Литература и лекции / КомплексныеЧисла
.pdfЗамечания Напомним, что в определении вещественных функций вещественного параметра
говорится, что значение функции для каждого значения параметра единственно. Все функции, с которыми нам приходилось иметь дело до сей поры, были одно-
значными.
 ÒÔÊÏ иногда используются многозначные функции. Каждому значению своего параметра они могут ставить в соответствие несколько или даже бесконечно много разных значений функции.
Определение
Корень квадратный из комплексного числа z = a + b ¢ { åñòü множество
âñåõ комплексных чисел u = c + d ¢ { таких, что u2 = z : Обозначение: pz :
Пусть n 2 N; |
n > 2 : Корень степени n из комплексного числа |
||||
z = a + b ¢ { åñòü множество всех комплексных чисел u = c + d ¢ { таких, |
|||||
÷òî un = z : |
|
|
|
|
|
Обозначение: |
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
pz : |
||||
Замечание |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно определению из школьной программы, p0 = 0 (n 2 N; n ¸ 2). Такое |
определение сохраняет силу и для корня из комплексного нуля. Корень натуральной степени из нуля единственен.
Замечание Попытаемся найти корень квадратный из комплексного числа непосредственно
по определению.
u = c + d ¢ { () u2 = (c2 ¡ d2) + { ¢ 2cd = a + { ¢ b = z ()
11
½ |
2cd = b |
¯ |
|
|
|
c2 ¡ d2 = a |
¯ |
: |
(11) |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
Ïðè b =6 0 система (11) решается методами, изученными в средней школе.
стема имеет два решения: |
|
|
|
|
|
|
|
b |
¢p2 |
¯ |
|
|
¡ |
|
|
||||||||||||||
8 |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
> |
|
|
|
|
p |
a2 |
+ b2 |
+ a |
|
|
p |
a2 + b2 |
¡ a |
¯; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ b |
2 |
|
|
a |
¯ |
|
d2 |
= d1 |
|
|
|||||||||
> |
|
|
|
|
|
pa |
|
|
|
½ |
¯ |
|
|||||||||||||||||
> |
c1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
¯ |
c2 |
= c1 |
|
|||||||
<d1 = |
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¯ |
|
|||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно: |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
a + { ¢ b = fc1 + { ¢ d1 ; ¡c1 ¡ { ¢ d1g :
Ñè-
(12)
Случай b = 0 достаточно прост, самостоятельное разбирательство с ним предоставляется слушателям.
Замечание
Поиск корня степени n (ãäå n > 2) из комплексного числа непосредственно по определению свед¼тся к решению некоего алгебраического уравнения степени n : Занятие не для слабонервных.
Теорема о корне из комплексного числа
Пусть n 2 N; n ¸ 2 ; |
z 2 C; |
z 6= 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
arg z |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
pz = n pjzj ¢ exp |
³{ ¢ |
|
|
|
|
´; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
n jzj ¢ exp µ{ ¢ arg zn+ 2¼¶; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
jzj ¢ exp µ{ ¢ arg zn+ 4¼¶; |
: : : ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg z + 2(n |
|
|
1)¼ |
|
|
|
|
||||||
n |
|
jzj ¢ exp µ{ ¢ |
¡ |
¶ |
o |
; |
(13) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
или, что то же самое,
|
|
|
pz = n pjzj ¢ ³cos n |
+ { ¢ sin |
n |
|
´ |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
arg z |
|
|
|
|
arg z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n jzj ¢ µcos arg zn+ 2¼ + { ¢ sin arg zn+ 2¼¶; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
jzj ¢ µcos arg zn+ 4¼ |
+ { ¢ sin arg zn+ 4¼¶; : : : ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
jzj ¢ µcos arg |
|
+ n |
¡ |
|
+ { ¢ sin |
|
|
|
n |
¡ |
|
¶ |
; |
(14) |
|||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2(n |
1)¼ |
|
|
|
|
arg z + 2(n |
|
|
|
1)¼ |
|
o |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или ещ¼ один, более компактный вариант,
|
|
|
|
|
|
arg z + 2k¼ |
|
arg z + 2k¼ |
|
n |
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
pz = n pjzj ¢ |
³cos |
|
+ { ¢ sin |
|
´ok=0; 1; 2; ::: ; n¡1 : (15) |
||||
n |
n |
Без доказательства.
