Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

96

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.06.2023

Размер:

24.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Единственность решения одной задачи . . .

Рассмотрим более общую задачу интегральной геометрии

v( ; ) =

∫

u(x; y)dS;

(4)

S( ; )

где = ( 1; 2; : : : ; n); x = (x1; x2; : : : ; xn); S( ; ) – семейство поверхностей

= x

)

или

y =

(xi

i)2:

ui=1

u∑

Учитывая, что

pi = yx′ i

i)2

v1 +

pi2 = p

= (xi

(xi

(i = 1; n);

/ui=1

i=1

u∑

∑

преобразуем поверхностный интеграл (4) к виду

v( ; ) = p

∫

u(x; j x j)dx;

D( ; )

на гиперплоскость y = 0:

где D( ; ) – проекция поверхности S( ; )

Вводим замену переменных xi = i

r cos φi (i =

); где cos φi

(i =

) – направ-

1; n

ляющие косинусы нормального вектора

к заданной поверхности семейства S( ; );

r = j j: Учитывая соотношение

cos2 φi = 1

∑i

получим xi = i

r√1

r cos φi

(i = 1; n

1);

xn = n

i=1 cos2 φi:

∑

S(φ); где

Якобиан такого преобразования (приложения 1) R(r; φ) = r

φ = (φ1; φ2; : : : ; φn

1);

S(φ) = n

1 sin φi

1 cos2 φi:

i=1

∏

∑

Тогда

v( ; ) = p

∫2 ∫ u(

r ;

r)R(r; φ)drdφ:

К обеим частям уравнения применяем преобразование Фурье по вектору :

Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика №1(88)2016

22	Дильман Т.Б.

∫+1


	e	i(;)
ve( ; ) =	e

∫2 ∫ p

d 2u( r ; r)R(r; φ)drdφ:

Теперь изменяем порядок интегрирования

v( ; ) = p

∫ ∫

R(r; φ)drdφ ∫ u(

r ;

r)ei(;)d :

С помощью замены

= t (t = (t1; t2; : : : ; tn)) имеем

v( ; ) = p

∫

R(r; φ)ei(;r )drdφ ∫ u(t;

r)ei(;t)dt;

отсюда

v( ; ) = ∫ rn 1

0p2

∫2 S(φ)eir(; )dφ1u( ;

r)dr;

A e

– преобразование Фурье функции u по вектору :

где u

Замена переменной r = позволяет написать последнее уравнение в виде

v( ; ) = ∫ ( )n 1T ( ; )u( ; )d ;

или

v( ; ) =

∫ K( ;

)u( ; )d ;

(5)

где

K( ;

1T ( ;

); T ( ;

) = p

∫0

S(φ)ei( )(; )dφ:

) = (

Дифференцируем по семейство интегральных уравнений Вольтерра первого рода

v′	( ; ) = K( ; 0)u( ; ) +	∫ K(1)( ;	)u( ; )d :
e	e	0	e

Учитывая, что K( ; 0) = 0; продифференцируем последнее уравнение еще раз по

ISSN 1563–0285 KazNU Bulletin. Mathematics, Mechanics, Computer Science Series №1(88)2016

Единственность решения одной задачи . . .

v′′

(; ) = K(1)(; 0)u(; ) +

∫ K(2)(;

)u(; )d :

Из формул

(j)

1)!

n j 1

K (; ) =

( )

T (; )+

1)!

1 (n

1)!

(1)

+Cj

( )

(; )+

(n j)!

			+C2	(n	1)!				(	)n


			j (n		j + 1)!
	j	1	(n 1)(		)	n	2		(j	1)
	+Cj		(n 1)(		)			T		(;
где C2	– количество сочетаний,
j

p ∫2

(j) j

T (; ) = i 2

j+1 (2)

T (;

) + (

S(φ)ei( )(;

) + : : : +

)	n 1	(j)
)		T	(; );

) j

(; ) d φ;

следует, что

(1)

(2)

(; 0) = K

(; 0) = : : : = K

(; 0) = 0:

Из формулы

(;

) = (n 1)!T (;

1)!(

(1)

)

(n 1)

+Cn 1

(; ) + : : : + (

(; )

получим

K(n

1)(; 0) = (n

1)!T (; 0) = (n

1)!p

∫2 S(φ)d φ ̸=;0

так как можно доказать неравенство (приложение 2)

∫2

S(φ)d φ (2 )n 1:

Таким образом, дифференцируя интегральное уравнение (5) всего n раз по получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода

∫


(n)	(n 1)			(n)
ve (; ) = K		(; 0)ue(; ) +	0	K (;	)ue(; )d ;

или

Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика №1(88)2016

24	Дильман Т.Б.

