Литература и лекции / Векторы1
.pdf
Определение
Уравнение
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1 |
(12) |
|
a |
b |
c |
|||||
|
|
|
|
принято называть уравнением плоскости в отрезках.
Название объясняется тем, что плоскость отсекает от координатных осей отрезки длиной jaj ; jbj ; jcj ; соответственно.
Замечание
Åñëè a > 0 ; b > 0 ; c > 0 ; то плоскость отсекает от координатных осей в положительном направлении отрезки длиной a ; b ; c ; соответственно. В первом октанте такая плоскость "видна" в форме треугольника, как показано на Рис. 7.
Ðèñ. 7
Замечание
Если плоскость задана общим уравнением (2), è åñëè A 6= 0 ; B 6= 0 ; C 6= 0 ; D 6= 0 ; то уравнение равносильно преобразуется, пут¼м домножения на число ¡D1 ;
ê âèäó |
|
x |
+ |
|
y |
+ |
z |
= 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
¡DA |
¡DB |
¡DC |
|||||
представляющему уравнение в отрезках (12) ïðè a = ¡DA ; b = ¡DB ; c = ¡DC :
Åñëè â (2) A = 0 ; èëè B = 0 ; èëè C = 0 ; èëè D = 0 ; то уравнение в отрезках для данной конкретной плоскости íå существует.
31
Определение
Уравнение
x cos ® + y cos ¯ + z cos ° ¡ p = 0 |
(13) |
(ãäå p ¸ 0) принято называть нормальным уравнением плоскости.
Нормаль плоскости является единичным вектором и имеет компоненты cos ® ; cos ¯ ; cos ° ; ãäå ® ; ¯ ; ° кратчайшие углы между нормалью
и положительными направлениями осей Ox ; Oy ; Oz ; соответственно. Единичность нормали означает тождество направляющих косинусов
cos2 ® + cos2 ¯ + cos2 ° = 1 : |
(14) |
Óãëû ® ; ¯ ; ° принято называть направляющими углами, а величины cos ® ; cos ¯ ; cos ° направляющими косинусами.
Для приведения уравнения плоскости общего вида (2) ê нормальному следует домножить уравнение (2) на т.н. нормирующий множитель
¹ = |
|
¡sign D |
: |
|
pA2 + B2 + C2 |
||||
|
|
|||
Замечание Кусочно-однородная математическая функция "сигнум" определяется выраже-
íèåì |
sign x = |
8 |
0; |
x = 0 |
¯: |
|
|
> |
|
|
¯ |
|
|
< |
¡ |
|
¯ |
|
|
> |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
: |
1; |
x < 0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
||
Теорема |
о нормальном уравнении плоскости |
|
|
||
|
|
|
|||
Если уравнение плоскости представлено в нормальном виде (13), то построенная с помощью этого вида функция
±(x0; y0; z0) = x0 cos ® + y0 cos ¯ + z0 cos ° ¡ p
выражает отклонение точки M0 = (x0; y0; z0) от плоскости (13).
32
Отклонение ±(x0; y0; z0) åñòü минус расстояние от точки до плоскости, если точка M0 = (x0; y0; z0) и начало координат O = (0; 0; 0) расположены по одну сторону от плоскости (13), отклонение ±(x0; y0; z0) åñòü ïëþñ расстояние, если точка M0 и начало координат O расположены по разные стороны от плоскости (13).
Доказательство
Расстояние от точки до плоскости измеряется вдоль перпендикуляра к плоско- |
||||||||||||||||||||||||||||||
сти, то есть вдоль нормали плоскости ~n = (cos ® ; cos ¯ ; cos °) : |
||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть M1 = (x1; y1; z1) есть основание перпендикуляра. Прямая, идущая вдоль |
||||||||||||||||||||||||||||||
¡¡¡!0 1 |
; должна иметь вектор ~n в качестве направляющего, следовательно, е¼ можно |
|||||||||||||||||||||||||||||
M M |
||||||||||||||||||||||||||||||
задать в виде |
|
|
|
|
|
8y = y0 |
|
|
¢cos ¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ t |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
> |
x = x0 + t |
¢ |
|
cos ® |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< |
z = z0 |
+ t |
|
cos ° |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и координаты точки M1 ; |
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ®¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
> |
x1 = x0 + t1 |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
< |
z1 |
= z0 |
+ t1 |
|
|
|
cos ° |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
8y1 |
= y0 |
+ t1 |
¢cos ¯ |
|
¯; |
|
|
|
(15) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
||
подставить в уравнение |
|
|
|
: |
|
(13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
плоскости |
|
|
. Ýòî äàñò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x0 + t1 ¢ cos ®) ¢ cos ® + (y0 + t1 ¢ cos ¯) ¢ cos ¯ + (z0 + t1 ¢ cos °) ¢ cos ° ¡ p = 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 ¢ cos ® + y0 ¢ cos ¯ + z0 ¢ cos ° + t1 ¢ ( cos2 ® + cos2 ¯ + cos2 ° ) ¡ p = 0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 = ( |
0 |
|
cos |
|
+ |
0 cos| |
|
|
+ |
0 |
|
|
{z |
|
|
|
|
} |
||||||||||
|
t |
|
|
x |
|
|
|
|
® |
y |
|
|
|
|
¯ |
z |
|
|
=1 |
|
|
p ) : |
||||||||
|
|
¡ |
¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
¢ |
cos ° |
¡ |
||||||||||||||||
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
{z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=±(x |
0 |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;y |
;z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
¡¡¡!