Замечание Доказательство теоремы сводится к проверке того, что каждый элемент списка в
(14), будучи возвед¼н в степень n ; даст число z ; а также того, что элементы данного
списка отличны друг от друга.
Уравнение un = z в определении корня есть алгебраическое уравнение степени n ; которое имеет, согласно основной теореме алгебры, n корней. Следовательно, список в (14) должен содержать именно n элементов.
Замечание p
Величина n jzj есть обычный арифметический корень из вещественного поло-
жительного числа.
Применять формулы (13) (15) гораздо удобнее, чем вычислять корни по опре-
p
делению (как это сделано в (11) (12)). Формулы (13) (15) показывают, что n z это не одно число, а набор из n комплексных чисел. Элементы набора нумеруются так: ветвь номер 0, ветвь номер 1, ветвь номер 2, : : : ; ветвь номер (n ¡ 1) :
13
Пояснения по поводу слова "Ветвь" даются с помощью Рис. 3. Части (а), (б), (в),
(г) построены для случаев n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 соответственно.
(à) |
(á) |
(â) |
(ã) |
|
|
Ðèñ. 3 |
|
Возьм¼м произвольное отличное от нуля комплексное число z и изобразим его точкой на комплексной плоскости. Рассмотрим семейство всех комплексных чисел u таких, что u = ¸z ; ãäå ¸ вещественное число, 0 · ¸ · 1 : Очевидно, что все такие числа u лежат на радиус векторе числа z (на Рис. 3 этот отрезок показан ч¼рным
цветом).
Корень n й степени из z , согласно (14), есть множество чисел, изображаемых на Рис. 3 точками с надписями k = 0 (голубая), k = 1 (бирюзовая), k = 2 (çåë¼íàÿ),
k = 3 (красная), k = 4 (фиолетовая).
p p
Очевидно, что множество чисел n u = n ¸z (ãäå 0 · ¸ · 1) образует на
комплексной плоскости зв¼здочку, или цветочек, имеющий n лепестков (которые на
Рис. 3 показаны теми же цветами, что и их концевые точки). Эти лепестки в ÒÔÊÏ вполне логично называются ветвями. В данном случае ветви вырастают из начала координат. Само начало координат называется точкой ветвления.
Корень степени n это первая из многозначных функций в ÒÔÊÏ. Åñòü è èíûå
многозначные функции, имена которых, чаще всего, начинаются с заглавной буквы латинского алфавита. Это делается для создания отличия от одноим¼нных однознач- ных функций.
14
Определение
Arg z |
def |
arg z + 2k¼, ãäå k 2 Z: |
= |
||
Ln z |
def |
ln z + 2k¼, ãäå k 2 Z: |
= |
Замечание
Символ Z означает множество всех целых чисел (0; 1; ¡1; 2; ¡2; 3; ¡3; : : : ). У функций Arg z è Ln z бесконечно много ветвей.
Определение
uv |
def |
(16) |
= exp (v ¢ Ln u) = exp (v ¢ (ln u + 2k¼)) ; |
||
u 2 C; u 6= 0 ; v 2 C; k 2 Z: |
|
|
Замечание |
|
|
Поскольку в определении (16) присутствует многозначная функция Ln u ; |
çíà- |
чение степени с комплексным основанием и комплексным показателем является, вообще говоря, неединственным.
Для случая вещественного v cправедливы следующие пять утверждений.
1. Åñëè v целое число, то âñå возможные разные значения целочисленного фактора k порождают îäíî è òî æå значение результата в правой части (16).
Это значение совпад¼т с предложенным в определении целочисленной степени комплексного числа (8) (9).
2. Åñëè v = n1 ; ãäå n 2 N; n ¸ 2 ; òî âñå возможные разные значения целочисленного k порождают только n разных значений результата в пра-
вой части (16). Множество этих значений совпад¼т со множеством элементов в списке (14), если положить z = u :
3. Åñëè v = mn ; ãäå n 2 N; n ¸ 2 ; m 2 Z; òî âñå возможные разные значения целочисленного k порождают только n разных значений результата в
правой части (16). Множество этих значений совпад¼т со множеством элементов в списке (14), если положить z = um :
15
4. Åñëè v иррациональное число, то то âñå возможные разные значения целочисленного k порождают разные значения результата в правой части (16). Выражение uv в этом случае не есть одно число, и не есть набор из конечного
количества элементов, а есть набор, содержащий бесконечно много совершенно разных чисел.