(n)
	e	0
e
v ( ; )		∫
K(n 1)( ; 0)	= u( ; ) +

Следовательно, справедлива

(n)
K ( ; )
K(n 1)( ; 0)	u( ; )d :
K(n 1)( ; 0)	e

и n раз диф-

Теорема 2 Если v( ; ) имеет финитную непрерывность по вектору

ференцируема по ; то решение u(x; y) задачи (4)

единственно в классе финитных

непрерывных функций.

Приложение 1.

Якобиан

x′

1φ1

1φ2

: : :

1φn

x2′ r

x2′ φ1

x2′ φ2

x2′ φn

: : :

R(r; φ) =

: : :

xn′

: : : xn′

xn′

1φ1

1φ2

1φn

xn′

: : : xn′

φ 1

cos φ

r sin

: : :

cos φ2

r sin φ2

: : :

cos φn

: : :

r sin φn

r cos φ1 sin φ1

r cos φ2 sin φ2

r cos φn

1 sin φn

cos φ

: : :

cos φn

r sin φ

: : :

= cos φ

: : :

r sin φn

r cos φ2 sin φ2

r cos φn

1 sin φn

r cos φ1 sin φ1

cos φn

r sin φ

: : :

cos φ

+ : : : +

: : :

r sin φn

r cos φ2 sin φ2

r cos φn

1 sin φn

r cos φ1 sin φ1

cos φn

r sin φ

: : :

r sin φ2

: : :

+( 1)n 2 cos φ

: : :

n 1

r cos φ2 sin φ2

r cos φn

1 sin φn

r cos φ1 sin φ1

cos φn

r sin φ1

: : :

1)n 1 cos φ

r sin φ2

: : :

n 1

: : :

r sin φ

ISSN 1563–0285 KazNU Bulletin. Mathematics, Mechanics, Computer Science Series №1(88)2016

Единственность решения одной задачи . . .

r sin φ

= (

1)n

r cos2 φ1 sin φ1

r sin φ3

: : :

cos φn

1)n

2 r cos2 φ2 sin φ2

r sin φ1

: : :

r sin φ3

: : :

cos φn

: : :

r sin φ1

1)n 2 r cos2 φn 1 sin φn

r sin φ2

: : :

cos φn

r sin φ1

: : :

1)n 1 cos φ

r sin φ2

: : :

: : :			0
: : :			0		n		1	+
					n		1
: : :		: : :
: : :		: : :
	0
: : :	r sin φ
	0
			n	1		+ : : : +
						+ : : : +
	: : :
	: : :

r sin φ
: : :				0
: : :				0			n	2	+
							n	2
: : :			: : :
: : :			: : :
	0
: : :		r sin φ
	0				=

		n	1
: : :
: : :

r sin φ
r sin φ

rn 1 sin φ1 sin φ2 : : : sin φn

[cos2 φ1 + cos2 φ2 + : : : + cos2 φn 1]+

cos φn

+rn 1 cos φn sin φ1 sin φ2 : : : sin φn

1 =

∏

∑k

1 sin φ1 sin φ2 : : : sin φn 1

cos2 φk =

n 1 sin φi:

cos φn

i=1

Приложение 2.

При n = 2

∫

sin φ1

dφ1 = 2 :

√

cos2

φ1

При n = 3

2 2

∫ ∫

sin φ sin φ2

1 cos21φ1

cos2 φ2 dφ1dφ2

√

2 2

∫ ∫

sin φ1 sin φ2

√

dφ1dφ2 =

cos2 φ1

cos2 φ2 + cos2 φ1 cos2 φ2

2 2

sin φ sin φ

√

= ∫ ∫

dφ1dφ2

= (2 )2:

cos2 φ1)(1

cos2 φ2)

При n = 4

Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика №1(88)2016

26	Дильман Т.Б.

