Литература и лекции / MathAn20180303
.pdfТеорема о достаточном условии возрастания функции на открытом промежутке Пусть f : R ! R. Пусть:
1) f(x) дифференцируема на открытом промежутке (a; b);
2) f0(x) > 0, 8x 2 (a; b).
Тогда
f(x) " на промежутке (a; b).
Доказательство
Дифференцируемость функции f(x) в любой точке промежутка (a; b), согласно
теореме о достаточном условии непрерывности функции, означает и непрерывность функции в любой точке этого промежутка.
Возьм¼м любые два числа x1 2 (a; b), x2 2 (a; b), такие, что x1 < x2. На проме- жутке [x1; x2] для функции f(x) выполнены условия теоремы Лагранжа. Следователь-
íî, |
9 |
c |
2 |
(x |
; x |
) |
такое, что |
f0(c) = f(x2)¡f(x1) |
|
|
|
f(x |
) |
¡ |
f(x |
) = f0(c) |
¢ |
(x |
2 |
¡ |
x |
). |
||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
x2¡x1 , |
èëè |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||
Заметим, что c |
2 |
(a; b), стало быть, f0(c) > 0 : Но тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x1 < x2 =) f(x2) ¡ f(x1) = f0(c) ¢ (x2 |
¡ x1) > 0 =) f(x1) < f(x2) : |
|
|
|
||||||||||||||||||
Доказательство закончено. |
|{z} | |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>0 |
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии убывания функции
на открытом промежутке слушателям предстоит самостоятельно.
Теорема о первом достаточном условии локального минимума функции в точке Пусть f : R ! R. Пусть:
1) f(x) дифференцируема на промежутке (x0 ¡ ±; x0 + ±) (òî åñòü, â ± окрестности точки x0);
2) f0(x0) = 0;
3) f0(x) < 0, 8x 2 (x0 ¡ ±; x0);
11
4) f0(x) > 0, 8x 2 (x0; x0 + ±).
Тогда
f(x) достигает локального минимума в точке x0.
Доказательство
Дифференцируемость функции f(x) во всех точках промежутка (a; b) означает и непрерывность е¼ во всех точках промежутка (a; b).
Рассмотрим произвольную точку x1 2 (x0 ¡±; x0) : По теореме Лагранжа суще-
ствует точка c |
1 |
2 |
(x |
; x |
) такая, что |
f0(c |
) = f(x0)¡f(x1) |
|
||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
x0¡x1 |
, следовательно, |
|||||
f(x0) ¡ f(x1) = f0(c1) ¢ (x0 ¡ x1) < 0 =) f(x1) > f(x0) ; 8x1 2 (x0 ¡ ±; x0) : |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<0 |
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
произвольную точку |
x2 2 (x0; x0 + ±) : По теореме Лагранжа суще- |
||||||||||||||
| {z } | |
|
{z |
} |
|
||||||||||||
ствует точка c |
2 |
2 |
(x |
; x |
) такая, что |
f0(c |
) = f(x2)¡f(x0) |
|
||||||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
x2¡x0 |
, следовательно, |
|||||
f(x2) ¡ f(x0) = f0(c2) ¢ (x2 ¡ x0) > 0 =) f(x2) > f(x0) ; 8x2 2 (x0; x0 + ±) : |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
>0 |
} |
|
|
|
|
|
Èç äâóõ |
|
|
| {z } | |
|
{z |
|
|
f(x) > f(x0) ; 8 x 2 (x0 ¡±; x0 +±), |
фиолетовых неравенств следует, что
x 6= x0 ; а это, по определению, и означает наличие минимума функции f(x) в точке
x = x0 :
Доказательство закончено.
Замечание Сформулировать и доказать теорему о первом достаточном условии существова-
ния локального максимума функции в точке слушателям предстоит самостоятельно.
