Литература и лекции / Алгебра20171011
.pdfвектора на число есть n¡мерный вектор.
Замечание Двумерным и тр¼хмерным векторам можно придать геометрический смысл.
Двумерный вектор X = (x1 ; x2) в двумерной декартовой прямоугольной системе координат Ox1x2 есть направленный отрезок с началом в точке O (в начале координат) и концом в точке M, имеющей координаты (x1 ; x2) (Ðèñ. 4(a)).
Тр¼хмерный вектор X = (x1 ; x2 ; x3) в тр¼хмерной декартовой прямоугольной системе координат Ox1x2x3 есть направленный отрезок с началом в точке O (в на- чале координат) и концом в точке M, имеющей координаты (x1 ; x2 ; x3) (Ðèñ. 4(á)).
(à) |
(á) |
|
Ðèñ. 4 |
Векторы большей, чем 3, размерности, геометрического смысла не имеют.
Определение
Пусть e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng базис линейного пространства E, и пусть g = fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gng ещ¼ один базис линейного пространства E.
Всякий элемент линейного пространства, а значит, и каждый элемент каждого из базисов, может быть разложен по другому базису.
41
Пусть такие разложения уже выполнены:
> |
g1 |
= ®11e1 + ®21e2 + ®31e3 + : : : + ®n1en |
¯ |
|
||||
> |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
> |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
> |
g2 |
|
|
|
|
|
||
8 |
= ®12e1 + ®22e2 + ®32e3 + : : : + ®n2en ¯ |
|
||||||
> |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
< |
: : : |
|
|
: : : |
|
|
||
|
|
|
|
¯ |
|
|||
> g |
|
= ® e + ® e + ® e + : : : + ® e |
¯ |
; |
||||
> |
|
3 |
13 1 |
23 2 |
33 3 |
n3 n |
¯ |
|
> g |
|
= ® e + ® e + ® e + : : : + ® e |
¯ |
|
||||
> |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
> |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
1n 1 |
2n 2 |
3n 3 |
nn n |
¯ |
|
> n |
|
|
8 > e > 1
>
>
>
>> e2
<
> e3
>
>
>> : : :
>
>
: en
¯
= ¯11g1 + ¯21g2 + ¯31g3 + : : : + ¯n1gn ¯¯
¯
= ¯12g1 + ¯22g2 + ¯32g3 + : : : + ¯n2gn ¯¯¯
=¯13g1 + ¯23g2 + ¯33g3 + : : : + ¯n3gn :¯
¯
: : : ¯¯
¯
= ¯1ng1 + ¯2ng2 + ¯3ng3 + : : : + ¯nngn ¯
Тогда |
|
|
0 ®21 |
®22 |
®23 |
: : : ®2n 1 |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
Sg |
|
e = B |
®11 |
®12 |
®13 |
: : : ®1n |
C |
|||||||
|
|
®31 |
®32 |
®33 |
: : : ®3n |
||||||||||
|
|
! |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
B |
|
|
|
. |
. |
.. . |
C |
||||
|
|
|
|
B . . |
|
C |
|||||||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
B |
® |
® |
|
® |
|
: : : |
® |
|
C |
||
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B n1 |
|
n2 |
|
n3 |
|
|
|
|
nn C |
||
|
называется матрицей перехода от базиса g к базису e , |
||||||||||||||
|
|
|
|
0 ¯21 |
¯22 |
¯23 |
: : : ¯2n 1 |
||||||||
|
Se g = B |
¯11 |
¯12 |
¯13 |
: : : ¯1n |
C |
|||||||||
|
¯31 |
¯32 |
¯33 |
: : : ¯3n |
|||||||||||
|
|
! |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
B |
¯ |
¯ |
|
¯ |
|
: : : |
¯ |
|
|
C |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
||||||
|
|
|
|
B |
: : : : : : : : : : : : |
: : : |
C |
||||||||
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B n1 |
|
n2 |
n3 |
|
|
|
nn C |
||||
|
называется матрицей перехода от базиса e к базису g . |
||||||||||||||
Теорема |
о взаимной связи матриц перехода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Se!g = (Sg!e)¡1 ; |
|
Sg!e = (Se!g)¡1 : |
42
Без доказательства.
Определение
Пусть e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng базис линейного пространства E, и пусть g = fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gng ещ¼ один базис линейного пространства E. Пусть x произвольный элемент линейного пространства E.
