Добавил:

ukusezha Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Математическая логика и теория алгоритмов

Файл:

методичка из инета по мн-вам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.06.2023

Размер:

1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

3.1. Доказательство свойств операций над множествами

Докажем дистрибутивный закон пересечения относительно объединения. A (B C) ( A B) ( A C) .

Доказательство законов основывается на определении равных

множеств:	A B A B и	B A. То	есть, для
доказательства	дистрибутивности	пересечения	множеств

относительно объединения, требуется доказать включение левой части равенства в правую и правой в левую.

I. A (B C) ( A B) ( A C)

A (B C) ( A B) ( A C)

II.( A B) ( A C) A (B C)

I. Докажем первое включение.

Пусть

1.x

			x A

	1.		x B


			x C
			x A
x A			x A
x A
x A (B C)		2. x B
x A (B C)		2. x B
x (B C)
			x C
			x A
			x A


	3.		x B
				x C



A
B x A B x ( A B) ( A C)
C

x A

2.x B x A C x ( A B) ( A C)x C

x A

3.x B x A B и x A C x ( A B) ( A C)x C

Т. е. любой элемент х, принадлежащий A (B C),

принадлежит и множеству (A B) (A C), а это означает, что

A (B C) (A B) (A C).

II. Докажем второе включение.

Пусть y ( A

	y A	y
1.		y
	y B
	y A		y
2.			y
	y C

y A

3.y B y

y C


	y A B				y A

1.			1.

	y A C				y B

	y A B				y A
				2.
B) ( A C) 2.
	y A C				y C


	y A B				y A


3.		y A C				y B
			3.


					y C

Aи y B C y A (B C)
Aи y B C y A (B C)

Aи y B C y A (B C)

Таким образом,		любой элемент	y,		принадлежащий
(A B) (A C)		, принадлежит и множеству		A (B C)			, а

это означает, что	(A B) (A C) A (B C)					.

Из доказанных		двух включений (I	и II)		следует, что
A (B C) ( A B) ( A C) .

3.2. Иллюстрация свойств операций над множествами

Можно проиллюстрировать свойства операций над множествами с помощью кругов Эйлера. Для этого выбирают конкретное отношение между множествами. Устанавливают порядок действий в левой и правой частях равенства. И последовательно закрашиваются

области, соответствующие результатам действий. Если закрашенная область, соответствующая результату последнего действия в левой части равенства совпадает с закрашенной областью, соответствующей результату последнего действия в правой части равенства, то можно говорить, что рассматриваемый закон выполняется для конкретного

отношения между множествами.
Проиллюстрируем на кругах Эйлера этот же
дистрибутивный закон		пересечения	относительно А		В
объединения A (B C) (A B) (A C)
для следующего отношения между множествами А, В
и С.					С
1. Укажем последовательность действий в левой и правой частях
2	1	3	5	4
равенства: А (В С) = (А В) (А С)

2. Закрасим на кругах Эйлера области, соответствующие результатам операций над множествами:

А	В	А	В
1)		3)
	С		С

А	В	А	В
2)		4)
	С		С

А В

Так как закрашенные области на кругах Эйлера, являющиеся результатами действий 2) и 5) совпадают, то можно говорить о том, что для рассматриваемого отношения между множествами А, В и С свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения выполняется.

УПРАЖНЕНИЯ

Изобразите элементы множеств на числовой прямой.

A {x, x N, x 4}

A10

- множество действительных

{ 3, 1,

1, 3}

решений неравенства: (х-2)(х+5)<0

A {x, x Z ,

3 x 5}

множество

действительных

{x, x Z, x 3}

решений неравенства: х2+х+3>0

множество

действительных

{x, x R, x 0}

решений неравенства:

x 7 0

{x, x R, x 2}

множество

действительных

{x, x R, 5 x 4}

решений неравенства:

6x 9 0

- множество целых

множество

целых

решений

корней уравнения:

неравенства: |2x-3|<5

(х2-4)(х+3)(2х-5)=0

множество

действительных

решений неравенства: |x2+5x+1|>3

- множество

множество

действительных

16 -

действительных корней

6x 187 x

уравнения:

решений неравенства:

12x 89

(х2-3)(х3+8)((2х+3)=0

множество

целых

решений

неравенства:

x 2

x 5

2Укажите характеристическое свойство множеств

А= {1, 3, 5, 7, 9}

B= {м, а, р, т}

C= {12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96}

D= {+, -, :, ·}

3	Задайте множества перечислением элементов
1)	A1={x, x N, x<7}
2)	A2={x, x Z, -3 x<4}

3)A3={x, x Z, \x\<4}

4)A4={x, x N,\x\<4}

5)A5 – множество нечетных однозначных натуральных чисел.