Теорема Коши
Пусть f : R ! R; g : R ! R: Пусть функции f(x) ; g(x) :
1)непрерывны на замкнутом промежутке [a; b] ;
2)дифференцируемы на открытом промежутке (a; b) ;
12
3) |
g(b) 6= g(a) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
на открытом промежутке (a; b) |
нет точки, в которой производные |
|||||||||
f0(x) ; g0(x) обращались бы в ноль одновременно. |
|||||||||||
Тогда |
f(b) ¡ f(a) |
|
f0(c) |
|
|||||||
9 |
c |
2 |
(a; b) такое, что |
= |
|||||||
|
g |
(c) . |
|||||||||
|
|
g(b) |
¡ |
g(a) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Доказательство Рассмотрим вспомогательную функцию
'(x) = f(x) ¡ g(x) ¢ f(b) ¡ f(a) ; g(b) ¡ g(a)
которая:
1)непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] ;
2)дифференцируема на открытом промежутке (a; b) ; ïðè÷¼ì,
|
'0(x) = f0(x) |
¡ |
g0 |
(x) |
f(b) ¡ f(a) |
; |
||
|
|
|
|
¢ g(b) |
¡ |
g(a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) '(a) = '(b) = |
g(b)f(a) ¡ g(a)f(b) |
|
|
|
|
|
||
g(b) ¡ g(a) . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Таким образом, функция '(x) подчиняется условиям теоремы Ролля. Согласно этой теореме, существует такое c 2 (a; b) ; ÷òî '0(c) = 0 : Но тогда
'0(c) = f0(c) ¡ g0(c) ¢ f(b) ¡ f(a) = 0 ; g(b) ¡ g(a)
следовательно,
|
f0(c) = g0(c) |
f(b) ¡ f(a) |
; |
f0(c) |
= |
f(b) ¡ f(a) |
|
: |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
¢ g(b) |
¡ |
g(a) |
|
(c) |
|
g(b) |
¡ |
g(a) |
|
||||
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|||||||
Доказательство закончено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
о первом правиле Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть f : R ! R; g : R ! R: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть существует ± > 0 |
такое, что функции f(x) ; g(x) : |
13
1)непрерывны на полуоткрытом промежутке [a; a + ±) ;
2)дифференцируемы на открытом промежутке (a; a + ±) ;
3)f(a) = g(a) = 0 ;
4)g0(x) =6 0 на открытом промежутке (a; a + ±) ;
5) существует и конечен предел |
lim |
f0(x) |
= A . |
|
|
||||||||||
g0(x) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x a+0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
существует, конечен и принимает такое же значение предел |
||||||||||||||
lim |
f(x) |
= A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x!a+0 |
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание к формулировке теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
¤ |
|||
отношения производных этих функций. Краткая запись |
|
|
|||||||||||||
Предел отношения двух функций, дающий неопредел¼нность |
00 |
; равен пределу |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
утверждения теоремы: |
|||
|
|
lim |
f(x) |
= |
0 |
lim |
|
f0(x) |
: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
·0¸ |
|
|
|
|||||||||
|
|
x!a+0 |
g(x) |
= x!a+0 g0(x) |
|
|
Доказательство Зададим произвольное " > 0 :
Нам нужно показать, что существует ±0 = ±0(") > 0 ; такое, что из неравенства
0 < b ¡ a < ±0(") |
(2) |
вытекает справедливость неравенства
¯
¯¯f(b)
¯g(b)
¯ |
|
|
¯ |
< " : |
(3) |
¡ A¯ |
||
¯ |
|
|
То, что привычное имя переменной x в определении предела заменено на b ; на сам факт существования предела не влияет.
По условию теоремы |
f0(x) |
|
||
lim |
= A ; |
|||
g0(x) |
|
|||
x a+0 |
|
|||
! |
|
|
|
значит, существует ±1 = ±1(") > 0 ; такое, что из неравенства 0 < x ¡ a < ±1(") ; èëè,
14
что то же самое, a < x < a + ±1(") ; вытекает справедливость неравенства
|
|
|
|
¯g00(x) |
¡ A¯ |
< " : |
|
(4) |
|
|
|
|
|
¯ |
f (x) |
¯ |
|
|
|
Пусть |
±0 |
(") = min (±0 |
("); ±) ; |
¯ |
тогда |
из неравенства¯ |
a < x < a + ±0(") |
и подавно |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
вытекает справедливость неравенства (4).
Пусть число b подчиняется требованию 0 < b¡a < ±0(") ; или, что то же самое, a < b < a + ±0(") : Докажем, что отсюда вытекает верность неравенства (3).