Всякий элемент линейного пространства, а значит, и элемент x; может
быть разложен по любому из базисов. Пусть такие разложения уже выполнены:
x= x1ee1 + x2ee2 + x3ee3 + : : : + xneen ; x = x1gg1 + x2gg2 + x3gg3 + : : : + xnggn ;
ãäå x1e ; x2e ; x3e ; : : : ; xne коэффициенты разложения элемента x по базису e ; à x1g ; x2g ; x3g ; : : : ; xng коэффициенты разложения элемента x
по базису g . |
0 x2e |
1 |
|
0 x2g |
1 |
Тогда |
|
||||
|
x1e |
C |
; |
x1g |
C |
|
Xe = B x3e |
Xg = B x3g |
|||
|
B |
C |
|
B |
C |
|
B |
C |
|
B |
C |
|
B . |
C |
|
B . |
C |
|
B |
C |
|
B |
C |
|
Bx |
C |
|
Bx |
C |
|
@ |
A |
|
@ |
A |
|
B ne |
Ce |
|
B ng |
Cg |
есть столбцы (векторы) разложения элемента x по базисам e è g ñîîò-
ветственно.
Замечание Нельзя утверждать, что
Xe = Xg поскольку базисы e è g , вообще говоря,
различны.
Нельзя утверждать, что x = Xe ; хотя бы потому, что элемент x вовсе не обязан
быть элементом линейного векторного пространства. Аналогично, нельзя утверждать, что x = Xg :
43
Определение Набор векторов
|
0 |
0 |
1 |
|
e1 |
= B |
1 |
|
; |
0 C |
||||
|
B C |
|
||
|
B C |
|
||
|
B |
. |
C |
|
|
B C |
|
||
|
B |
0 C |
|
|
|
B C |
|
||
|
@ A |
|
n мерного линейного векторного пространства
|
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
e2 |
= B |
0 |
|
; |
e3 |
= B |
0 |
|
; : : : |
e3 |
= B |
0 |
|
: |
0 C |
1 C |
0 C |
||||||||||||
|
B C |
|
|
B C |
|
|
B C |
|
||||||
|
B C |
|
|
B C |
|
|
B C |
|
||||||
|
B |
. |
C |
|
|
B |
. |
C |
|
|
B |
. |
C |
|
|
B C |
|
|
B C |
|
|
B C |
|
||||||
|
B |
0 C |
|
|
B |
0 C |
|
|
B |
1 C |
|
|||
|
B C |
|
|
B C |
|
|
B C |
|
||||||
|
@ A |
|
|
@ A |
|
|
@ A |
|
будем называть простейшим, èëè тривиальным базисом.
Замечание
Разложение n мерного вектора 0 x1 1
B C
BB x2 CC
X = B x C BB 3 CC B . C @ A
xn e
по векторам простейшего базиса, как нетрудно убедиться, имеет вид
X = x1e1 + x3e3 + x3e3 + : : : + xnen ;
следовательно, для тривиального базиса |
|
1 |
|
|
|
|
0 x2 |
|
|
||
|
x1 |
C |
= X : |
|
|
|
Xe = B x3 |
|
|||
|
B |
|
C |
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
B . |
C |
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
Bx |
|
C |
|
|
|
B |
n C |
|
|
|
@ |
|
A |
|
|
|
Теорема |
о назначении матриц перехода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xg = Se!g ¢ Xe ; |
Xe = Sg!e ¢ Xg : |
(15) |
Без доказательства.
44
Замечание Начиная с этого места документа всюду далее речь будет идти о линейном âåê-
торном n мерном пространстве.