6)A6 – множество однозначных целых чисел, кратных 3.

7)A7 – множество двузначных натуральных чисел, кратных 11.

8)A8={x, x N, 3 x<7}

9)A9={x, x R, (x+4) (x2-2)2=0}

10)A10={x, x N0, x<5}

11)A11={x, x N, x 5}

12)A12 – множество нечетных натуральных чисел, меньших 15.

13)A13 – множество отрицательных целых чисел, больших -6.

14)A14={x, x Z, -8 x<-2}

15)A15={x, x R, (x3+1) (x2-16)=0}

4	Задайте множества указанием характеристического свойства.

1.	B1={0, 1, 2, 3, 4}	11.	B11={-2, -4, -6, -8}
2.	B2={1, 3, 5, 7, 9}	12.	B12={3, 4, 5, 6, 7}
3.	B3={3, 6, 9, 12}	13.	B13={-7, -6, -5, -4, -3, -2}
4.	B4={0, 2, 4, 6, 8}	14.	B14={2, 3, 5, 7}
5.	B5={-1, -2, -3, -4}	15.	B15={100, 200, 300, 400, 500}
6.	B6={-1, -3, -5, -7, -9}	16.	B16={-11, -22, -33, -44, -55}
7.	B7={10, 20, 30, 40, 50}	17.	B17={6, 12, 18, 24, 30}
8.	B8={22, 44, 66, 88}	18.	B18={1, 2, 3, 4, 6, 12}
9.	B9={-3, -6, -9}	19.	B19={-1, -2, -3, -6, -9, -18}
10. B10={2, 4, 8, 16, 32}		20.	B20={1, 4, 7, 10}

5	Среди указанных множеств выберите конечные и задайте их

перечислением элементов.
А – множество целых решений уравнения 2х+3=0
В – множество целых чисел, меньших 3
С – множество натуральных чисел, меньших 4
D – множество квадратов, со стороной 5 см

Е – множество действительных решений уравнения: x2 5x2 2 4

Выясните, в каких отношениях находятся множества А и В.

Проиллюстрируйте эти отношения, используя круги Эйлера.

а) А = {а, в, г},

–

множество

решений

–

множество

букв

слова

неравенства

«сапог»

10-х-1,5-101-2х>0

б) A {x, x Z,

x 4} ,

е)

–

множество

решений

B {x, x R,

x 3,5}

уравнения

x2 5x 8 x 1

в) А – множество окружностей,

–

множество

решений

радиус которых равен 2 см

уравнения 5х+1-5х-1=24

–

множество окружностей,

радиус которых равен 6 см

ж)

–

множество

г)

–

множество уравнений,

тригонометрических

функций

имеющих

один

В – множество четных функций

действительный корень

–

множество

квадратных

з)

–

множество

уравнений

равнобедренных треугольников

д)

–

множество

решений

D – множество правильных

треугольников

32х-1+32х-2-32х-

уравнения

–

множество

4=315

тупоугольных треугольников

Проанализируйте с точки зрения теории множеств задачи:

а) На клумбе расцвели 15 красных и 12 розовых астр, а белых

столько, сколько красных и розовых вместе. Сколько белых астр

расцвело на клумбе?

б) В школьной столовой было 6 столов,

поставили ещё 4 новых

стола, а 2 старых убрали. Сколько столов стало в столовой?

в) В колхозе было 8 тракторов. Купили ещё 2 новых трактора, а 1

трактор передали школе для обучения старшеклассников. Сколько

тракторов стало в колхозе?

В каком отношении находятся множества, о которых идёт речь в

задачах?

8	Задайте	множества	A B;	A B;

окружностей, радиус которых равен окружностей, радиус которых равен 5 см.

A \ B ,	если	А -	множество
3	см. В	-	множество

9Задайте множества X \ Y; Y \ X ; X Y; X Y; X Y , если

Х– множество решений неравенства х2(х+3)(х-4)<0, а

Y – множество решений неравенства

1 x

10	Сформулируйте

M N, M N, M \ N

действительных корня,

характеристические свойства множеств , где М – множество уравнений, имеющих два N – множество квадратных уравнений.


11	Х – множество числовых выражений, имеющих смысл на
	Х – множество числовых выражений, имеющих смысл на
множестве N. Y – множество числовых выражений, имеющих смысл
на	множестве	Z.	Сформулируйте		характеристическое		свойство
следующих множеств:				X Y; X Y;	X \ Y; Y \ X	.
следующих множеств:						.

