xy0 2x2p

= 4y:

11. a) sin x tg ydx

= 0;

sin x

b) (y + p

)dx = xdy;

c) xy0 + y = 4x3 + 3x2;

y(1) = 2;

d*) xy2y0 = x2 + y3.

12. a) 3ex sin ydx + (1 ex) cos ydy = 0;

c) dx = p			;	y(1) = 0;
b) xy0 =		x2 y2		+ y;
	xdy
	3y x2		2	) = y:
d*) (x + 1)(y0 + y

13.

a) y0 =

e2x

;

ln y

b) y = x(y0 px

);

c) (2y + x)dx = xdy + 4 ln xdx;

y(1) = 0;

d*) y0x + y = xy2:

14.

a) (xy3 + x)dx + (x2y2 y2)dy = 0;

b) y0 =

c) x(y0

y) = ex;

y(1) = 0;

d*) y0 xy = y3e x2 :

15.

a) 2x2yy0 + y2 = 2;

b) y0x + x + y = 0;

c) y = x(y0 x cos x);

) = 0;

d*) xy0 2p

= y:

x3y

16.

a) y0 = ex2 x(1 + y2);

b) ydx + (2p

x)dy = 0;

c) (xy0 1) ln x = 2y;

y(e) = 0;

d*) y0 + xy = x3y3.

17.

a) ctg x cos2 ydx + sin2 x tg ydy = 0;

(2e

y)dx =p

(0) = 0;

b) xdy

ydx =

x2 + y2dx;

dy;

d*) y0 =

e2x + y.

18.

a) sin xy0 = y cos x + 2 cos x;

b) (4x2 + 3xy + y2)dx + (4y2 + 3xy + x2)dy = 0;

c) xy0	+ (x + 1)y = 3x2e x; y(1) = 0;
d*) y0	+ 3y = e2xy2:
19. a) 1		+ (1 + y0)ey = 0;
b) (x y)ydx x2dy = 0;
c) (y + x2)dx = xdy; y(1) = 0;
d*) x(x			1)y0 + y3 = xy.

20. a) y0 ctg x + y = 2;

b)xy + y2 = (2x2 + xy)y0;

c)dx(sin2 x + y ctg x) = dy; y( 2 ) = 0; d*) 2x3yy0 + 3x2y2 + 1 = 0:

21.

e x2 dy

= 0;

cos2y

b) (x2 2xy)y0 = xy y2;

c) (x + 1)y0 + y = x3 + x2;

y(0) = 0;

d*)

2y)dx.

= (

22.

a) ex sin ydx + tg ydy = 0;

b) (2p

y)dx + xdy = 0;

c) xy0

2y + x2 = 0; y(1) = 0;

d*) y0 + xp3

= 3y:

23.

a) (1 + e3y)xdx = e3ydy;

b) xy0

+ y(ln

1) = 0;

c) xy0

+ y = sin x; y(

) =

;

d*) xy0

+ y = y2 ln x:

24.

a) y xy0

= 3(1 + x2y0);

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Типовик

#
30.06.2023759.08 Кб21076.pdf
#
30.06.2023843.71 Кб3Типовик, 1 модуль.pdf
#
30.06.20231.51 Mб2Типовик, 2 модуль.pdf
#
30.06.20231.01 Mб3Типовик, 3 модуль.pdf