Функции f(x) |
è g(x) на промежутке [a; b] |
удовлетворяют условиям теоремы |
||||||||||||||||||||||||
Коши. Согласно этой теореме, |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
0( |
|
( )) |
|
|
|
|
||||||
|
|
g(b) ¡ z}|{( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f(b) ¡ f(a) |
|
= |
|
|
f(b) |
= |
f |
0(c(b)) |
; |
|
|
(5) |
||||||||||||
|
|
|
|
g a |
|
|
|
|
g b |
|
g |
|
|
c b |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|{z} |
( ) |
|
|
|
|
|
b < a + ±0(") ; |
|
a < c(b) < |
|||||||||||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прич¼м, согласно этой же теореме, a < c b |
< b ; íî |
|
|
|
|
|
|
òàê ÷òî |
|
|||||||||||||||||
a + ±0(") ; следовательно, для x = c(b) выполняется неравенство (4), |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¯g00(c(b)) |
|
¡ A¯ < " ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
¯ |
f (c(b)) |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
откуда, согласно |
, |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯g(b) ¡ A¯ < " : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
¯ |
f(b) |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство закончено. |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство для левостороннего предела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
lim |
f(x) |
= |
0 |
|
lim |
|
|
f0(x) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
g0(x) |
|
|
|||||||||||||||||
|
x!a¡0 |
g(x) |
· |
¸ = x!a¡0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
строится аналогично. Доказательство для обычного предела |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x!a |
g(x) |
· |
0 |
¸ = x!a |
|
g0(x) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
lim |
f(x) |
= |
0 |
|
lim |
|
f0(x) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рассматривается как совокупность доказательств для двух односторонних пределов.
15
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
0 |
¤ |
|
|
дится продлять цепь замен функций на их производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Иногда для нахождения предела, дающего неопредел¼нность вида |
|
0 |
|
, прихо- |
||||||||||||||||||
x!0 |
x2 |
·0¸ |
x!0 |
(x2)0 |
x!0 |
2x |
· |
0 |
¸ |
|
|
|
||||||||||
lim |
ex2 ¡ cos x |
= |
0 |
|
= lim |
(ex2 |
¡ cos x)0 |
= lim |
ex2 |
¢ 2x + sin x |
= |
0 |
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= lim |
(ex2 ¢ 2x + sin x)0 |
|
= lim |
ex2 ¢ 2x ¢ 2x + ex2 ¢ 2 + cos x |
= |
0 + 2 + 1 |
= |
3 |
: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||
x 0 |
(2x)0 |
|
|
x 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
! |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справедливости ради следует отметить, что данный предел до взятия вторых производных можно и не доводить. Действительно,
lim |
ex2 |
2x + sin x |
= lim |
e |
x |
2 |
sin x |
lim e |
x |
2 |
+ |
1 |
lim |
sin x |
= 1 + |
1 |
= |
3 |
: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
¢ |
2x |
|
|
+ 2x ¶ |
|
|
2 ¢ |
x |
2 |
2 |
||||||||||||||
x!0 |
x!0 |
µ |
|
|
= x!0 |
|
|
|
x!0 |
|
|
|
||||||||||||
Теорема |
|
о втором правиле Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Пусть f : R ! R; |
g : R ! R: |
Пусть функции f(x), g(x): |
|
|
|
|
1)непрерывны на открытом промежутке (a; b) ;
2)дифференцируемы на открытом промежутке (a; b) ;
3) |
lim f(x) = |
1 |
, |
x |
lim g(x) = |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
a+0 |
|
|
! |
a+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
g0(x) = 0 |
на открытом промежутке (a; b), |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0(x) |
|
|
|
|
|||
5) |
существует и конечен предел |
lim |
= A . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a+0 |
g0 |
(x) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
существует, конечен и принимает такое же значение предел |
||||||||||||||||||||||
lim |
|
f(x) |
= A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x!a+0 |
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание к формулировке теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ ¤ |
|||||||||||
делу отношения производных этих функций. Краткая запись |
|
||||||||||||||||||||||
Предел отношения двух функций, дающий неопредел¼нность |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ; равен пре- |
|
|
|
|
|
x!a+0 |
g(x) |
h1i |
|
x!a+0 |
|
g0(x) |
утверждения теоремы: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
f(x) |
= |
|
1 |
|
= |
lim |
|
f0(x) |
: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
Доказательство |
