Литература и лекции / Алгебра20170928

Векторы большей, чем 3, размерности, геометрического смысла не имеют.

Замечание

При фиксированном значении n множество всех n мерных столбцов (или n мерных векторов) образуют n мерное линейное пространство. Его принято называть n мерным линейным векторным пространством.

Определение

Пусть e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng базис линейного пространства E, и пусть g = fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gng ещ¼ один базис линейного пространства E.

Всякий элемент линейного пространства, а значит, и каждый элемент каждого из базисов, может быть разложен по другому базису.

41

g = fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gng ещ¼ один базис линейного пространства E.

42

Пусть x произвольный элемент линейного пространства E.

Всякий элемент линейного пространства, а значит, и элемент x; может

быть разложен по любому из базисов. Пусть такие разложения уже выполнены:

x= x1ee1 + x2ee2 + x3ee3 + : : : + xneen ; x = x1gg1 + x2gg2 + x3gg3 + : : : + xnggn ;

ãäå x1e ; x2e ; x3e ; : : : ; xne коэффициенты разложения элемента x по базису e ; à x1g ; x2g ; x3g ; : : : ; xng коэффициенты разложения элемента x

есть столбцы (векторы) разложения элемента x по базисам e è g ñîîò-

различны.

Нельзя утверждать, что x = Xe ; хотя бы потому, что элемент x вовсе не обязан

быть элементом линейного векторного пространства. Аналогично, нельзя утверждать, что x = Xg :

43

будем называть простейшим базисом.

Замечание

Разложение n мерного вектора 0 x1 1

B C

BB x2 CC

X = B x C;

BB 3 CC

B . C

@ A

xn

по векторам простейшего базиса, как нетрудно убедиться, имеет вид

X = x1e1 + x3e3 + x3e3 + : : : + xnen ;

Без доказательства.

44