5. Åñëè w любое из чисел, полученных с применением формулы (16),
p
òî jwj = n juj :
Определение
Пусть:
f(z) комплекснозначная функция комплексного переменного, z0 комплексное число,
g(z) = (z ¡ z0) ¢ f(z) ;
f(z0) íå существует, g(z0) существует,
g(z0) =6 0 :
Тогда принято говорить,
÷òî f(z) имеет простой полюс в точке z0 ;
è ÷òî вычет функции f(z) в точке z0 равен g(z0) :
Обозначение: res f(z) = g(z0) :
z=z0
Примеры
Функция
è z = ¡{ :
Функция
k 2 Z:
1 |
= |
1 |
|
z = { |
|
|
|
|
|
||
z2 + 1 |
(z ¡ {)(z ¡ (¡{)) имеет два простых полюса в точках |
1
sin z имеет бесконечно много простых полюсов в точках z = ¼k ; ãäå
Определение
Верхней полуплоскостью комплексной переменной z называется множество
16
чисел z таких, что Im z > 0.
Задача 1 Вычислить выражение
2¼{ |
res |
|
1 |
; |
|
|
|||
|
|
|||
|
¢ImXzj>0 z=zj |
z2 |
+ 1 |
|
то есть, найти сумму вычетов функции f(z) = 1=(z2 + 1) по всем полюсам, располо-
женным в верхней полуплоскости комплексной переменной z ; |
и умножить результат |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
íà 2¼{ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= +p |
|
|
|
||
Уравнение |
|
z2 + 1 = 0, |
z2 = ¡1, имеет только два корня: z1 |
|
= +{, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¡1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 = ¡p |
|
|
= ¡{. Второй корень следует отбросить, поскольку |
Im z2 < 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¡1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z=z1 z2 + 1 |
|
z={ z2 + 1 |
|
µ |
|
|
|
¡ ¢ z2 + 1¶¯z={ |
µ(z |
¡ |
{)(z + {) |
¶¯z={ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
res |
1 |
|
= res |
1 |
= |
|
|
(z |
|
{) |
|
|
1 |
|
|
|
|
¯ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
¶¯z={ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
{¯ |
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
{ |
|
|
¯ |
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
µ |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
¢ |
|
{ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= ¡ |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z + { |
2 |
¢ |
{ |
¢ |
{ |
¢ |
2 |
¢ |
{2 |
2 |
¢ |
( 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¢ z=z1 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ¡ |
|
|
¡ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
z2 + 1 |
= 2 ¢ |
³¡2 |
´ = ¡ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
¢2¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
2¼{2 |
|
|
|
|
2¼ |
|
( |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2¼{ |
res |
¯ |
|
¼{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ : |
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼{ |
|
|
|
|
|
|
|
res |
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ImXzj>0 z=zj z4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть, найти сумму вычетов функции f(z) = 1=(z4 + 1) по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости комплексной переменной z ; и умножить результат
íà 2¼{ :
Решение
Для решения уравнения четв¼ртой степени z4 + 1 = 0 ; z4 =¡1 ; нужно постро-
17
ить полный список (14) корней четв¼ртой степенм из числа (¡1) = 1¢(cos ¼ +{¢sin ¼) :
Этот список |
np4 |
1 ¢ ³cos |
|
4 + { ¢ sin 4 |
´; |
|
p4 1 ¢ µcos 34 |
|
+ { ¢ sin 34 |
|
¶; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