A B,

A C, B C

A B, A C, B C

Задайте множества

A \ B, A \ C, B \ A

B C, (A C) (A \ B) ,

А∆В, А∆С, В∆С,

, A

А\(В∆С),

В (А∆С),

С∆(А В),

(С В) (С∆А),

(А С) (С∆А),

(А В) (С∆В),

B \ A, B \ C,

C \ A, C \ B

(A \ B) (C \ B),

A B C, A B C

A B, A C, B C, B A, C A,

C B

( A C) \ ( A B), ( A B) (C A), (B C) A, ( A B) (B C)

а) А – множество целых чисел, кратных 5

B{x, x Z , x 5}

C{x, x R, X 4}

б) A – множество отрицательных целых чисел, кратных 5

B x, x R, 3 1 x 4,53

C x, x Z , 7 x 1

A {x, x R, 0 x 7}

в) B {x, x Z , 4 x 1}

C {x, x N, x 5}

г)

д)

е)

A {x, x N, x 4}

B{x, x Z , 10 x 4}

C{x, x R, x 4,3}

A {x, x R, 3 x 5}

B{x, x Z, x 2}

C{x, x N, x 2,5 x 4 x 5 0}

A {x, x Z , x 5}

B{x, x R,0 x 9}

C{x, x R, x2 2 x3 8 0}

13	А	–	множество	окружностей	плоскости,	радиус	которых

равен 3.

В – множество окружностей

Задайте множества: А∆В,	A B,

плоскости, радиус которых равен 5.

A B, A \ B.

14 Х – множество решений неравенства x2 x 3 x 4 0 Y – множество решений неравенства 1x 4

Задайте множества: X \ Y, Y \ X , X Y, X Y, X Y .

15 М – множество уравнений, имеющих два действительных корня N – множество квадратных уравнений

Сформулируйте

характеристическое

свойство

множеств:

M N, M N, M \ N .

16 А = {(x,y), x R, y R, y x+1 }

В = {(x,y), x R, y R, y x2-2 }

С = {(x,y), x R, 0 x<3, y R}

Найдите A B,

A C, B C , А∆В,

А∆С, В∆С, A B, A C, B C ,

A B \ C,

B C \ A, C \ A B .

Для каждого случая сделайте чертёж.

А – множество многоугольников

В – множество прямоугольных треугольников

С – множество равнобедренных треугольников

D – множество ромбов

Е – множество прямоугольников

F – множество параллелограммов

Постройте

круги

Эйлера

для

данных

множеств.

Укажите

характеристическое свойство элементов множеств а)

E' B C,

б)

C \ B D E,

в)

D \ E B,

г)

E F '

и отметьте штриховой линией

области, изображающие эти множества.

18		A B;	A B;	A \ B
	Задайте множества	A B;	A B;	A \ B			, А∆В если
	Задайте множества						, А∆В если
а) А – множество решений уравнений					x	2	y y	2	x
					x		y y		x

	В – множество решений уравнений				y	2	x 6
					y		x 6

б) А – множество решений уравнений	xy	x	16
		y		3

В – множество решений уравнений xy xy 92

в) А – множество решений уравнений 2x 3y 5 В – множество решений уравнений 2x 3y 1

19	Проиллюстрируйте ассоциативные законы объединения и

пересечения для следующих случаев отношений между множествами:

рис.7

рис.8

рис.9

рис.10

20	Проиллюстрируйте

относительно пересечения
множествами:

дистрибутивный закон объединения для следующих случаев отношений между

рис.11

рис.12

рис.13.

рис.14

а)	A

Изобразите на кругах Эйлера отношения между множествами.

{x, x R, x 5}	,	B {x, x R, 10 x 10}	,	C {x, x Z, 3 x 4}
	,		,

б)

в)

г)

д)

А – множество прямоугольных треугольников В – множество остроугольных треугольников С – множество равносторонних треугольников

А – область определения функции	y	x	2	2x 5
			2

В – множество решений неравенства	3x x		2	4 5 3x


С - множество решений неравенства	log1/ 3	(	x	7) 0

			3

А – множество окружностей плоскости В – множество прямоугольников плоскости С – множество ромбов плоскости

А – множество прямых плоскости, параллельных прямой y = x

В – множество прямых плоскости, параллельных прямой y = 2 − x С – множество прямых плоскости, параллельных прямой x = 2.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математическая логика и теория алгоритмов

#
23.06.20231.02 Mб19Держинский Р.И. Математические основы информационной безопасности.pdf
#
23.06.20231.06 Mб2дзержинский и воронцов 2.pdf
#
23.06.20231.44 Mб5Дзержинский и Воронцов.pdf
#
23.06.20231.44 Mб8Дзержинский. Дискретная математика.pdf
#
23.06.20232.32 Mб13Дискретная математика.pdf
#
23.06.20231 Mб14методичка из инета по мн-вам.pdf