Теорема о линейной независимости n n¡мерных векторов
Пусть даны n¡мерные векторы
|
0 g21 |
1 |
0 g22 |
1 |
|
|
g1 |
g11 |
C; g2 |
g12 |
C; g3 |
||
= B g31 |
= B g32 |
|||||
|
B |
C |
B |
|
C |
|
|
B |
C |
B |
|
C |
|
|
B . |
C |
B . |
C |
|
|
|
B |
C |
B |
|
C |
|
|
Bg |
C |
Bg |
n2 |
C |
|
|
B n1 |
C |
B |
C |
|
|
|
@ |
A |
@ |
|
A |
|
и пусть матрица |
g11 |
g12 |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
B |
|
|
g22 |
|
|
|
0 g21 |
|||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
B . . |
|||
|
|
G = B g31 |
g32 |
|||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
Bg |
|
g |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
B n1 |
n2 |
0 g13 1 B C BB g23 CC
= B g C; : : : ;
BB 33 CC
B . C
@ A
|
gn3 |
|
1 |
|
g23 |
: : : |
g2n |
||
g13 |
: : : |
g1n |
C |
|
g33 |
: : : |
g3n |
||
|
|
|
|
C |
. |
. |
.. |
. |
C |
|
C |
|||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
C |
gn3 |
: : : |
gnn |
A |
|
|
0 g2n |
1 |
g1n |
C; |
gn = B g3n |
|
B |
C |
B |
C |
B . |
C |
B |
C |
Bg |
C |
B nn C |
|
@ |
A |
(16)
составлена из этих векторов, как из столбцов. В этом случае векторы g1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gn
только тогда, когда
det G =6 0 :
Доказательство Рассмотрим равенство нулю линейной комбинации
¸1g1 + ¸2g2 + ¸3g3 + : : : + ¸ngn = 0 ; |
(17) |
которое равносильно однородной системе уравнений
45
> |
g11¸1 + g12 |
||||
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
¸1 |
+ g22 |
8 g21 |
|||||
> |
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
> g |
|
¸ |
+ g |
||
> |
|
31 |
1 |
32 |
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
: |
|
|
¸ |
+ g |
|
> g |
n1 |
||||
> |
|
|
1 |
n2 |
¸2 + g13¸3 + : : : + g1n¸n ¸2 + g23¸3 + : : : + g2n¸n ¸2 + g33¸3 + : : : + g3n¸n
: : :
¸2 + gn3¸3 + : : : + gnn¸n
= 0 |
¯ |
|
= 0 |
|
|
|
¯ |
|
= 0 |
¯ |
(18) |
¯ |
||
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
= 0 |
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯
¯
¯
с главным определителем det G : Тривиальное решение у системы (18) есть всегда. Если det G =6 0 ; то, по теореме Крамера, это тривиальное решение является и
единственным, то есть, обеспечить выполнение равенства (17) возможно только тривиальной линейной комбинацией (¸1 = ¸2 = ¸3 = : : : = ¸n = 0).
И наоборот: теорема Крамера гласит, что если система (18) имеет единствен-
ное (а значит, тривиальное) решение, то главный определитель е¼ отличен от нуля,
det G =6 0 :
Доказательство закончено.
Теорема о базисе из n n¡мерных векторов
Набор из n линейно незвависимых n¡мерных векторов
|
|
0 g21 1 |
0 g22 1 |
0 g23 1 |
|
|
0 g2n 1 |
|||||
|
g1 |
g11 |
C; g2 |
g12 |
C; g3 |
g13 |
|
|
|
g1n |
C; |
|
|
= B g31 |
= B g32 |
= B g33 |
C; : : : ; gn = B g3n |
||||||||
|
|
B |
C |
B |
|
C |
B |
C |
|
|
B |
C |
|
|
B |
C |
B |
|
C |
B |
C |
|
|
B |
C |
|
|
B . |
C |
B . |
C |
B . |
C |
|
|
B . |
C |
|
|
|
B |
C |
B |
|
C |
B |
C |
|
|
B |
C |
|
|
Bg |
C |
Bg |
n2 |
C |
Bg |
C |
|
|
Bg |
C |
|
|
B n1 |
C |
B |
C |
B n3 |
C |
|
|
B nn C |
||
|
|
@ |
A |
@ |
|
A |
@ |
A |
|
|
@ |
A |
является базисом множества n¡мерных векторов. |
|
|
||||||||||
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
0 x2 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
C |
|
|
|
Возьм¼м произвольный n |
мерный вектор |
X = B x3 |
: |
|
||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B . |
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bx |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
n C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
A |
|
|
46
Покажем, что этот вектор может быть разложен по базису, то есть, представлен в виде линейной комбинации
¸1g1 + ¸2g2 + ¸3g3 + : : : + ¸ngn = X : |
(19) |
Разложение (19) равносильно неоднородной системе уравнений
> |
g11¸1 + g12¸2 + g13¸3 + : : : + g1n¸n = x1 |
||||
> |
|
|
|
|
|
