Литература и лекции / IntCalculus
.pdfТеорема о разложении дробно рациональной функции на простейшие Пусть знаменатель правильной дроби
R(x) = bmxm + bm¡1xm¡1 + bm¡2xm¡2 + : : : + b1x + b0 (x ¡ x1) ¢ (x ¡ x2) ¢ (x ¡ x3) ¢ : : : ¢ (x ¡ xn)
представляет собой произведение n разных линейных множителей вида
(x ¡ xi) :
Тогда дробь может быть представлена в виде суммы так называемых простейших дробей:
R(x) = |
A1 |
+ |
A2 |
+ |
A3 |
+ : : : + |
|
An |
: |
|
x ¡ x1 |
x ¡ x2 |
x ¡ x3 |
x ¡ xn |
|||||||
|
|
|
|
|
Постоянные коэффициенты A1 ; A2 ; A3 ; : : : ; An можно найти методом неопредел¼нных коэффициентов.
Без доказательства.
Пример 9 |
Z |
x2 ¡ 3x + 2 |
¢ |
|
|
Взять интеграл |
|
||||
Решение |
|
x ¡ 5 |
|
|
dx : |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x ¡ 5
x2 ¡ 3x + 2
= |
|
x ¡ 5 |
|
= |
|
A1 |
|
+ |
|
A2 |
|
= |
A1(x ¡ 2) + A2(x ¡ 1) |
; |
|||||
(x ¡ 1)(x ¡ 2) |
x ¡ 1 |
x ¡ 2 |
(x ¡ 1)(x ¡ 2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x ¡ 5 |
|
|
= |
A1x ¡ 2A1 + A2x ¡ A2 |
; |
|
|
||||||||||
|
|
(x ¡ 1)(x ¡ 2) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x ¡ 1)(x ¡ 2) |
|
|
||||||||||||
|
|
x ¡ 5 |
= |
|
|
(A1 + A2) ¢ x + (¡2A1 ¡ A2) |
; |
|
|||||||||||
(x ¡ 1)(x ¡ 2) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x ¡ 1)(x ¡ 2) |
|
|
1 ¢ x ¡ 5 = (A1 + A2) ¢ x + (¡2A1 ¡ A2) :
Метод неопредел¼нных коэффициентов состоит в следующем. Для того, чтобы два полинома относительно переменной x были тождественно равны, достаточно по-
требовать, чтобы у них были равны коэффициенты при одинаковых степенях x :
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
½ |
|
|
|
A |
+ |
|
|
A = 1 |
|
¯: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2A11 |
|
|
A22 = |
¡ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Школьная система уравнений (6) имеет решение A1¯= 4 , A2 = ¡3 , таким образом, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ¡ 5 |
|
|
|
= |
|
|
|
4 |
|
¡ |
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ 3x + 2 |
|
|
|
|
x ¡ 1 |
x ¡ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x ¡ 5 |
|
dx = |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
dx = 4 |
|
|
|
|
dx |
|
|
3 |
|
|
dx |
|
= |
||||||||||
x2 |
|
|
3x + 2 ¢ |
|
µx |
|
1 |
¡ x |
|
|
|
|
2¶ ¢ |
¢ |
|
x |
|
1 |
¡ |
¢ |
|
x |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
¡ |
|
|
Z |
¡ |
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
||||||||||||||
|
¢Z |
|
d(x ¡ 1) |
|
|
|
¢Z |
|
d(x ¡ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= 4 |
|
|
|
3 |
|
|
= |
Int 5 |
= 4 |
|
ln x |
|
|
1 |
|
3 |
|
ln |
x |
|
2 |
|
+ C : |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x ¡ 1 |
¡ |
|
|
x ¡ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
j ¡ j ¡ |
|
¢ |
|
j |
|
¡ |
|
j |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример 10 |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Взять интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ dx : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x3 |
+ x2 ¡ 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложим знаменатель на линейные множители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x3 + x2 ¡ 6x = 0; |