p4 1 ¢ µcos 54 |
+ { ¢ sin |
54 |
|
¶; |
|
p4 1 ¢ |
µcos 74 |
+ { ¢ sin 74 |
¶o |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¼ |
n p2 |
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡p2 |
|
|
|
|
¡p2 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
1 + { |
; |
|
|
|
1 + { |
; |
|
|
|
1 ¡ { |
; |
|
|
1 ¡ { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
составлен из элементов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z |
|
= |
1 + { |
; |
|
|
|
z |
|
= |
¡1 + { |
|
; |
|
|
z |
|
|
= |
¡1 ¡ { |
; z |
|
= |
|
1 ¡ { |
|
: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
p2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
p2 |
|
В верхней полуплоскости комплексной переменной лежат только первые два элемента;
Im z3 < 0 ; Im z4 < 0 :
1. Найд¼м вычет в точке z1 : Согласно основной теореме алгебры,
f(z) = |
1 |
|
= |
|
|
1 |
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z4 + 1 |
(z ¡ z1) (z ¡ z2) (z ¡ z3) (z ¡ z4) |
|||||||||||
g1(z) = (z ¡ z1) ¢ f(z) = |
1 |
|
|
; |
||||||||
|
|
|||||||||||
(z ¡ z2) (z ¡ z3) (z ¡ z4) |
||||||||||||
res |
|
1 |
|
= g1(z1) = |
|
1 |
|
|
: |
|||
|
+ 1 |
(z1 ¡ z2) (z1 ¡ z3) (z1 ¡ z4) |
||||||||||
z=z1 z4 |
|
|
|
|
2. Найд¼м вычет в точке z2 :
1
g2(z) = (z ¡ z2) ¢ f(z) = (z ¡ z1) (z ¡ z3) (z ¡ z4) ;
res |
|
1 |
|
= g2 |
(z2) = |
1 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|||||
z4 |
+ 1 |
(z2 ¡ z1) (z2 ¡ z3) (z2 ¡ z4) |
|||||||
z=z2 |
|
|
|
Вычислить требуется выражение
j=2 |
|
|
Xj |
1 |
|
2¼{ ¢ res |
z4 + 1 |
= 2¼{ ¢ (g1(z1) + g2(z2)) = |
=1 z=zj |
|
|
18
= 2¼{ ¢ |
µ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
¶ |
: |
(17) |
(z1 |
¡ |
z2) (z1 |
¡ |
z3) (z1 |
¡ |
z4) |
(z2 |
¡ |
z1) (z2 |
¡ |
z3) (z2 |
¡ |
z4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (17) можно вычислить вручную, но делать это было бы неприятно и долго. Разумнее обратиться к сайту http://www.wolframalpha.com с командой
2 ¤ pi ¤ i ¤ (1=(z1 ¡ z2)=(z1 ¡ z3)=(z1 ¡ z4) + 1=(z2 ¡ z1)=(z2 ¡ z3)=(z2 ¡ z4));
s2 = Sqrt[2]; z1 = (1 + i)=s2; z2 = (¡1 + i)=s2; z3 = (¡1 ¡ i)=s2; z4 = (1 ¡ i)=s2
(18)
Разумеется, текст команды должен быть вмещ¼н в одну оранжевую рамку, второй рамки у wolframalpha.com нет. Результат исполнения команды:
Рис. 4 На Рис. 4 показан ответ сайта: ¼=p2 :
Ввиду большой длины команды (18) îíà â оранжевой рамке не вся видна, но вся
воспринимается и исполняется.
Выражение, которое требуется вычислить, показано в тексте команды (18) фиолетовым цветом. Подставлять в это выражение вручную численные значения z1 ; z2 ;
z3 ; z4 значило бы сделать выражение очень громоздким, а слишком громоздкие вы-
19
ражения сайт отказывается воспринимать. Для уменьшения длины команды, в ней,
после вычисляемого выражения, через запятую, показаны значения параметров z1 ; z2 ; z3 ; z4 : Чтобы число p2 не указывать четыре раза, ему дано обозначение s2 ; à
значение параметра s2 показано первым.
Интересно (скорее, печально) отметить, что сайт http://www.wolframalpha.com способен "капризничать". Казалось бы, если в тексте команды (18) во всех пяти местах
s2 заменить на s ; команда, став короче, должна сохранить смысл. Однако, после
такой замены сайт отказывается исполнить команду.
Интересно (скорее, приятно)pîòìетить, что сайт http://www.wolframalpha.com воспринимает pi êàê ¼ ; à i êàê ¡1 :
20