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
g(x) = |
0 |
|
|
|
lim |
|
µg(x) |
¶x |
= |
lim |
|
¡(g(0 x))2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
L = lim |
f(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f(x) |
·0¸ = x!a+0 |
µf(x) |
¶x |
|
|
|
|
|
|
¡(f(x))2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
x!a+0 |
g(x) |
|
|
|
1 |
|
|
|
x!a+0 |
|
|
x!a+0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
f0(x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
lim |
|
|
g0(x) |
|
|
f(x) |
2 |
|
|
|
|
|
lim |
µg(x) |
¶ |
2 |
= x!a+0 |
µg(x)¶ |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
à |
|
|
|
|
¢ µ |
|
|
|
¶ ! = x!a+0 |
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
lim |
f(x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||
|
x!a+0 |
f0(x) |
|
g(x) |
|
|
f0(x) |
|
|
|
|
lim |
|
|
f0(x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g0(x) |
|
|
|
|
|
|
g0(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= µx!a+0 |
|
g(x) ¶ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
x!a+0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f(x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f0(x) |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f0(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g0(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g0 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a+0 |
|
|
|
|
|
|
|
x a+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство первого и последнего выражений в этой цепи есть уравнение относительно исходного предела:
L |
|
|
|
L2 |
|
L |
lim |
f(x) |
= lim |
f0(x) |
: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f0(x) =) |
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
lim |
|
= x!a+0 |
g(x) |
x!a+0 |
g0(x) |
|
|||||
|
x |
g0(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
! |
a+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство закончено.
Определение
Пусть f : R ! R. Пусть n 2 N.
Говорят, что функция f(x) n раз дифференцируема в точке x0, åñëè â
этой точке существуют и конечны производные всех порядков начиная от первого и заканчивая n ì.
Говорят, что функция f(x) n раз дифференцируема на промежутке, если она n раз дифференцируема в каждой точке промежутка.
Определение
def
1! = 1,
17
def
2! = 1 ¢ 2 = 2,
def
3! = 1 ¢ 2 ¢ 3 = 6,
¢ ¢ ¢
def
n! = 1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ : : : ¢ n = (n ¡ 1)! ¢ n,
def
0! = 1.
Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Пусть f : R ! R:
Пусть существует ± > 0 такое, что f(x) |
(n + 1) |
раз дифференцируема |
||||||||||||||||||||||
на открытом промежутке (x0 ¡ ±; x0 + ±) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 2 (x0 ¡ ±; x0 + ±) ; x 6= x0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9 c 2 (x0; x) (åñëè x > x0), |
|
ëèáî 9 c 2 (x; x0) (åñëè x < x0) |
такое, что |
|||||||||||||||||||||
f(x) = f(x0) + |
f0(x0) |
(x ¡ x0)1 |
+ |
|
f00(x0) |
(x ¡ x0)2 + |
||||||||||||||||||
|
1! |
|
|
|
2! |
|
||||||||||||||||||
|
|
+ : : : + |
|
f(n)(x0) |
(x ¡ x0)n + Rn(x) ; |
(6) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||||||||||
ãäå Rn(x) т.н. остаточный член в форме Лагранжа, |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(n+1)(c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Rn(x) = |
|
|
|
|
(x ¡ x0)n+1: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|||||||||||||||||||
Замечания к формулировке теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Величина c зависит от x0 è îò x ; |
поэтому иногда пишут c = c(x0; x) : |
|||||||||||||||||||||||
Поскольку 0! = 1 ; |
(x ¡ x0)0 = 1 ; |
f(0)(x0) = f(x0) ; формулу Тейлора иногда |
||||||||||||||||||||||
пишут в св¼рнутом виде, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
n f(k)(x0) |
(x ¡ x0)k + |
f(n+1)(c) |
(x ¡ x0)n+1 : |
(7) |
|||||||||||||||||||
=0 |
k! |
|
|
(n + 1)! |
|
|||||||||||||||||||
Xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=R{zn(x) |
|
|
18
Равенство (7) равноценно соотношению
n |
f(k)(x0) |
|
f(n+1)(c) |
|
|||
Xk |
|
|
|
|
|
|
|
k! |
(x ¡ x0)k = (n + 1)! (x ¡ x0)n+1 : |
(8) |
|||||
Rn(x) = f(x) ¡ |
|||||||
=0 |
|
|
|
|
|
|
Доказательство
Зафиксируем величины x0 è x (временно будем считать их константами). Рассмотрим две вспомогательные функции новой переменной t ;
n |
f(k)(t) |
|
|
|
Xk |
|
(x ¡ t)k; |
g(t) = (x ¡ t)n+1: |
|
k! |
||||
'(t) = f(x) ¡ f(t) ¡ |
||||
=1 |
|
|
|
С помощью (6), (7) можно убедиться в том, что '(x0) = Rn(x) ; '(x) = 0 : Кроме того, g(x) = 0 :
Найд¼м производную первой из вспомогательных функций. Это некоротко.