|
|
x ¢ (x2 + x ¡ 6) = 0; |
|
|
x1 = 0; x2 = ¡3; x3 = 2: |
x3 + x2 ¡ 6x = x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2) :
Определимся с разложением дробно рациональной функции на простейшие:
|
30 |
= |
|
|
30 |
= |
A1 |
+ |
A2 |
+ |
A3 |
= |
|
|
|||||
|
|
x3 + x2 ¡ 6x |
x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2) |
x |
|
x + 3 |
x ¡ 2 |
|
|
|
|||||||||
= |
A1 ¢ (x + 3)(x ¡ 2) |
+ |
A2 ¢ x(x ¡ 2) |
|
+ |
|
A3 ¢ x(x + 3) |
|
|
= |
|||||||||
x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2) |
x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2) |
x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
=A1 ¢ (x + 3)(x ¡ 2) + A2 ¢ x(x ¡ 2) + A3 ¢ x(x + 3) : x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2)
Для тождественного равенства синей è фиолетовой дробей достаточно потребовать равенства их числителей, благо, знаменатели у них одинаковые. Итак:
A1 ¢ (x + 3)(x ¡ 2) + A2 ¢ x(x ¡ 2) + A3 ¢ x(x + 3) = 30 : |
(7) |
Для поиска коэффициентов A1 , A2 , A3 , конечно же, можно применить метод
12
неопредел¼нных коэффициентов. Но в данном случае, когда знаменатель исходной дроби разлагается только на линейные множители, разумнее применить другой, весьма эффективный метод Метод Коллокаций.
Равенство (7) должно быть выполнено при любом значении x ; следовательно, оно должно выполняться и для какого то удобного значения x :
Подставим x = 0 â (7). Получим:
A1 ¢ (¡6) + A2 ¢ 0 + A3 ¢ 0 = 30 =) A1 = ¡5 :
Подставим x = ¡3 â (7). Получим:
A1 ¢ 0 + A2 ¢ 15 + A3 ¢ 0 = 30 =) A2 = 2 :
Подставим x = 2 â (7). Получим:
A1 ¢ 0 + A2 ¢ 0 + A3 ¢ 10 = 30 =) A3 = 3 :
Заметим, что для вычисления Ai мы подставляли в (7) то значение x, которое обратило бы в ноль знаменатель простейшей дроби с числителем Ai :
Возвращаемся к интегралу: |
|
µ¡x + x + 3 |
+ x ¡ 2¶ |
¢ dx = |
|||||||||||||||||
Z |
x3 + x2 |
¡ 6x ¢ dx = Z |
|||||||||||||||||||
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
¡ |
|
¢Z |
x |
|
¢Z |
x + 3 |
|
|
¢Z |
|
x ¡ 2 |
|
|||||||
|
= |
|
5 |
|
dx |
+ 2 |
|
d(x + 3) |
+ 3 |
|
|
|
d(x ¡ 2) |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Int 5 = ¡5 ¢ ln jxj + 2 ¢ ln jx + 3j + 3 ¢ ln jx ¡ 2j + C :
Теорема о разложении дробно рациональной функции на простейшие Пусть знаменатель правильной дроби
R(x) = |
bmxm + bm¡1xm¡1 + bm¡2xm¡2 + : : : + b1x + b0 |
|
(x ¡ x1) ¢ : : : ¢ (x ¡ xk) ¢ (x2 + p1x + q1) ¢ : : : ¢ (x2 + p`x + q`) |
|
представляет собой произведение k разных линейных множителей вида (x ¡ xi) è ` разных квадратичных множителей вида (x2 + pjx + qj) с отрицательными дискриминантами.
13
Тогда дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:
R(x) = |
A1 |
+ : : : + |
Ak |
+ |
®1x + ¯1 |
+ : : : + |
®`x + ¯` |
: |
x ¡ x1 |
x ¡ xk |
x2 + p1x + q1 |
x2 + p`x + q` |
Постоянные коэффициенты A1 ; : : : ; Ak ; ®1 ; : : : ; ®` ; ¯1 ; : : : ; ¯` можно найти методом неопредел¼нных коэффициентов.
Без доказательства.
Замечание Метод Коллокаций для рассмотренного в последней Теореме случая не да¼т за-
метных преимуществ.