Согласно (15), M0M1 = (x1 ¡ x0 ; y1 ¡ y0 ; z1 ¡ z0) = t1 ¢~n ; а поскольку j~nj = 1 ;
¡¡¡!
из этого следует, что jM0M1j = jt1 ¢ ~nj = jt1j ; то есть, выражение
jt1j = jx0 ¢ cos ® + y0 ¢ cos ¯ + z0 ¢ cos ° ¡ pj = j±(x0; y0; z0)j
да¼т расстояние от точки M0 до плоскости.
33
Заметим, что функция ±(x0; y0; z0) обращается в ноль только на плоскости (13), и изменить знак может только при пересечении этой плоскости точкой M0 ; значит,
±(x0; y0; z0) имеет противоположные знаки для любых двух точек, расположенных по
разные стороны от плоскости, и одинаковые знаки для точек, расположенных по одну сторону от плоскости.
В качестве "индикатора" знака служит начало координат, точка O = (0; 0; 0) ;
±(O) = ±(0; 0; 0) = 0¢cos ® +0¢cos ¯ +0¢cos ° ¡p = ¡p < 0 ; тогда и для любой другой
точки M0 ; расположенной по одну сторону от плоскости с точкой O; ±(M0) < 0 :
Определение
Множество всех плоскостей, проходящих через заданную прямую, принято называть пучком плоскостей.
Теорема о пучке плоскостей
Если системой уравнений |
= 0 |
¯ |
(16) |
½A2x + B2y + C2z + D2 |
|||
A1x + B1y + C1z + D1 |
= 0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
задана прямая, то пучок плоскостей, проходящих через не¼, определяется уравнением
® ¢ (A1x + B1y + C1z + D1) + ¯ ¢ (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 ; (17)
ãäå ® ; ¯ произвольные постоянные числа, не равные нулю одновременно.
Без доказательства.
Замечание Утверждение теоремы следует понимать так: если данная плоскость проходит
через прямую (16), то найдутся два числа ® ; ¯ ; такие, что данная плоскость подчи- няется уравнению (17).
34
Определение
Множество всех плоскостей, проходящих через заданную точку, принято называть связкой плоскостей.
Теорема о связке плоскостей
Если системой уравнений |
¯ |
(18) |
|
8A2x + B2y + C2z + D2 = 0 |
|||
> |
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 |
¯ |
|
< |
A3x + B3y + C3z + D3 = 0 |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
> |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
: |
|
¯ |
|
задана точка, то связка плоскостей, проходящих через не¼, определяется уравнением
® ¢ (A1x + B1y + C1z + D1) + ¯ ¢ (A2x + B2y + C2z + D2) +
+ ° ¢ (A3x + B3y + C3z + D3) = 0 ; |
(19) |
ãäå ® ; ¯ ; ° произвольные постоянные числа, не равные нулю одновременно.
Без доказательства.
Замечание Утверждение теоремы следует понимать так: если данная плоскость проходит
через точку (18), то найдутся три числа ® ; ¯ ; ° ; такие, что данная плоскость под- чиняется уравнению (19).
Замечание Формулы и факты, установленные для плоскостей и прямых в тр¼хмерном про-
странстве, могут быть "спроецированы" на двумерное пространство (на плоскость). Далее просто перечисляются эти факты.
1. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
Ax + By + C = 0 : |
(20) |
35
2. |
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0 = (x0; y0) перпен- |
||||||||||||
дикулярно заданному вектору ~n = (A; B) ; |
имеет вид |
|
|||||||||||
|
|
A(x ¡ x0) + B(y ¡ y0) = 0 : |
(21) |
||||||||||
3. |
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0 = (x0; y0) парал- |
||||||||||||
лельно заданному вектору p~ = (k; l) ; имеет вид |
|
||||||||||||
|
|
|
|
x ¡ x0 |
= |
y ¡ y0 |
: |
(22) |
|||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
l |
|
||||
4. |
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки |
M1 = (x1; y1) è |
|||||||||||
M2 = (x2; y2) имеет вид |
|
x ¡ x0 |
|
|
|
y ¡ y0 |
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
: |
(23) |
|||||||
|
|
|
x1 ¡ x1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y1 ¡ y0 |
|
||||||
5. |
Уравнение прямой |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
= 1 |
|
|
(24) |
||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
называется уравнением прямой в отрезках. |
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Уравнение |
x cos ® + y sin ® ¡ p = 0 |
|
||||||||||
|
|
(25) |
|||||||||||
называется нормальным уравнением прямой. Построенная с его помощью функция
±(x0; y0) = x0 cos ® + y0 sin ® ¡p позволяет вычислить отклонение точки M0 = (x0; y0) от прямой. Отклонение ±(x0; y0) åñòü минус расстояние от точки до плоскости, если точка M0 и начало координат O = (0; 0) расположены по одну сторону от плоскости (25), отклонение ±(x0; y0) åñòü ïëþñ расстояние, если точка M0 и начало координат
Oрасположены по разные стороны от плоскости (25).
7.Множество всех прямых на плоскости, проходящих через заданную точку, принято называть пучком прямых. Если системой уравнений
½A2x + B2y + C2 |
= 0 |
¯ |
(26) |
A1x + B1y + C1 |
= 0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
36
задана точка, то пучок прямых, проходящих через не¼, определяется уравнением
® ¢ (A1x + B1y + C1) + ¯ ¢ (A2x + B2y + C2) = 0 ; |
(27) |
ãäå ® ; ¯ произвольные постоянные числа, не равные нулю одновременно.
37