'0(t) = ¡f0(t) ¡ Ã |
n |
|
k) |
|
|
!0 |
|
||||||
|
f( (t) |
(x ¡ t)k |
= |
||||||||||
=1 |
|
k! |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
µf |
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
||
n |
|
+1) |
|
|
|
|
k) |
|
|
|
|
||
= ¡f0(t) ¡ k=1 |
(k k! |
(t)(x ¡ t)k + f(k!(t) ¢ k ¢ (x ¡ t)k¡1 ¢ (¡1)¶ = |
|||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
µ¡ |
f(k+1) t |
|
|
|
f |
(k) t) |
(x ¡ t)k¡1¶ = |
|||
= ¡f0(t) + k=1 |
|
|
k! ( )(x ¡ t)k + |
(k |
(1)! |
||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡
(в разв¼рнутом виде)
=¡f0(t) +
+µ¡f(2)(t)(x ¡ t)1 + f(1)(t)(x ¡ t)0¶+ 1! 0!
+ µ¡ |
f |
(3) |
|
(2) |
(x ¡ t)1¶+ |
||||
(t) |
(x ¡ t)2 + |
|
f |
(t) |
|||||
|
2! |
|
|
1! |
|||||
+ µ¡f 3!(t) |
(x ¡ t)3 + |
|
f |
2!(t) |
(x ¡ t)2¶ |
+ |
|||
|
|
(4) |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
+ ¢ ¢ ¢ |
+ |
|
|
|
|
19
+ |
µ¡(n |
(1)!(x ¡ t)n¡1 |
+ |
|
(n ¡ 2)! |
(x ¡ t)n¡2 |
¶+ |
||||||||
|
|
|
f(n) t) |
|
|
f(n 1)(t) |
|
|
|
||||||
+ µ¡ |
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
¶ |
|
||||
f(n+1) t |
|
|
f(n) t) |
|
|
|
|||||||||
|
|
( ) |
(x ¡ t)n + |
( |
|
(x ¡ t)n¡1 |
= |
||||||||
|
|
n! |
(n 1)! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
= ¡f(n+1)(t)(x ¡ t)n : n!
Члены, выделенные одинаковыми цветами, взаимно уничтожаются.
Найд¼м производную второй из вспомогательных функций. Это коротко.
g0(t) = (n + 1) ¢ (x ¡ t)n ¢ (¡1):
Согласно теореме Коши, на промежутке с концами x0 ; x существует такое значение c; ÷òî
|
|
|
|
|
'(x) ¡ '(x0) |
|
= |
'0(c) |
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
g(x) ¡ g(x0) |
g0(c) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
f(n+1)(c) |
¢ (x ¡ c)n |
|||||||||
0 |
¡ |
R |
(x) |
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
0 ¡ (x ¡ x0) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||
|
|
|
|
¡(n + 1) ¢ (x ¡ c) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Rn(x) |
= |
|
|
|
|
f(n+1)(c) |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
n! ¢ (n + 1) |
|
|||||||||
|
|
|
(x ¡ x0) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f(n+1)(c) |
¢ (x ¡ x0)n+1 : |
||||||||||||||
|
Rn(x) = |
|
|
||||||||||||||||||
|
(n + 1)! |
Доказательство закончено.
Замечание Существуют вариант формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
n |
f(k)(x0) |
|
|
|
Xk |
|
|
(x ¡ x0)k + o((x ¡ x0)n) ; |
(9) |
f(x) = |
k! |
|||
=0 |
|
|
|
|
20