Замечание
Если квадратичный полином x2 + px + q имеет отрицательный дискриминант (p2 ¡ 4q < 0), то возможно представление
|
|
|
|
|
|
|
x2 + px + q = (x + a)2 + b2 ; |
|
|
||||||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
a = 2 ; b = r |
|
|
|
: |
|
|
||||||||
q ¡ 4 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|||
Пример 11 |
|
|
x ¢ (x2 |
++2x + 2) ¢ dx : |
|
|
|||||||||||||||
Взять интеграл Z |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2 |
|
= |
A |
+ |
|
®x + ¯ |
= |
A ¢ (x2 + 2x + 2) + (®x + ¯) ¢ x |
; |
|||||||||||
x ¢ (x2 + 2x + 2) |
|
x2 + 2x + 2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x ¢ (x2 + 2x + 2) |
|
||||||||||||||
|
|
x2 + 0 ¢ x + 2 |
|
= |
(A + ®) ¢ x2 + (2A + ¯) ¢ x + 2A |
; |
|
||||||||||||||
|
|
x ¢ (x2 + 2x + 2) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x ¢ (x2 + 2x + 2) |
|
|
1 ¢ x2 + 0 ¢ x + 2 = (A + ®) ¢ x2 + (2A + ¯) ¢ x + 2A :
14
|
В соответствии с методом неопредел¼нных коэффициентов |
|
|
|
|
(8) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
2A++ ¯ = 0 |
¯ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
> |
A ® = 1 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
< |
2A = 2 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Школьная система уравнений |
(8) |
имеет решение¯ |
A = 1 |
, |
® = 0 |
, |
¯ = ¡2 ; |
таким |
||||||||||||||
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
+ 2x + 2¶ |
¢ dx = Z |
|
x |
¡ Z |
(x2 |
+ 2x¢ |
+ 1) + 1 = |
||||||||||
Z |
x ¢ (x2 + 2x + 2) ¢ dx = Z µx ¡ x2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
x2 + 2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
2 |
dx |
|
|
||||
|
= Int 5 = ln jxj ¡ 2 ¢Z (x + 1)2 |
+ 1 = Int 12 |
|
= ln jxj ¡ 2 arctg (x + 1) + C : |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема о разложении дробно рациональной функции на простейшие Пусть знаменатель правильной дроби
R(x) = bmxm + bm¡1xm¡1 + bm¡2xm¡2 + : : : + b1x + b0
(x ¡ x1)¹1 ¢ : : : ¢ (x ¡ xk)¹k ¢ (x2 + p1x + q1)º1 ¢ : : : ¢ (x2 + p`x + q`)º`
представляет собой произведение k разных линейных множителей вида (x ¡ xi)¹i è ` разных квадратичных множителей вида (x2 + pjx + qj)ºj ñ отрицательными дискриминантами; ¹i, ºj натуральные числа.
Тогда дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:
R(x) =
= |
|
A11 |
+ |
A12 |
|
|
+ : : : + |
A1; ¹1 |
+ |
|
||||||
|
x ¡ x1 |
(x ¡ x1) |
2 |
|
¹1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x ¡ x1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
+ : : : + |
|
|
|
|
|
||||
+ |
|
Ak1 |
|
+ |
Ak2 |
|
|
+ : : : + |
Ak; ¹k |
|
+ |
|
||||
x ¡ xk |
(x ¡ xk) |
2 |
|
|
¹k |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x ¡ xk) |
|
|
|
||||||
|
®11 x + ¯11 |
®12 x + ¯12 |
|
®1; º1 x + ¯1; º1 |
|
|||||||||||
+ |
|
+ |
|
+ : : : + |
|
+ |
||||||||||
x2 + p1x + q1 |
(x2 + p1x + q1)2 |
(x2 + p1x + q1)º1 |
+ : : : +
15
+ |
®`1 x + ¯`1 |
+ |
|
®`2 x + ¯`2 |
+ : : : + |
|
®`; º` x + ¯`; º` |
: |
x2 + p`x + q` |
|
(x2 + p`x + q`)2 |
|
(x2 + p`x + q`)º` |
Постоянные коэффициенты
A11 ; A12 ; : : : ; A1¹1 ; : : : ; Ak1 ; Ak2 ; : : : ; Ak; ¹k ; ®11 ; ®12 ; : : : ; ®1º1 ; : : : ; ®`1 ; ®`2 ; : : : ; ®`; º` ; ¯11 ; ¯12 ; : : : ; ¯1º1 ; : : : ; ¯`1 ; ¯`2 ; : : : ; ¯`; º`
можно найти методом неопредел¼нных коэффициентов. Без доказательства.