2 2 2

∫ ∫ ∫

sin φ1 sin φ2 sin φ3

dφ1dφ2dφ3

cos2 φ1

cos2 φ2

cos2 φ3

2 2 2

√

∫ ∫ ∫

sin φ sin φ2 sin φ3dφ1dφ2dφ3

√

cos2 φ1

cos2 φ2 cos2 φ3 + cos2 φ1(cos2 φ2 + cos2 φ3) + I

0 0

2 2 2

= ∫ ∫ ∫

sin φ1 sin φ2 sin φ3

dφ1dφ2dφ3 = (2 )3;

√

cos2

φ1)(1

cos2 φ2)(1

cos2 φ3)

так как

0 0

cos2 φ1(cos2 φ2 + cos2 φ3) + I 0;

где

I = cos2 φ1 cos2 φ2 cos2 φ3:

По методу математической индукции полагаем при n = k

2		2
∫	: : :	∫		sin φ		1	: : : sin φk 2 sin φk	1	: : : dφk 2dφk 1	(2 )k 1:
∫	: : :	∫		1 cos2	φ1	1	: : : cos2 φk 2	cos2 φk 1 dφ1	: : : dφk 2dφk 1	(2 )k 1:
			√
			√

Докажем при n = k + 1

∫

: : : ∫

sin φ1 : : : sin φk

sin φkdφ1 : : : dφk 1dφk

cos2 φ1

: : :

cos2 φk 1

cos2 φk

√

∫

: : : ∫

sin φ1 : : : sin φk

1 sin φkdφ1 : : : dφk 1dφk

√

cos2 φ1

: : :

cos2 φk 1

cos2 φk + U

2	2
= ∫	: : : ∫		sin φ1 : : : sin φk	1 sin φkdφ1 : : : dφk 1dφk

		√			=
		√	1 cos2 φ1 : : :	cos2 φk 1 cos2 φk + U cos2 φk	=

2	2
= ∫	: : : ∫		sin φ1 : : : sin φk	1 sin φkdφ1 : : : dφk 1dφk

		√
		√	1 cos2 φ1 : : :	cos2 φk 1 cos2 φk(1 U) =

2	2
= ∫	: : : ∫		sin φ1 : : : sin φk 1 sin φkdφ1	: : : dφk	1dφk
		√
		√	(1 cos2 φ1 : : : cos2 φk	1)(1	cos2 φk)

ISSN 1563–0285 KazNU Bulletin. Mathematics, Mechanics, Computer Science Series №1(88)2016

Единственность решения одной задачи . . .

∫2

(2 )k 1 dφk = (2 )k;

где u = cos2 φ1 + : : : + cos2 φk 1: Следовательно, для любого натурального n 2 спра-

ведливо неравенство

∫2

S(φ)dφ (2 )n 1:

Литература

[1]Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. – Москва: Наука, 1980. – 286 с.

[2]Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. – Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2008. – 460 с.

[3]Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – Москва: Наука, 1971. – 1108 с.

[4]Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Москва: Наука, 1959. – 232 с.

References

[1]Lavrentev M.M., Romanov V.G., Shishatskij S.P. Nekorrektnye zadachi matematicheskoj ﬁziki I analiza. – Moskva: Nauka, 1980. – 286 s.

[2]KabanikhinS.I. Obratnyei nekorrektnye zadachi. – Novosibirsk: Sibirskoe nauchnoe izdatelstvo, 2008. – 460 s.

[3]Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, sum, ryadov I proizvedenij. – Moskva: Nauka, 1971. – 1108 s.

[4]Mikhlin S.G. Lektsii po lineinym integralnym uravneniyam. – Moskva: Fizmatgiz, 1959. – 232 s.

Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика №1(88)2016

28	Қытайбеков Е.

УДК 517.956

Қытайбеков Е.

Казахский национальный педагогический университет имени Абая, Республика Казахстан, г. Алматы

E-mail: Er-kaz 89@mail.ru

Задача Дирихле для трехмерных гиперболо-параболических уравнений с вырождением типа и порядка

Краевые задачи для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучены,где исследованы задача Трикоми и первая краевая задача. Смешанная задача, характеристическая задача Коши и задача Дарбу для многомерных гиперболо-параболических уравнений ранее рассмотрены. Проблема задачи Трикоми для гиперболо-параболических уравнений в многомерных областях ставилась и исследовалась разными авторами. Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо - параболических уравнений на плоскости также хорошо изучены. Многомерные аналоги этих задач в обобщенных пространствах исследованы. Корректности задач Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений доказаны. В данной работе в цилиндрической области для трехмерных гиперболо-параболических уравнений с вырождением типа и порядка цилиндрической области показана разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Дирихле.