> g ¸ + g ¸ + g ¸ + : : : + g ¸ = x |
|||||
> |
|
|
|
|
|
> |
|
+ g22¸2 + g23¸3 |
+ : : : + g2n¸n = x2 |
||
8 g21¸1 |
|||||
> |
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
> |
31 1 |
32 2 |
33 3 |
3n n |
3 |
> g ¸ + g ¸ + g: : :¸ + : : : + g ¸ = x |
|
||||
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
> n1 1 |
n2 2 |
n3 3 |
nn n |
n |
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯¯: (20)
¯
¯
¯
¯
¯
Согласно предыдущей теореме, главный определитель этой системы отличен от нуля, det G 6= 0 ; следовательно, по теореме Крамера, решение системы (20) набор
искомых коэффициентов ¸1 ; ¸2 ; ¸3 ; : : : ; ¸n существует, единственно, и выража- |
|||||||||
ется формулами Крамера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство закончено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема о линейной независимости k (ãäå k < n) n¡мерных векторов |
|
||||||||
Пусть даны n¡мерные векторы |
0 g23 |
1 |
0 g2k 1 |
||||||
0 g21 |
1 |
0 g22 |
1 |
||||||
g11 |
C; g2 |
g12 |
C; g3 |
g13 |
|
g1k |
C; |
||
g1 = B g31 |
= B g32 |
= B g33 |
C; : : : ; gk = B g3k |
||||||
B |
|
C |
B |
|
C |
B |
C |
B |
C |
B |
|
C |
B |
|
C |
B |
C |
B |
C |
B . |
C |
B . |
C |
B . |
C |
B . |
C |
||
B |
|
C |
B |
|
C |
B |
C |
B |
C |
Bg |
n1 |
C |
Bg |
n2 |
C |
Bg |
C |
Bg |
C |
B |
C |
B |
C |
B n3 |
C |
B nk |
C |
||
@ |
|
A |
@ |
|
A |
@ |
A |
@ |
A |
и пусть матрица |
0 g21 |
g22 |
g23 |
: : : g2k 1 |
|||
|
|||||||
|
g11 |
g12 |
g13 |
: : : g1k |
C |
||
|
G = B g31 |
g32 |
g33 |
: : : g3k |
|||
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
. |
.. . |
C |
|
|
B . . . |
|
C |
||||
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
Bg |
g |
g |
: : : g |
|
C |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
B n1 |
n2 |
n3 |
|
|
nk C |
47
составлена из этих векторов, как из столбцов. В этом случае векторы g1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gk только тогда, когда ранг матрицы G равен k :
Без доказательства
Теорема о линейной зависимости (n + 1) n¡мерных векторов n¡мерные векторы
|
g11 |
|
|
B |
|
|
0 g21 |
|
|
B |
|
g1 |
B . |
|
= B g31 |
||
|
B |
|
|
Bg |
n1 |
|
B |
|
|
@ |
|
1 |
|
0 g22 |
C |
|
g12 |
|
B |
|
C |
|
B |
C |
g2 |
B . |
C; |
= B g32 |
|
C |
|
B |
C |
|
Bg |
C |
|
B n2 |
A |
|
@ |
C |
g1n |
C |
g1;n+1 |
C |
|
B |
B |
|
|||
1 |
0 g2n |
1 |
0 g2;n+1 |
1 |
|
C |
B |
C |
B |
|
C |
C |
B . |
C |
B . |
C |
|
C; : : : ; gn = B g3n |
C; gn+1 |
= B g3;n+1 |
C |
||
C |
B |
C |
B |
|
C |
C |
Bg |
C |
Bg |
|
C |
C |
B nn |
C |
B |
n;n+1 C |
|
A |
@ |
A |
@ |
|
A |
линейно зависимы. Доказательство
1. Пусть векторы g1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gn линейно зависимы. Тогда существует íåтривиальная (содержащая хотя бы один ненулевой коэффициент ¸i) линейная ком- бинация этих векторов, равная нулю:
¸1g1 + : : : + ¸i¡1gi¡1 + ¸i ¢ gi + ¸i+1gi+1 + : : : + ¸ngn = 0 : |
(21) |
6=0 |
|
|{z} |
|
Добавим в левую часть (21) нулевое слагаемое 0 ¢ gn+1 ; которое не изменит левую часть (21) и не нарушит равенство:
¸1g1 + : : : + ¸i¡1gi¡1 + ¸i ¢ gi + ¸i+1gi+1 + : : : + ¸ngn + 0 ¢ gn+1 = 0 : |
(22) |
||
6=0 |
|
|
|
линейной комбинации |
|
векторов, в которой при- |
|
(22) есть равенство íóëþ такой |{z} |
n + 1 |
|
|
сутствует ненулевой коэффициент ¸i. Следовательно, векторы линейно зависимы. 2. Пусть векторы g1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gn линейно íåзависимы. Тогда существует
48
разложение вектора gn+1 по базису из векторов g1 ; g2 ; |
g3 ; : : : ; gn ; |
|
||
|
¸1g1 + ¸1g2 + ¸1g3 + : : : + ¸ngn = gn+1 : |
(23) |
||
Перепишем равенство (23) â âèäå |
|
|
|
|
¸1g1 |
+ ¸1g2 + ¸1g3 |
+ : : : + ¸ngn + (¡1) |
¢ gn+1 = 0 : |
(24) |
|
|
|{z} |
|
|
|
|
6=0 |
|
|
(24) есть равенство íóëþ такой линейной комбинации n + 1 векторов, в которой присутствует ненулевой коэффициент (¡1). Следовательно, векторы линейно зависимы.