Теорема об интегрировании дробно-рациональной функции Простейшие дроби,
1 |
; |
1 |
; |
®x + ¯ |
; |
®x + ¯ |
|
|
|
|
|
|
|||
x ¡ ° |
(x ¡ °)¹ |
x2 + px + q |
(x2 + px + q)º |
на сумму которых разлагается всякая правильная дробно рациональная функция, могут быть проинтегрированы.
Доказательство |
|
|
|
|
Z |
x ¡ ° |
|
Z |
|
x ¡ ° |
|
|
|
j |
|
¡ |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
d(x ¡ °) |
= ln |
x |
|
|
° |
|
|
+ C ; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
= |
d(x °) |
= (x |
|
|
|
|
°)¡¹ |
|
d(x |
|
|
°) = |
(x ¡ °)¡¹+1 |
+ C ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(x ¡ °)¹ |
(x ¡¡°)¹ |
¡ |
¢ |
¡ |
¡¹ + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹=1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|{z} |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®x + ¯ |
|
|
dx = |
|
|
®x + ¯ |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
®(x + a) + (¯ ¡ ®a) |
|
|
d(x + a) = |
|||||||||||||||||||||||
Z |
|
x2 + px + q |
¢ |
Z (x + a)2 + b2 ¢ |
Z |
|
|
|
|
|
|
¢ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + a)2 + b2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= ® ¢Z |
|
|
(x + a¢)2 |
+ b2 |
|
|
|
|
+ (¯ ¡ ®a) ¢Z |
|
(x + a)2 + b2 = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + a) d(x + a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(x + a) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= 2 |
¢ |
|
|
¡(x + a)2 + b2 ¢ + (¯ ¡ ®a) ¢ |
|
|
(x + a)2 + b2 = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
® |
Z |
|
d (x + a)2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
d(x + a) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= 2 |
¢ ln ¡(x + a)2 + b2¢ + |
|
¡b |
|
|
¢ arctg |
µ |
|
|
b |
¶ + C ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
®a |
|
|
|
|
|
|
|
x + a |
|
|
|
|
|
|
|
16
Z |
(x2 + px + q)º ¢ dx = Z |
((x + a)2 + b2)º ¢ dx = Z |
((x + a)2 + b¡2)º |
¢ d(x + a) = |
|
®x + ¯ |
®x + ¯ |
®(x + a) + (¯ ®a) |
|
= ® ¢Z |
|
|
x + a) d(x + a) |
+ (¯ ¡ ®a) ¢Z |
|||||||
( ¢ |
|
||||||||||
|
((x + a)2 + b2)º |
||||||||||
= |
® |
|
¢ |
|
d (x + a)2 + b2 |
|
|||||
2 |
|
|
|
((¡x + a)2 + b2)º¢ + (¯ ¡ ®a) ¢ |
|||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
® |
|
(( |
x |
a 2 + b2) |
º+1 |
+ (¯ ¡ ®a) ¢Z |
||||
= |
|
|
¢ |
|
+ ) ¡ |
|
|
||||
2 |
|
|
|
¡º + 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
d(x + a)
((x + a)2 + b2)º =
d(x + a)
((x + a)2 + b2)º =
d(x + a)
((x + a)2 + b2)º :
{z }
= Iº
Интеграл |
d x + a) |
|
Iº = Z |
||
( |
||
((x + a)2 + b2)º |
будет взят после изучения темы "интегрирование по частям".
