Литература и лекции / Series

¼

3

¼

2

¼

1

1

x

¯¡

2¼

a0 =

¡

x2dx = ¼ ¢

¯

¼ =

3 ;

¼

Z

3

¯

¼

¯

a

=

1

x

2

cos(nx)dx

2¼

4

sin(n¼) +

4

cos(n¼) =

n

4

:

¼ Z

=

µ n

¡ ¼n3

¶ ¢

¢

(¡1) ¢ n2

n n¸1

n2

|

=0

}

| {z

n

Таким образом,

{z

}

¡¼

=(¡1)

¼2

+1

n

4

X

(¡1)

¢

¢ cos(nx) :

Φ(x) =

3

+

n2

n=1

y = x2 ïðè N = 3; 6; соответственно.

N

¼2

X

4

Íà Ðèñ. 6; 7 показаны графики функции y =

+

(¡1)n ¢

¢ cos(nx) è

3

n=1

n2

¼2

+1

n

4

2

+

X

(¡1)

¢

¢ cos(nx) = x ;

3

n=1

n2

что равносильно

+1

1

1

¢ µx2 ¡

¼2

¶;

X

n=1(¡1)n ¢

n2

¢ cos(nx) =

4

3

(31)

8x 2 [¡¼; ¼] ; то равенство (31) справедливо и при x = ¼ : Тогда

n=1

(¡1)

¢ n2 ¢ cos(

n ) = 4

¢ µ

¡

3

¶

+1

n

1

1

2

¼2

X

n¼

¼

;

|

{z

}

=(

¡

1)

а это да¼т значение суммы числового ряда, рассмотренного в Примерах 6 и 8:

+1

1

¼2

X

=

:

(32)

n=1

n

2

6

Для вычисления сумм прочих рядов, обсуждаемых в Примере 6, нужно разло-

жить в ряд Фурье на промежутке [¡¼; ¼] функции f(x) = x4;

f(x) = x6;

f(x) = x8:

Замечание

Ряд Фурье функции f(x) может быть построен для промежутка [¡H; H]: Â

этом случае

+ n=1 ³an cos

³ H

´

³ H

´´

Φ(x) = 20

+ bn sin

;

a

+1

n¼x

n¼x

X

H

H

³

´

H

³

´

H

H

H

a

1

f(x)dx ;

a

=

1

f(x) cos

n¼x

dx ; b

1

Z

f(x) sin

n¼x

dx :

= H

n = H

0

Z

n

n¸1

H

Z

H

H

¡

¡

¡