Ключевые слова: задача Дирихле, вырождение типа и порядка, разрешимость, плотность.

Kitaybekov E.T.

Dirichlet problem for three-dimensional hyperbolic-parabolic equations with type and order extinction

Boundary value problems for hyperbolic-parabolic equations in the plane have been studied properly, where Tricomi problem and the ﬁrst boundary value problem were investigated. The mixed problem, Cauchy characteristic problem and Darboux problem for multidimensional hyperbolic-parabolic equations have been considered before. Di erent authors have deﬁned and investigated Tricomi problem for hyperbolic-parabolic equations in multidimensional domains. The theory of boundary value problems for degenerating hyperbolic-parabolic equations in the plane has also been studied properly. Besides, multidimensional analogues of these problems in generalized spaces have been investigated. Correctness of Dirichlet problems for degenerating multidimensional hyperbolic equations has been proved. In this work the author showed solvability and obtained an explicit classical solution of Dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional hyperbolic-parabolic equations with type and order extinction.

Key words:Dirichlet problem, degeneration of the type and order, solvability, density.

Қытайбеков Е.

Түрi мен ретi азғындалған үш өлшемдi гиперболо-параболалық теңдеулерге Дирихле есебi

Гиперболо-параболалық теңдеулер үшiн шеттiк есептер жазақтықтарда жақсы таныс, мұнда Трикоми есебi және бiрiншi шеттiк есеп зерттелген. Сипатамалық Коши есебi және Дарбу есебi үшiн көп өлшемдi гиперболо-параболалық теңдеулерге аралас есеп бұрын қаралған. Көпөлшемдi облыста Трикоми есебiнiң шешiлу мәселесi қойлған. Және де бұл сұрақтар әр түрлi аторлармен зерттелген. Азғындалған гиперболо-параболалық теңдеулерге шеттiк есептер теориясы сондай-ақ жазақтықтар үшiн жақсы зерттелген. Көпөлшемдi аналогтары осы мiндеттердi жалпылама кеңiстiктерде зерттелдi. Азғындалған көпөлшемдi гиперболалық теңдеулер үшiн Дирихле есебiнiң қисындылығы дәлелдендi. Бұл жұмыста түрi мен ретi азғындалған үш өлшемдi гиперболо-параболалық теңдеулердiң цилиндрлiк облыста шешiмдiлiгi

көсетiлген және Дирихле есебiнiң классикалық шешiмiң айқын түрi алынған. Түйiн сөздер: Дирихле есебi, түрi мен ретi азғындалған, шешiмдiлiк, тығыздық.

ISSN 1563–0285 KazNU Bulletin. Mathematics, Mechanics, Computer Science Series №1(88)2016

Задача Дирихле для трехмерных . . .

1 Введение

Известно, что колебания упругих мембран в пространстве моделируются уравнениями в частных производных. Если прогиб мембраны считать функцией u(x; t); x = (x1; :::; xm); m 2; то по принципу Гамильтона приходим к многомерным вырождающимся гиперболическим уравнениям.

Математическое моделирование процесса распространения тепла в среде заполненой массой берет свое начало еще c работ Фурье.

Обозначим через u(x; t) температуру в среде в точке х в момент времени t . Тогда в силу закона Фурье задача распространения тепла в среде описываются многомерными вырождающимся параболическими уравнениями.

Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо - параболических уравнений на плоскости изучены в [1]. Многомерные аналоги этих задач в обобщенных пространствах исследованы в [2]. Корректности задач Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений доказаны [3, 4].

В данной работе в цилиндрической области для трехмерных гиперболо - параболических уравнений с вырождением типа и порядка показано разрешимость задачи Дирихле.

2 Постановка задачи и результат

Пусть Ω

цилиндрическая область евклидова пространства E3 точек (x1; x2; t); огра-

ниченная цилиндром

= f(x; t) : jxj = 1g; плоскостями t = > 0 и t = < 0; где jxj

длина вектора x = (x1; x2):

Обозначим через Ω и Ω части области Ω ; а через ;

части поверхности ;

лежащие в полупространствах t > 0 и t < 0;

верхнее, а

нижнее основания

области Ω :

Пусть далее S - общая часть границ областей Ω и Ω представляющее множество

ft = 0; 0 < jxj < 1g в E2.