Замечание До сей поры теорема о замене переменной под знаком интеграла использовалась,
по сути дела, с применением схемы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Z |
f(g(x)) ¢ g0(x) dx = Z f(g(x)) ¢ d(g(x)) = |
|
|
|
|
= Z |
f(y) ¢ dy |
|
||||||||||
|
y = g(x) |
|
|
(9) : |
|||||||||||||||
Идея схемы состояла в том, что интеграл |
R |
f(y)dy |
бер¼тся легче, нежели ис- |
||||||||||||||||
ходный интеграл |
f(g(x)) g0(x) dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Íî |
действовать можно и прямо противоположным образом: |
|
|
||||||||||||||||
Z |
|
|
R |
|
|
|
= Z |
f(g(t)) ¢ d(g(t)) = Z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f(x) ¢ dx = |
|
f(g(t)) ¢ g0(t) dt : |
|
|||||||||||||||
|
x = g(t) |
(10) |
|||||||||||||||||
Идея этой схемы срабатывает, если интеграл |
|
|
f(g(t)) |
¢ |
g0(t) dt бер¼тся легче, |
||||||||||||||
чем интеграл |
f(x) |
¢ |
dx : |
|
|
R |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действия по первой схеме, по формуле (9), принято называть "заменой переменных". Действия по второй схеме, по формуле (10), принято называть "подстановкой".
17
Во многих случаях "трудный" интегал может быть взят с помощью такой подстановки, после которой останется взять интеграл от дробно рациональной функции.
Пример 12 |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Взять интеграл |
|
|
|
x |
¢ dx : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим подстановку t = p |
|
, èëè |
x = t2: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Z |
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
= t x = t2 |
|
= Z |
|
|
= 2 ¢Z |
t2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
t dt |
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
¢ dx = |
dx = d(t2) = 2t ¢ dt |
|
t ¢ 2 ¢ |
|
|
|
¢ dt = : |
|||||||||||||||||||
x + 1 |
t2 + 1 |
t2 + 1 |
||||||||||||||||||||||||||
= 2 ¢Z ( |
|
t2 + 1¡ |
|
¢ dt = 2 ¢Z µ1 ¡ t2 |
+ 1¶ |
¢ dt = 2 ¢ |
µZ dt ¡ Z t2 + 1¶ |
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t2 + 1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
= 2t ¡ arctg t + C = 2 px ¡ 2 arctg px + C :
Пример 13 |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
1 ¡ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
dx : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Взять интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 + p3 x + 1 ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим подстановку t = p6 |
|
|
|
, |
|
|
èëè x = t6 ¡ 1: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
= t2 |
p |
|
= t3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 = t |
|
|
|
x + 1 |
x + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
I = |
|
1 ¡ |
|
x + 1 |
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Z |
|
1 + p3 x + 1 |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t6 ¡ 1 dx = d(t6 ¡ 1) = 6t5 ¢ dt |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
1 + t2 |
¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¢Z |
|
t2 |
+ 1 |
¢ |
|
|
|
|
|
¡ |
µZ |
t2 |
+ 1 |
¡ Z |
t2 |
+ 1 |
¶ |
|
||||||||||||
= |
1 ¡ t3 |
|
|
|
6t5 |
|
dt = |
|
6 |
|
|
|
t8 |
¡ t5 |
|
|
|
dt = |
|
|
6 |
|
t8 |
¢ dt |
|
|
t5 |
¢ dt |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + 6 ¢Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= ¡6 ¢Z |
t2 +¢ |
t2 |
+¢ |
1 = ¡6 ¢ I1 + 6 ¢ I2 : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t8 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
t5 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Далее имеет смысл | |
|
|
{z |
|
|
|
} |
|
|
| |
|
|
|
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 , I2 взять |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"разветвить" процесс и каждый из интегралов
отдельно. Подынтегральные выражения в I1 , I2 являются неправильными дробями, следовательно, каждую из этих дробей нужно представить в виде суммы полинома и
18
правильной дроби.