Определение
Скалярным произведением двух n мерных векторов (столбцов)
0 x2 |
1 |
|
0 y2 |
1 |
||
x1 |
C |
; |
y1 |
C |
||
x = B x3 |
y = B y3 |
|||||
B |
|
C |
|
B |
|
C |
B |
|
C |
|
B |
|
C |
B . |
C |
|
B . |
C |
||
B |
|
C |
|
B |
|
C |
Bx |
|
C |
|
By |
|
C |
B |
n C |
|
B |
n C |
||
@ |
|
A |
|
@ |
|
A |
называется число
(x; y) = x ¢ y = x1y1 + x2y2 + x3y3 + : : : + xnyn :
Всюду далее для скалярного произведения будет использоваться обозначе- ние x ¢ y.
Теорема о свойствах скалярного произведения векторов
1. |
x ¢ x = x12 + x22 + x32 + : : : + xn2 ¸ 0, ïðè÷¼ì, x ¢ x = 0 () x = 0. |
2. |
x ¢ y = y ¢ x (коммутативность). |
3. |
(¸x) ¢ y = ¸ ¢ (x ¢ y) (ассоциативность). |
4. |
(x + y) ¢ z = x ¢ z + y ¢ z (дистрибутивность). |
Без доказательства.
49
Определение
Нормой вектора jjxjj , или, что то же самое, модулем вектора jxj называется
число jjxjj = jxj = px ¢ x = px21 + x22 + x23 + : : : + x2n .
Нормированным называется такой вектор, норма (модуль) которого есть единица.
Для ненулевого вектора x построение вектора jjx1jj ¢ x называется норми-
ровкой вектора, поскольку е¼ результатом является нормированный вектор.
Определение
Векторы x è y называются ортогональными, если x ¢ y = 0.
Векторы из набора n мерных векторов e1 ; e2 ; e3 ; : : : ; en называются по- парно ортогональными, если ei ¢ ej = 0 ; ïðè i 6= j ; i = 1; 2; 3; : : : ; n;
j = 1; 2; 3; : : : ; n .
Теорема |
о попарно ортогональных векторах |
|
|
|
|
||
|
Åñëè k (k · n) ненулевых n мерных векторов e1 ; e2 ; e3 ; : : : ; ek |
попарно |
|
|
ортогональны, òî они линейно независимы. |
|
|
Доказательство |
|
|
|
Докажем, что из равенства нулю линейной комбинации |
|
||
|
¸1e1 + ¸2e2 + : : : + ¸i¡1ei¡1 + ¸iei + ¸i+1ei+1 + : : : + ¸kek = 0 |
(25) |
неминуемо следует, что она тривиальна.
Домножим левую и правую части (25) скалярно на вектор ei : Получим:
(¸1e1 + ¸2e2 + : : : + ¸i¡1ei¡1 + ¸iei + ¸i+1ei+1 + : : : + ¸k¡1ek¡1 + ¸kek) ¢ ei = 0 ()
|
|
() ¸1 |
¢ (e1 ¢ ei) + ¸2 |
¢ (e2 ¢ ei) + |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
¡ ¢ |
|
¡ ¢ |
|
| |
|
{z¢ |
|
|
}i ¢ i |
| |
|
{z |
|
} |
|
i+1 ¢ |
i |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
¢ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ : : : + ¸i 1 (ei 1 ei) + ¸i |
(e e ) + ¸ +1 (e |
=0 |
|
e ) + : : : + |
|||||||||||||||||||||||
|{z} |
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|{z} |
||||||
=0 |
|
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
|
{z |
|
|
} |
=0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50