В области Ω рассмотрим вырождающихся трехмерные гиперболо-параболические

уравнения

∑2

∑

0 =

8 i=1 pi(t)uxixi

p3(t)utt + i=1 ai(x; t)uxi

+ b(x; t)ut + c(x; t)u; t > 0;

(1)

> i∑

∑

g (t)u

d (x; t)u

+ e(x; t)u; t < 0;

xixi

i=1

где

pi(t) > 0 при t > 0; pi

(0) = 0; gi

(t) > 0

при

t < 0

и могут обращаться в нуль при

t= 0; pi(t) 2 C([0; ]) \ C2((0; )); gj(t) 2 C([ ; 0]); i = 1; 2; 3; j = 1; 2:

Вдальнейшем нам понадобиться связь декартовых координат x1; x2; t с полярными

r; ; t : x1 = r cos ; x2 = r sin ; r 0; 0 < 2 :

Задача 1(Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области Ω

	2	(Ω [ Ω );	удовлетворяющее краевым условиям
класса C(Ω ) \ C		(Ω [ Ω );	удовлетворяющее краевым условиям

		u		= φ1(r; ); u		= 1(t; );

				=		= φ2(r; ):

		u			2(t; ); u

при t ̸= 0из

(2)

(3)

Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика №1(88)2016

Қытайбеков Е.

при этом φ1(1; ) =

1( ; );

1(0; ) = 2(0; ); 2( ; ) = φ2(1; ):

Пусть

ai(r; ;t)

b(r; ;t)

c(r; ;t)

;

2 C

(Ω ) \ C

(Ω ); di(r; ; t); e(r; ; t) 2 C

(Ω ) \ C

(Ω ):

p3(t)

Тогда справедлива

Теорема 1.

Если

φ1(r; )

C1( )

C3( ) φ2(r; )

C1( )

C3( );

(t; )

( ) \ C

(

);

) \ C

2(t; ) 2 2 C (

(

); и имеет место

cos s;n ′ ̸=;0s = 1; 2; ::: ;

(4)

то задача 1 разрешима, где s;n

положительные нули функций Бесселя первого рода

Jn(z); ′ =

[p ( )+p2( )]

d ; n = 0; 1; ::: :

√

1 2p3( )

∫

3 Доказательство теоремы

Сначала покажем разрешимость задачи (1), (3). Ее решение будем искать в виде ряда

u(r; ; t) = u10(r; t) +

(u1n(r; t) cos n + u2n(r; t) sin n );

n=1

∑

где u10(r; t); u1n(r; t); u2n(r; t)

функции, которые будут определены ниже.

Подставляя (5) в (1), в области Ω ; полярных координатах будем иметь

L1u g1(t) (cos2 u10rr +

sin2

u10r) + g2(t) (sin2 u10rr +

cos2

u10r)

u10t+

+d1(r; ; t) cos u10r + d2(r; ; t) sin u10r + e(r; ; t)u10+

sin

+ i=1 {g1(t) [cos2 (cos n u1nrr + sin n u2nrr) +

(cos n u1nr + sin n u2nr)+

∑ +

n sin 2

(sin n u1nr

cos n u2nr) +

n sin 2

(cos n u2n

sin n u1n)

2r2

n2 sin2

n u

+ g

(t)

sin2 (cos n u

+ sin n u

(cos

1n + sin

2n)]

cos

1nrr

2nrr

sin 2

(cos n u2nr

sin n u1nr) +

[

(cos n u1nr

sin n u2nr)+

n sin 2

(sin n u1n

cos n u2n)

cos2 (cos n u1n + sin n u2n)]

u1nt cos n

2r2

[cos (cos n u1nr + sin n u2nr) +

n sin

cos n u2n)] +

u2nt sin n + d1

(sin n u1n

[sin (cos n u1nr + sin n u2nr) +

n cos

sin n u1n)] +

+d2

(cos n u2n

+e(cos n u1n + sin n u2n)g = 0:

(5)

(6)

Теперь полученное выражение (6) сначала умножим на ( ) ̸= ;0а затем проинте-

ISSN 1563–0285 KazNU Bulletin. Mathematics, Mechanics, Computer Science Series №1(88)2016

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.06.20239.48 Mб290.pdf
#
07.06.20239.54 Mб291.pdf
#
07.06.202310.54 Mб392.pdf
#
07.06.202311.37 Mб493.pdf
#
07.06.202311.6 Mб194.pdf
#
07.06.202324.35 Mб496.pdf