С первым из интегралов разбер¼мся подробно: |
|
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
¢ dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I1 = Z |
t2 |
+¢ |
1 = Z |
t8 + t6 |
¡ |
t6 |
¡ |
t4 |
t2 + 1 |
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t8 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ t4 |
+ t2 |
|
|
|
|
1 + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
( |
t8 |
+ |
t6 |
|
|
|
t6 |
+ |
t4 |
|
|
+ (t4 + t2) |
|
|
(t2 |
+ 1) + 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
) ¡ ( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ dt = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
µ t2 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
t2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
= Z |
|
¡ t2 |
+ 1 |
|
+ t2 |
+ 1 |
|
¡ t2 |
+ 1 |
|
+ t2 + 1¶ ¢ dt = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t8 + t6 |
|
|
t6 |
+ t4 |
|
|
|
|
t4 |
+ t2 |
t2 |
+ 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= Z |
µ |
|
|
¢t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t6 |
+ 1 |
|
|
¡ |
|
t4 |
¢t2 |
+ 1 |
|
|
|
+ |
t2 |
¢t2 |
+ 1 |
|
|
|
¡ t2 |
+ 1 |
+ t2 + 1¶ |
¢ dt = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
(t2 + 1) |
|
|
|
|
|
(t2 |
+ 1) |
|
|
(t2 + 1) |
|
|
t2 |
+ 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t7 |
t5 |
t3 |
|
|||||||
= Z µt6 ¡ t4 + t2 ¡ 1 + |
|
|
|
¶ ¢ dt = |
|
|
|
¡ |
|
+ |
|
¡ t + arctg t + C1 : |
|
||||
t2 + 1 |
7 |
5 |
3 |
|
|||||||||||||
Для второго, более л¼гкого интеграла, предъявим только результат: |
|
||||||||||||||||
I2 = Z |
t5 dt |
t4 |
t2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
¢ |
= |
|
¡ |
|
+ |
|
¢ ln(t2 + 1) + C2 : |
|
|||||||||
t2 + 1 |
4 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||
Ясно, что теперь осталось лишь аккуратно выписать линейную комбинàöèþ |
|||||||||||||||||
¡6 ¢ I1 + 6 ¢ I2 и вернуться в ней к старой переменной, заменяя всюду t íà |
p6 x + 1. |
Предоставим это слушателям.
Определение
Функция R2(u; v) есть есть дробно рациональная функция двух переменных u è v , когда она является дробно рациональной функцией и переменной u (åñëè v считать константой), и переменной v (åñëè u считать константой).
Замечание |
Z R2(sin x; cos x) ¢ dx можно свести к интегралу от дроб- |
Интеграл вида |
но рациональной функции с помощью так называемой универсальной тригонометри-
19
ческой подстановки |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
= t : |
|
|
|
|
|
(11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство (11) означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = 2 arctg t ; dx = |
2 dt |
; |
sin x = |
2 ¢ tg x2 |
= |
2t |
; |
cos x = |
1 ¡ tg2 x2 |
= |
1 ¡ t2 |
: |
||||
|
|
|
|
|
1 + tg2 x2 |
|
||||||||||
|
1 + t2 |
|
|
1 + tg2 x2 |
1 + t2 |
|
|
|
1 + t2 |
|
||||||
Пример 14 |
Z |
4 sin x + 3 cos x + 5 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Взять интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение Применим универсальную тригонометрическую подстановку:
Z Z dx
4 sin x + 3 cos x + 5 =
Z
=
dt
t2 + 4t + 4
|
|
|
|
|
|
2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 + t2 |
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
2t |
|
|
|
1 ¡ t2 |
|
|
|
||||
4 |
|
|
+ 3 |
|
|
+ 5 |
|||||||||
¢ 1 + t2 |
¢ |
1 + t2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= Z |
d (t + 2) |
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
= ¡ |
|
+ C |
||||||||||||
(t + 2)2 |
t + 2 |
Z |
|
|
|
|
2 dt |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ t2 |
|
|||
1 |
|
= |
||||||
8t + 3 ¡ 3t2 + 5 + 5t2 |
||||||||
|
|
|
|
1 + t2 |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
= ¡ |
|
+ C : |
|
|||||
tg x2 + 2 |
|
Теорема о формуле интегрирования по частям для неопредел¼нного интеграла
Z |
u(x) ¢ v0(x) ¢ dx = u(x) ¢ v(x) ¡ |
Z |
v(x) ¢ u0(x) ¢ dx ; |
(12) |
|
|
Z u(x) ¢ d (v(x)) = u(x) ¢ v(x) ¡ Z v(x) ¢ d (u(x)) ; |
|
|||
|
Z |
u ¢ dv = u ¢ v ¡ Z |
v ¢ du : |
(13) |
Доказательство Приравняем производные левой и правой частей (12):
µZ ¶0 µ Z ¶0 u(x) ¢ v0(x) ¢ dx = u(x) ¢ v(x) ¡ v(x) ¢ u0(x) ¢ dx ;
20